Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres J EAN -C LAUDE P ETIT Sur certains quasi-corps généralisant un type d’anneau-quotient Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 20, no 2 (1966-1967), exp. no 13, p. 1-18 <http://www.numdam.org/item?id=SD_1966-1967__20_2_A2_0> © Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1966-1967, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire DUBREIL-PISOT (Algèbre et Théorie des année, 1966/67, 20e 13-01 nombres) n° 13 13 SUR CERTAINS QUASI-CORPS GÉNÉRALISANT UN TYPE 1967 mars D’ANNEAU-QUOTIENT par Jean-Claude PETIT Introduction. - La théorie des polynômes non commutatifs à une (voir C~ ~ variable exposé de cette théorie) permet de définir, et d’étudier, des anneaux à multiplication non nécessairement associative qui généralisent les anneaux-quotient d’anneaux de polynômes. Pour tout anneau de polynôme A et tout polynôme m E A , un pour définit deux structures on priétés A/Am A/mA et dans lesquelles a on d’un anneau, sauf éventuellement l’associativité de la cependant l’existence toutes les pro- multiplication. On a propriétés d’associativité restreinte caractéristiques. Dans A/Am, l’étude des équations en x ~ a.x = b et x.a = b est liée à la factorisation de m dans A , et elle permet de caractériser une nouvelle classe de quasi-corps distributifs, c’est-à-dire d’anneaux à multiplication associative ou de non, dans lesquels les éléments Ceux de gauches, ces quasi-corps, non nuls constituent une boucle multiplicative. dont la multiplication est associative, sont des corps gauches de dimension finie sur leur centre, on donne et parmi les corps une caractérisation de ceux qui s’obtiennent par constructions successives d’anneaux-quotient A/Am à partir d’un sous-corps commutatif maximal, pour m de la forme x - a . A/Am Algèbres 1. A/mA . et Rappelons quelques résultats de la théorie des polynômes non commutatifs de ORE (voir [5]) : K désignant un coefficients dans P peut être corps commutatif K muni de à o est un i indéterminée un e N , anneau en P non, soit x façon évidente dlune K , avec pour base tiplication qui en f asse des degrés des facteurs, où une ou polynômes q de la forme structure notant où le l’ensemble des x~ _ degré d’espace vectoriel à. gauche 1 . Pour avoir dans d’un produit soit égal P une à la mul- somme il est nécessaire d’avoir : homomorphisme injectif de K dans et où 03B4 est une sur a- dérivation de vérifiant K dans K de + résulte alors : en Cp en n+p chaque monôme considérant l’image de degré est de n - on corps commutatif dérivation de x~ sant lorsque ou K , Q et triple (K, homomorphisme injectif de on un Q donne à P a , . , ô , deux monômes diffé- 8~ , une structure d’anneau dans K K est K, à où 03B4] K[x , 03C3 , en un une 6-- définis- simplement A cet anneau,y a~ . Dans A 9 on dispose d’une existe un couple d’élé- par les formules ci-dessus. Nous noterons a nous q en p montre que, pour tout non,y et à en " supposerons fixé le choix de (K, a , division euclidienne à droite : ments polynôme (exemple : rant par l’ordre de leurs facteurs Réciproquement, en p par le a des désignant la somme S (a) Sn,0(a) = 03C3n(a) termes obtenus avec dont application une ô(a + b) =ô(a) +ô(b) , b E K , V Il K 9 ctest-à-dire et r unique vérifiant Il faut et il suffit que 6 soit avoir l’existence d’une division surjectif pour à gauche analogue. A/Am ~ - Définition de Choisissons l’ensemble des multiples à gauche de un m . polynôme Soit dans m A A . Désignons par le sous-groupe additif de Am A degré strictement inférieur à n . Si a" désigne la classe de a E A, modulo Am , et si r désigne le reste de la division à droite de a par m , en posant i(â~ _ r , on définit un isomorphisme i du groupe A/Am sur A . Lorsque Am est un idéal bilatère, on obtient la structure d anneau-quotient A/Am en définissant la multiplication par ab = ab , qui s’écrit engendré polynômes par les alors aussi ab = de i(a) i(b~ . En transportant cette multiplication définie i , on obtient dans où q est déterminé par la condition DEFINITION. - On n A la désigne de l’ addition de A par et de la E la structure structure sur à l’aide de A n par A . algébrique multiplication, définie par obtenue en munissant r./ où l’unique élément est q Lorsque A/mA nir On est 03C3 surjectif, tivité de la ab - qm n . E utilise la division euclidienne à gauche our défi- le résultat suivant : peut établir les a on tel que a.b = ab - mq . avec ( 1) A/Am A de v/ propriétés d’un anneau sauf éventuellement l’ associa- unitaire multiplication. structure 0 j n -d’ espace vectoriel à gauche sur il de base xj : est un anneau si, et seulement si, Am est un idéal bilatère de A . 