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Si (Xn)est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi alors
la suite X1+···+Xn
nconverge, presque surement, vers E(X1).
Au sens où
Plim
n→+∞
X1+· · · +Xn
n=E(X1)= 1.
Théorème 1 :Loi forte des grands nombres
Ce théorème est assez difficile à démontrer et on propose de l’utiliser pour calculer numériquement les
espérances des exemples qui suivent.
1. Problème de la ruine du joueur
Soient 0<ini<fin deux entiers naturels.
On considère un joueur possédant un capital de départ égal à ini euros.
Le joueur lance une pièce équilibrée, si c’est face qui tombe, le joueur perd 1euros, et, si c’est
pile qui tombe le joueur gagne 1euros.
Le joueur continue à jouer ainsi de suite jusqu’à obtenir 0euros (et dans ce cas la partie est
perdu) ou jusqu’à obtenir fin euros (et dans ce cas la partie est gagnée).
(a) Écrire une fonction ruine_joueur(ini,fin) qui simule l’expérience précédente et retourne
le capital du joueur à l’issue de la partie.
(b) A l’aide de la loi forte des grands nombres, donner une estimation de l’espérance du capital
du joueur à l’issue de la partie (on pourra choisir ini=10 et fin∈ {15,20,30}.
Remarque importante : La partie pouvant parfois mettre beaucoup de temps à se terminer,
il pourra être judicieux de mettre de côté les parties durant trop longtemps...
(c) Justifier l’appellation « Ruine du joueur »
2. Marche aléatoire sur Z
On considère Pacman qui se déplace sur une droite graduée d’entiers relatifs.
A l’instant initial, Pacman se situe en 0.
A l’instant n, Pacman peut se déplacer d’un cran à droite avec probabilité égale 1
2ou d’un cran
à gauche avec probabilité égale 1
2.
(a) Écrire une fonction marche_aleatoire() qui simule l’expérience précédente et retourne le
temps de retour en 0de Pacman.
(b) A l’aide de la loi forte des grands nombres, donner une estimation de l’espérance du temps
de retour en 0de Pacman.
Remarque importante : Pacman pouvant mettre du temps à revenir en 01, il pourra être
judicieux de mettre de côté les expériences durant trop longtemps...
3. Paradoxe de Parrondo
Le paradoxe de Parrondo est un paradoxe de la théorie des jeux qui est bien souvent décrit
comme « une stratégie qui gagne avec des jeux perdants ».
On considère deux jeux Aet Bperdants. Nous allons fabriquer un jeu AB gagnant.
(a) Le jeu A.
Aest un jeu de pile ou face avec une pièce baisée (pile avec une probabilité de p=1
2−)
On lance la pièce. Si on obtient pile, on gagne un euro, sinon on perd un euro.
i. Écrire une fonction jeu_A(eps) qui simule une expérience du jeu A.
ii. Écire une fonction gain_jeu_A(eps,k) qui retourne le gain du joueur à l’issue de k-jeux
Asuccessifs avec un capital de départ égal à 0euros.
1. C’est assez difficile mais on peut montrer que, presque surement, Pacman reviendra en 0en temps fini. Votre
enseignant de mathématiques est passionné par ce résultat et je suis sûr qu’il vous en a déjà parlé.
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