1 - FONCTION INVERSE ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS

FONCTION INVERSE
ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS ASSOCIÉES
PRÉREQUIS :
•
•
•
Développement, factorisation
Équations et inéquations du second degré (tableau de signes)
Généralités sur les fonctions (variations et lectures graphiques)
OBJECTIFS :
Savoir-faire
Exercice
type
Objectif
I1
Déterminer un encadrement d'un inverse non nul
exercice 1
I2
Reconnaître une fonction homographique
p 110
n°42
I3
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
exercice 2
I4
Résoudre une équation quotient
exercice 3
I5
Résoudre une équation se rapportant à une équation
quotient (mettre des fonctions rationnelles au même
exercice 4
Révision
Contrôle
dénominateur)
I6
Résoudre une inéquation quotient
exercice 5
I7
Résoudre une inéquation se rapportant à une
inéquation quotient (mettre des fonctions rationnelles au
exercice 6
même dénominateur)
EXERCICES DE SYNTHÈSE, PROBLÈMES :
_____________________________________________________________________________________
NOTES PERSONNELLES :
-1-
DMartin-LAH
FONCTION INVERSE
ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS ASSOCIÉES
1.
LA FONCTION INVERSE
Dans la suite de ce cours nous noterons IR* = ]–∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ = IR \ {0}
Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur IR* par : f : IR* → IR*
1
x→
x
Propriété : Sens de variation
La fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle ]–∞ ; 0[ et elle est aussi strictement décroissante
sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Remarque : Dire que la fonction inverse est décroissante sur IR* n’a aucun sens car IR* n’est pas un intervalle.
Preuve : Soient a et b deux nombres réels quelconques
Rédiger la preuve sur l’intervalle]0 ; +∞[ :
appartenant à l’intervalle ]–∞ ; 0[ tels que : a < b.
1 1 b–a
f(a) – f(b) = – =
a b
ab
Or si a et b sont négatifs alors ab est positif.
De plus : a < b entraîne : b – a > 0. Alors :
b–a
> 0.
ab
Nous avons montré que, sur l’intervalle ]–∞ ; 0[ :
si a < b alors f(a) – f(b) >0 soit f(a) < f(b)
La fonction inverse est donc strictement
décroissante sur ]–∞ ; 0[.
Tableau de variations :
x
f(x) =
1
x
–∞
0
0
+∞
–∞
+∞
0
Question : Que signifie la double barre ?
Propriété de Parité : Nous avons pour tout nombre réel x : f(–x) =
1
1
= – = –f(x)
–x
x
Nous dirons alors que la fonction f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine.
-2-
DMartin-LAH
Courbe représentative :
La courbe représentative de f est une ______________________
Elle est symétrique par rapport à l’origine O car la fonction f est
impaire. (Les points M d’abscisse –x et N d’abscisse x sont
symétriques par rapport à l’origine O du repère).
La fonction f se rapproche de l’axe (Ox) en + ∞ et en – ∞ .On dit
que cette droite est une __________________________________
à la courbe.
La fonction f se rapproche de l’axe (Oy) en 0
On dit que cette droite est une ____________________________
à la courbe.
Exercice 1 : (I1)
Dans chaque cas, déduire de l'inégalité
1
vérifiée par x un encadrement de :
x
Si 1 ≤ x ≤ 3 alors :
Si x < –2
alors :
1
Dans chaque cas déterminer l'ensemble décrit par lorsque x décrit l'ensemble I :
x
1
x
Si I = ]–
5
; –1]
2
Si I = [–
3
; 0[ ∪ ]0 ; 2[ alors
4
alors
décrit l’intervalle :
1
x
décrit l’intervalle :
1
Dans chaque cas déduire de l'encadrement de un encadrement de x :
x
Si
1
> 10–2
x
alors :
1
≤ –10–3 alors
x
____________________________________________________________________________________________
Si –10–1 ≤
2. FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
Définition : Soient a, b, c et d quatre nombre réels fixés avec : c ≠ 0 et a×d ≠ b×c.
ax + b
cx + d
La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole.
On appelle fonction homographique toute fonction de la forme : f : x →
Remarque : La condition a×d ≠ b×c écarte la situation dans
laquelle ax + b et cx + d sont proportionnels et donc la fonction
f constante.
