Chap.9 – Utilisation des complexes

Chap.9 – Utilisation des complexes - Critère de stabilité
1.
2.
Utilisation de la notation complexe en régime variable quelconque
1.1.
Equation différentielle réelle  Equation algébrique complexe (rappels)
1.2.
Equation algébrique complexe  Equation différentielle réelle
1.3.
La notation complexe pour l’étude générale des circuits linéaires en régime quelconque
Critère de stabilité pour les systèmes linéaires du 1 er et 2nd ordre
2.1.
Définition de la stabilité
2.2.
Stabilité des systèmes du 1er ordre
2.3.
Stabilité des systèmes du 2nd ordre
2.4.
(Complément) Stabilité de quelques montages à AO
Intro :
Pour le moment, nous n’avons utilisé la notation complexe que pour étudier les circuits linéaires en régime
sinusoïdal permanent. Nous avons déjà mentionné l’intérêt en physique de l’étude de ce régime particulier, qui
permet grâce à l’analyse de Fourier d’étudier la réponse d’un circuit linéaire soumis à une excitation quelconque
(périodique seulement avec les séries de Fourier).
On a introduit la notation complexe pour transformer une équation différentielle en équation algébrique. Nous
allons ici présenter tout l’intérêt de l’opération inverse, qui va nous permettre d’établir l’équation différentielle à
partir de l’expression de la fonction de transfert. Cela fait de la notation complexe un outil puissant, aussi adaptée
à l’étude des circuits en régime quelconque.
On définira puis on étudiera la stabilité des circuits linéaires du 1 er et 2nd ordre. On verra encore que la notation
complexe est un outil adapté à l’étude de la stabilité, quelque soit le régime étudié. On démontrera sur quelques
exemples ce qui a été admis au chapitre précédent : le rôle de la rétroaction sur le régime de fonctionnement de
l’AO.
1. Utilisation de la notation complexe en régime variable quelconque
1.1. Equation différentielle réelle  Equation algébrique complexe (rappels)
On considère un circuit RC série alimenté par une tension sinusoïdale e(t).
 Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes de R
 Donner la forme générale de la solution de cette équation différentielle. Interpréter physiquement les deux
termes de la solution.
 A quoi sert l’introduction de la notation complexe ?
 Déterminer l’amplitude et la phase à l’origine de la tension aux bornes de R en régime permanent
d
   j  , la notation complexe est un outil efficace permettant de déterminer
 dt 
Grâce à la transformation 
l’amplitude et la phase à l’origine de la solution en régime sinusoïdal forcé. Elle semble notamment ne fournir
aucune information sur le régime transitoire.
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1.2. Equation algébrique complexe  Equation différentielle réelle
On considère le même circuit RC série.
 Etablir la fonction de transfert en considérant la tension aux bornes de R comme la sortie du montage
d
 , établir l’ED vérifiée par la tension aux bornes de R
 dt 
 En considérant la transformation   j   
 Vérifier que le polynôme caractéristique de l’ED linéaire peut être déduit directement du polynôme en j
au dénominateur de la fonction de transfert.
d
 , la notation complexe permet de retrouver l’équation différentielle
 dt 
Grâce à la transformation   j   
vérifiée par la grandeur étudiée. Bien qu’à l’origine, le calcul avec les complexes suppose une étude en régime
sinusoïdal forcé, la forme de l’ED obtenue est sa forme générale, i.e. valable pour une entrée quelconque. On
remarque notamment que le dénominateur de la fonction de transfert permet de retrouver simplement le
polynôme caractéristique de l’ESSM, qui détermine le régime transitoire du circuit étudié.
Remarque : On notera que si un terme commun apparaît au numérateur et au dénominateur de la fonction de
transfert, et que l’on a simplifié la fraction en supprimant ce terme, la fonction de transfert ne permet plus de
retrouver l’équation différentielle. Ce cas est rare, et nous ne le rencontrerons pas.