03B4 o Lorsque 6 est surjectif, si A K[x , 6 s et B = 0K désignant le corps opposé de K A/mA et B Bm sont anti-isomorphes. a une 0K[x , 03C3-1 , - = Prouvons, par que l’associativité de la exemple, 1. 03C3-1], multiplication entraîne que A~n A , est idéal bilatère : Si la multiplication a. (b, c~ _ a(bc - rm) ( a. b ~ . c = ( ab - pm) c - est associative, sm , avec qm , avec L’associativité entraîne et d° p = 0 p est le quotient au où alors p-1 a. Si on se ramener Il vient, a Y d° c on ab - pm tels que b cas a + d’après la (mg soit + p = 1 , et n sm ( ab - pm) c qm - E n E A . n d° b d° = m = n , il il suffit pour cela de en ab résulte par remplacer m . a On par a propriété précédente, k)m . A E a(bc - rm) - de la division à droite de c = gm + h , mais et mc E Am . cEA n’ n , A rm E l’égalité : a peut bc - n Choisissons alors puisque on a ~i On obtient h avec il existe k E E An, A avec mh = m(c ~ gm) = km , donc, amb E Am , qui établit que ce Dans le des cas où Ara A/Am est un idéal bilatère. n’est pas propriétés intéressantes. les définitions suivantes : un Notons anneau, sa multiplication possède toutefois ~a , b , c] = ( a.b~ .c ~ a. (b, c~ , et posons Noyau d’associativité à gauche : Noyau d’associativité centrals Noyau d’ associativité à droite :1 On peut établir les résultats suivants : ( 2) Si A/Am n’est pas Effectuons, plus haut, on par En que remarquant s’il existe un d° a = 0 avec d° p = implique d° a 1 , on tire aisément en avec les notations utilisées p = 0 , on choisissons D’autre obtient b tel que d° part, a + d0 b = n , il et alors 0 , pmc ~ Am et N :~ a a E N résulte on a la détermination de exemple, g en anneau y ce ==> qui mc E Am , prouve que Am est un idéal bilatère. Proposons-nous de donner des propriétés caractérisant les structures parmi les anneaux à multiplication non nécessairement associative. On obtient ainsi : (3) Pour un équivalence (a) (b) (c) où cr B B B et anneau B à multiplication entre les trois propriétés vérifie 1° 9 2°, 3° ; vérifie 1°, 2°, 4°, 5°, 6° ; est isomorphe à avec à sont définies par : non nécessairement associative, il y suivantes : a la symbolisant ~ B, et où, de multiplication dans B, on a Avec les significations suivantes : 1° B est espace vectoriel à gauche un x pose n ~ soit tel que et il existe on sur son sous-anneau 1 ~ et où = x~ B base de une est défini par récurrence Ky qui avec = est sur un corps, K , où x" ; x ~ 2° ~ a ~ K , a ~ 0 , ~ a1 ~ K , a1 ~ 0 , ~ a2 ~ K , 30 Va, (associateur relatif propriétés Les autres K c: N 4~ Pour établir (c) où 03C3 est (3) y un [xi , xj , xk] = 0. n y pour (b) il suffit de prouver que (a) ==> * (xi-11 * b) ; b ~ K , xi * b = x étant inférieurs à k de 3~ : .. V 6° conséquences sont manifestement des N ; n g 50 et à ~ ). sont déjà prouvées. Pour de endomorphisme injectif ===> cela, et K, on à (c) ~ car (a) ==> (b) prouve d’abord: 03C3-dérivation de une K . Il en résulte : En utilisant l’écriture de x~ ~ x~ x ~ produits produits A/Am a selon (c) , pour et on é sur 1 ~ i x ~ x’ la n , constate que les évident pour les groupes additifs en un Avec (4) l’hypothèse supplémentaire Tout anneau B n pace vectoriel à gauche de dimension K ~ N n N , est isomorphe à A/Am y x .a B. Si on introduit ont les mêmes et va- qui permet de prolonger l’isomorphisme isomorphisme pour la multiplication. ce (3) 2 , le résultat non nécessairement associative y qui est = à multiplication de calculer les Grâce à 4~~ la connaissance des n . produits prèsy changement au