Inégalité des accroissements finis 3
Corollaire 1 : Soit f: [a, b]−→ Rune fonction continue sur [a, b]et dérivable sur ]a, b[. S’il existe
un réel M > 0tel que |f′|6Msur ]a, b[, alors
|f′b)−f(a)|6M|b−a|.
démonstration :Reprendre la démonstration du théorème précédent avec m=−M.
Définition 1 : Une telle fonction est alors appelée M-lipschitzienne.
65.3 Applications
65.3.1 Sens de variations
Théorème 3 : Soit f: [a, b]−→ Rune fonction continue sur [a, b]et dérivable sur ]a, b[. On
suppose que f′(x)>0sur ]a, b[. Alors, pour tout x∈[a, b], on a : f(x)>f(a).
démonstration :Soient ε > 0et Uε={x∈[a, b]|f(a)< f(x) + ε}. Montrons que Uε= [a, b].
Montrons que Uε6=∅:Trivial, car a∈Uε. Soit alors c= sup(Uε)6b.
Montrons que c > a :fétant continue en a, il existe η > 0tel que a6x6a+η⇒f(x)>
f(a)−ε, d’où a+η∈Uε. On en déduit que c>a+η > a.
Montrons que c∈Uε:Par définition de la borne supérieure, c= lim(xn)où xn∈Uε, soit f(a)<
f(xn) + εpour tout entier n.fétant continue en c, on a f(xn)→f(c), d’où f(a)< f(c) + ε,
c’est-à-dire c∈Uε.
Montrons (par l’absurde) que c=b:Supposons donc que c < b, d’où c∈]a, b[. Par hypothèse,
f′(c)>0. Or
f′(c) = lim
x→c
f(x)−f(c)
x−c>0.
Par continuité de fen c, il existe η′>0tel que c6x6c+η′, impliquant alors que f(x)>f(c).
Puisque c∈Uε, on a finalement f(a)< f(c) + ε6f(x) + ε. Pour x=c+η′, on trouve
f(a)< f(c+η′)+ε, ce qui implique que c+η′∈Uε. Ceci contredit l’égalité c= sup(Uε), donc
c>b. Or cvérifie aussi c6b(premier point de cette démonstration), donc finalement, c=b.
D’où Uε= [a, b], et pour tout x∈Uε= [a, b], on conclut que f(a)< f(x) + εdonne l’inégalité
recherchée : f(a)6f(x).
Corollaire 2 : Soit f: [a, b]−→ Rune fonction continue sur [a, b]et dérivable sur ]a, b[. Si f′>0
sur ]a, b[si et seulement si fest croissante sur [a, b].
démonstration :
"⇐" : Soient x, y ∈[a, b]tels que x>y. Alors on a
f(x)>f(y)⇔f(x)−f(y)>0⇒f(x)−f(y)
x−y>0y→x
⇒f′(x)>0.
"⇒" : Pour tout y∈]a, b[,fest continue sur [y, b]et dérivable sur ]y, b[. L’hypothèse f′>0sur
]y, b[⊂]a, b[assure par le théorème précédent que pour tout x∈]y, b[(donc en fait x>y),
f(x)>f(y).