1.3. La notation complexe pour l’étude générale des circuits linéaires en régime quelconque
o
On savait déjà que la notation complexe permet d’étudier efficacement les circuits linéaires en régime
sinusoïdal forcé. Elle a été introduite pour cela.
o
La notation complexe apparaît aussi comme une notation symbolique, un outil purement calculatoire,
permettant d’établir les ED nécessaires à l’étude des circuits linéaires en régime quelconque. On notera
que le dénominateur de la fonction de transfert est directement relié à l’ESSM, donc au régime transitoire
du circuit.
Exemple :
On considère un circuit RLC série, alimenté par une tension e(t) quelconque. On s’intéresse à la réponse en
courant, et l’on souhaite déterminer le type de régime transitoire vérifié par i(t). On utilise ici la notation
complexe comme une notation symbolique pour mener les calculs plus rapidement.
 Etablir la fonction de transfert du montage, le courant i(t) étant la sortie et e(t) l’entrée.
 En déduire le polynôme caractéristique de l’ESSM, sans établir l’ED.
 Déterminer les conditions que doivent vérifier R, L et C pour que le régime transitoire soit apériodique,
pseudo-périodique ou critique.
 Etablir l’ED vérifiée par le courant à partir de la fonction de transfert.
2. Critère de stabilité pour les systèmes linéaires du 1er et 2nd ordre
2.1. Définition de la stabilité
Un système linéaire est stable lorsque, sous l’effet d’une excitation bornée, sa réponse est aussi bornée quelque
soient les conditions initiales.
Cela revient à dire (admis) que le régime transitoire doit tendre vers zéro quand le temps tend vers l’infini.
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2.2. Stabilité des systèmes du 1er ordre
 Ecrire l’ESSM d’un système du premier ordre. En déduire le dénominateur de la fonction transfert.
 Donner l’expression générale de la solution de l’ESSM.
 Déterminer les conditions nécessaires pour que le régime transitoire tende vers zéro.
Un système linéaire du 1er ordre est stable
si les coefficients du polynôme au dénominateur de la fonction de transfert sont de même signe.
2.3. Stabilité des systèmes du 2nd ordre
 Ecrire l’ESSM d’un système du 2nd ordre. En déduire le dénominateur de la fonction de transfert.
 Donner l’expression générale des solutions possibles de l’ESSM.
 Déterminer (en option..) les conditions nécessaires pour que le régime transitoire tende vers zéro.
Un système linéaire du 2nd ordre est stable
si les coefficients du polynôme au dénominateur de la fonction de transfert sont de même signe.
2.4. (Complément) Stabilité de quelques montages à AO
On a admis dans le chapitre précédent que le fonctionnement de l’AO en régime linéaire nécessite une rétroaction
sur la borne d’entrée négative. On a admis aussi qu’une rétroaction sur la borne d’entrée positive uniquement
implique un fonctionnement en régime saturé. On va le démontrer ici sur quelques exemples de montage à AO : le
suiveur, l’amplificateur non-inverseur et le comparateur à hystérésis.
Pour cela, on ne va pas adopter le modèle idéal de l’AO. On considère toujours que les courants d’entrée sont nuls
mais on tient compte du fait que le gain est fini, et dépend en outre de la fréquence (passe-bas du 1er ordre).
Pour les trois montages mentionnés ci-dessus :
 Etablir la fonction de transfert du montage.
 Déterminer si le montage est stable ou instable. S’il est instable, expliquer pourquoi l’AO fonctionne alors
en régime saturé.
Notions clefs
Savoirs :
 La notation complexe permet d’étudier efficacement les circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent
 Pour les circuits linéaires, grâce à l’analyse de Fourier, cela permet aussi de traiter un régime quelconque
(au moins un régime périodique avec les séries de Fourier)
 Indépendamment de la décomposition de Fourier, la notation complexe peut être aussi vu comme un outil
purement calculatoire permettant d’établir l’ED des circuits linéaires en régime quelconque
 Critère stabilité 1er et 2nd ordre : les coefficients du dénominateur de la FT sont de même signe
Savoirs faire :
 Utiliser la notation complexe pour établir l’ED du circuit en régime quelconque
 Déterminer si le système est stable ou instable.
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