possible détermine la multiplication de de notations leurs, il est alors base, 1 5 j 2 sur un avec d° m de = ses 2 . donne : sous-apneaux K , avec es- On de a x, (5) obtenu on peut préciser X .x On donnera 2. propriété d’associativité une ce une = x. X , plus loin multiplication Propriétés multiplication à mx ~ Am , ou des restreinte ou de toutes les encore puissances puissances de équi- x à x E N exemples où cette associativité a lieu dans A . sans que A~Am associative. liées à la factorisation de de les sur résultat ainsi 1 L’ associativité pour la vaut à ait 6° avec m Proposons-nous d’étudier 1 ’ équation en z ~ z. a b, a ~ 0 . Introduisons pour z. a . Compte tenu de définie par D (z) cela l’application D ~i -~ a a D est une application K-linéaire, et comme A/Am est de di4°, on vérifie que a mension finie sur K9 Da est bijective si, et seulement si, Ker Da est réduit à 0 . Or u.a = 0 équivaut à ua ~ Am , donc = = A Mais dans ua E Am. Puisqu’on a tous les idéaux à n Am ===> a ~ 0 , ua ~ Am et seulement s’il existe dans ce qui équivaut à et on a g étant le p. g. (6) Pour b , si, d° c. gauche sont de la forme h ~ n - unique. z. a = b on a d ° h - d ° f ~- d ° a . = en admet et a une on z, a = b z : c. m,y solution a: admet d. à droite de b , si, et seulement siy m est irréductible unique pour a et b donnés. Etudions donc équivaut à u E Ah . Par suite, on a Ker Da ~ 0 si, Ah un polynôme de degré strictement inférieur à n, 1 . Or, dans A, il existe g tel que Aa + Am Ag , et seulement si,g le p. g. est alors avec d. à droite de a ~ U , l’équation Ary z dans a une solution et pour tout m est a ,~ 0 quel que soit 1, la solution et pour tout A . Cette solution est alors Inéquation analogue : a. z b pour a ~ 0 . Inexistence d’une solution z quel que soit b, équivaut à la surjectivité de Inapplication Ga définie par G (z) G est irréductible, a.z . Lorsque m est injective, car a. z = D (a) = 0 a a z = = impossible pour z ~ 0 ,y puisque est général K-linéaire, en Soit L le sous-ensemble de mutatif de surjectivité général en un A/Am ;9 corps exige Gx est un a. z a ~ pour tout dimNd A/Am a ~ 0 ,p 0 et tout est m a au est Ga plus est un surjective. en irréductible, peut on si on com- aussi considère constate que la déduit : qui commutent K avec sous-corps . On A/Am est Nd d’avoir, soit avec est une solution. Pour une est y K, et irréductible, il suffit b, n’étant pas Ga Ga est Nd-linéaire, N . Pour s ~ 0 , on sur surjectif. L que m sous-corps commutatif de b, = et que des éléments de L associative. Si non L-linéaire. Si gauche,y Q déduire que en peut montrer on espace vectoriel à droite de Mais injective. constitué par les éléments qui permutent K est Ga sous-ensemble z:i On est Nd comme un (7) Le de A/Am et que K , prouver que A/Am peut pas toujours on ne tous les autres éléments de serait Dz un tous les éléments algèbre sur L en l’équation corps, et qu’ elle ait une solution dimL A/Am finie, soit finie. peut tirer (5), aussi de en raisonnant sur les éléments inversibles de l’an- neau (8) Pour sances qu’il de x et existe ayant un une X sous-ensemble de A/Am contenant toutes les structure de groupe pour la puis- il faut et multiplication, il suf f it que l’on ait Ces conditions peuvent être réalisées avec m irréductible, sans Am que soit bilatère. 3. Caractérisation d’une classe de quasi-corps distributifs. Parmi les algèbres pour l’étude des A/Am obtenues, plans projectifs : certaines sont ce sont les mettent de construire des plans de translation Nous té pour la suffit que que déjà que A/Am multiplication. savons M A/Am ait doit vérifier une en M est un quasi-corps distributifs qui (voir 92, p. unitaire éventuellement anneau Pour obtenir particulièrement intéressantes un pour sans per- définition). associativi- quasi-corps distributif, il faut et il structure de boucle pour la multiplication, c’est-à-dire outre ? est fermé pour la Pour tout couple d’éléments a et b multiplication . appartenant à M , il existe y et z appartenant Pour que qu’on tels ait à M M soit fermé pour la irréductible, en effet, a.y = b , z. a