Propriété : La fonction homographique f : x →
ax + b
est
cx + d
d
définie sur R \ {– }
c
d
Le nombre – est la valeur interdite de la fonction f
c
-3-
DMartin-LAH
3. ÉQUATION QUOTIENT
Nous allons nous intéresser dans ce paragraphe aux équations de la forme :
N(x)
= 0 avec N(x) et D(x) des
D(x)
expressions algébriques du premier ou du deuxième degré.
Proposition : Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul. Les valeurs qui annulent ce dénominateur sont
appelées des valeurs interdites.
2x + 5
Exercice 2 : (I3)
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction : f(x) =
(3x – 2)(2x + 4) – (3x – 2)2
Il faut résoudre l’équation :
Les valeurs interdites sont :
Proposition : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
N(x)
=0 :
D(x)
(1) Nous commençons par déterminer les valeurs interdites, c'est-à-dire par résoudre D(x) = 0
(2) Nous résolvons ensuite N(x) = 0
N(x)
(3) Les solutions de
= 0 sont les solutions de l'équation N(x) = 0 qui ne sont pas des valeurs interdites
D(x)
Méthode de résolution de
Exercice 3 : (I4)
Résolvons dans IR l'équation :
(1) Valeurs interdites :
4x2 – 16
=0
(3x + 1)(2x – 4) – (2x – 4)2
(2) Valeurs de x qui annulent le numérateur :
(3) Solutions de l'équation :
Ce sont les solutions de (2) qui ne sont pas des valeurs interdites (1). Ici :
Equations se rapportant à une équation quotient : Les équations comportant une inconnue au dénominateur
peuvent toutes se rapporter à une équation quotient.
Il faut tout mettre dans le premier membre de l'égalité puis réduire au même dénominateur.
Exercice 4: (I6)
Résoudre dans IR l'équation (E):
x2 – 2
1
1
–
=–
(x – 1)(x – 2) x – 1
x–2
-4-
DMartin-LAH
4. INÉQUATION QUOTIENT
Nous nous intéressons ici aux inéquations du type
N(x)
≥ 0 avec N(x) et D(x) des expressions du premier ou
D(x)
deuxième degré.
Proposition : Soient A et B deux nombres réels. Le signe du quotient
A
est identique au signe du produit A×B.
B
En effet si A et B sont de même signe alors le quotient est positif, tandis que si A et B sont de signes contraires
alors le quotient est négatif. Nous pouvons en déduire la méthode de résolution :
Méthode de résolution de
N(x)
≥0
D(x)
(ou
N(x)
< 0 etc…)
D(x)
(1) Déterminer les valeurs interdites de l'inéquation
(2) Chercher les racines de l'inéquation (valeurs qui annulent le numérateur N(x) )
(3) Dresser un tableau de signes en mettant une double barre sous les valeurs interdites
(4) Conclure à l'aide de la dernière ligne du tableau
Exercice 5: (I6) Résoudre dans IR l'inéquation suivante :
2x – 14
≤0
x+5
(1) Valeur(s) interdite(s) :
Il faut résoudre :
Solution :
(2) Racine(s) de l'inéquation :
Il faut résoudre :
Solution :
(3) Tableau de signes :
–∞
+∞
x
2x – 14
x+5
2x – 14
x+5
La double barre dans le tableau symbolise l'exclusion de la valeur interdite.
(4) Conclusion :
L'ensemble des solutions de l'inéquation est :
Remarquez que la valeur interdite
est toujours exclue de l'ensemble solution (crochet ouvert).
Inéquations se rapportant à une inéquation quotient :
De la même manière que pour les équations, toute inéquation comportant une inconnue au dénominateur peut se
rapporter à une inéquation quotient.
(1) Il faut d’abord tout mettre (par soustraction) dans un seul membre de l’inégalité
(2) Effectuer les additions ou soustractions de fractions en les réduisant au même dénominateur
(3) Vous êtes dans la situation d’une inéquation quotient
Exercice 6: (I7) Résoudre dans IR l'inéquation :
2
1
<
x–1 x–2
-5-
DMartin-LAH