multiplication, sinon il existerait b . = il est nécessaire que et u v dans soit m vérifiant A~ uv = m , M , Réciproquement, si m est irréductible, M est fermé, a ~ 0 et z a 0 impliquerait l’existence de deux solutions z a.b b ~ M, des 0 , ce qui contredirait (6). Enfin, (6) et (7) donnent pour l’équation z.b soit u.v a E car 0 . = = = = = b et de z.a conditions suffisantes pour l’existence et l’unicité des solutions ces solutions sont a. z b , pour a et b dans M. On vérifie facilement que = = D’où, M . dans (9) Lors ue comme avec (1) , est irréductible dans m espace vectoriel est un Am est il vient 1 quasi-corps L , sur distributif. idéal bilatère de un Avec (3) ( 10~ Pour (4), et on ou comme Ce A/Am et que est de dimension finie espace vectoriel à droite quasi-corps est un A/Am sur corps si, et seulement si, A ~ obtient les caractérisations suivantes :1 quasi-corps distributif, Q A , il y a équivalence entre les trois proprié- tés suivantes :i (a) Q (b) Q (c) Q 1° 9 2°, 3os vérifie ~°, 2°, 4°, 5°, 60 ; vérifie est isomorphe à A/Am , avec -n-11 où . et 6 Q sy~mbolisant sont définies pars la multiplication de Q, m étant irréductible dans A , et ses coefficients vérifiant particulier, tout quasi-corps distributif qui est espace vecto riel à gauche de est isomorphe à A/Am y selon (c), dimension 2 sur K , sous-corps de N , c g En _.~...,._..... - ~~20142014201420142014~20142014~~- avec n = Pour 201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014~2014 ’ 2 . approfondir l’étude sultats valables pour un de A/Am quasi-corps, il est utile d’obtenir d’autres réquelconque. Remarquons que les règles de calcul dans ces 0 A = duit dans Pour A K, r E (y~) ~ est 0 ~ i ~ pour cette n , est en (11) Pour tout r A/Am est isomorphe yn s’écrit où ~’ et Un n - 1 , r ~ 0 , posons K, E s base, si se au A/Am, dans répercute plus égal à simplification Cette 0 . En simplifient beaucoup pour fi = se A/.Am. K-base de une vérifiant 1°, 2° et 30, K,y E ce le (10) s’applique, On montre alors que donne : qui r ~ 0 ,y et pour tout At/Atm , à degré d’un proproduit dans A~Am . s , il est aisé de prouver que rx + = avec alors on a le puisque, lorsque il coïncide y effet, s ~ K , si on pose y = r.x + s , avec y sont définies par ô’ changement de base du si, et seulement si, on type précédent permet trouver peut r et s de ramener au se K dans cas vérifiant, où 6’f = 0 pour tout aEK , condition qui signifie que On en à est une 03C3-dérivation intérieure (cf. [3], p. 171). déduit alorsâ (l2) Si soit à est isomorphe à Ce dernier résultat n’admettent que les alors 2 ~-dérivation intérieure de une At/Atm, y K9 il existe k eK tel que avec intérêt lorsqu’on prouve que certains corps 03C3-dérivations intérieures comme 03C3-dérivations. On prouve prend tout son ~ 13~ Tout corps commutatif K sur seules comme Remarquons que l’espace que 4. Etude Si on ce résultat s’applique du 8 ~ 09 s’y ramène, suppose on cas ou b ~ 0 si pour Q de K~ l’établir, est de dimension K 1 on sur montre K . .. corps n’admettant que des un problèmes certains l’automorphisme corps finis. Pour aux 03C3-dérivations de vectoriel des (ul~ , base de la forme 03C3-dérivations intérieures. 03C3-dérivations les particulière térieures une sous-corps invari ant élément à élément dans son Q admet admettant K 6~-dérivations in- plus faciles à traiter. On obtienty sont exemple : par (14) Pour commutent 6 == avec 0 , les éléments de tous les autres. A/Am Lorsque x de la forme est inversible à gauche, ce sont les seuls. On aussi caractériser les peut latère. Il suffit pour cela que tire :1 (15) Pour 6 = 09 les polynômes m E A tels que Am soit l’on ait, V a E K, ma E Am et mx polynômes m E A , tels que A/Am soit un un idéal bi- E on en anneau sont caractérisés par les conditions : Si les coefficients si on degré a r ml sont dans le centre de t, 0 ~ t multiplié à droite n = rs + par est m s,y égal au K 9 si 03C3 est d’ordre s, et produit d’un polynôme en x~ de xt . On trouve aussi :1 Avec de x ~~ ~ 9 ces deux derniers résultats n’implique pas que A/Am corps où toutes les puissances de soit x un prouvent que l’associativité des puissances anneau, s’associent on pourra ainsi obtenir des sans avoir pour autant un quasicorps. Afin d’être polynômes de ser trouver en Si en mesure assez est de m Pour Remarquons nir un irréductibles dans degré 0y m quey si K 6 == polynôme A. Signalohs des quasi-corps, il faut dispocas particuliers où on peut commodémentô 2,y il premier degré à de facteur du (l7) de construire effectivement des est irréductible droiteo A l’aide d’une division, est irréductible = est un en t ordinaire corps de (noter on obtiendra :1 et seulement si, si, on a la condition obtenue fait interve- Galois, que 03C3 si, il n’admet pas et seulement si, = redonne la condition identité, usuelle). Si m 9 de degré (18) si, on degré 3 ,y est gauche ou à droite un f acteur de o Pour 03B4 = 0 , m = x3 - m2 x2 - ml x - ma est irréductible si, et seulement a façon générale, vant que Avec il admet à 1 On obtients Ces conditions prennent De réductible,y m une n’admet on une forme pourrait aucun particulièrement simple donner des facteur de hypothèse supplémentaire degré sur K , c. n. s. 1, 2 , on pour de pour m ... , n - peut obtenir un 1 un corps de Galois. degré n, en écri- à droite. résultat moins évi- dentô ~ l9~ Pour 6 = 0,y n étant premier, w désignant un élément du centre de K vérifiant le polynôme (L’idée X -- a est irréductible dans de cette démonstration K[x, provient de l’exercice si, n° 8, et seulement de p. si 148.) on a 5. Application à l’étude des quasi-corps distributifs finis. Dans le cas où est K corps un fini,y les résultats obtenus simplifient se pour deux raisons essentielles ~ - On peut toujours se A/Am est toujours - Grâce à (20) (c) : (a) Q (b) Q (c) Q où polynôme plicatif si, un corps si, A, et irréductible m dans les lequel et seulement et seulement corps de dimension de base 9 sur définitive : en il y entre équivalence a ( a~ , ~b~ , ses coefficients qui vérifient de A - K~x , de puiss ances si, on a, si outre a pour 0 constituent x p cette dernière A/Am cr , n - est un 03C3(mp) = 1 , condition, et 2 (17) 3 et sur (18) a on un quasi- groupe multim On obtient . aussi pour construire effectivement des K . Pour utiliser propriété de certains idéaux d’un anneau unitaire, qui une généralisation d’un théorème d’arithmétique : entiers changement désigne l’ordre de o. Il est facile d’utiliser (21) un 2°, 3"; vérifie 1°, 2°, 40, 5°, 6° ; avec est isomorphe à distributif, s et L sur obtient on par vérifie 1°, Pour tout où s ~ U quasi-corps distributif fini, est irréductible dans m corps de dimension finie { 10 ~ , ~ 9 ~ , ~ 5 ~ , et ( 15 ) , Pour tout où cas ramener au désignant positifs, on p un élément du centre d’un anneau ~19~, on établit d’abord fournit dans le unitaire A, l’idéal bilatère de A engendré ar x E cas a a où on désigne par (x) quasi- A o et une Z de b deux et b k=a a 1.+ ~ de calculer permettant La démonstration utilise lalgorithme par divisions successives, pour déduire en a à b n partir de écriture convenable de une k p . k=1 On alors déduire de peut ~22~ phisme défini (21~ et pr, le corps de Galois dsordre désignant K ~~9~ un a~ Alors, ceux qui s’ écrivent Il est n’ est pas possible qui ont la automor- p = premier diviseur de 0] , soit A = ayant cette propriété sont K ~, 1 . u exemple, pour propriété un Il 1 divise n Il est superflue. plus simples qui permettent les valeurs 1 (mod n) , avec r multiple de n . r = 2, s = 1 , et n = 5 , il suffit de prendre a= z 12 obtenir un exemple de quasi-corps fini, qui n’est pas un corps, et où cepenles éléments x de la base engendrent un groupe multiplicatif (on utilise Enfin, dant commun a E de donner des conditions suffisantes par pour corps9 et les avec a = d’appliquer (22), en un et n = 3 , 1~ hypothèse n = 2 Poux son par engendrant le groupe multiplicatif de K, n étant 1 , il existe a ~ K tel que quasi-corps distributif si, et seulement si, on a z désignant 6 pour (17), (21) Z/52 et Nos résultats Dans finie Z . effectivement certains résultats : généralisent ~7 ~, SANDLER considère sur un corps de Galois montre que lorsqu’on ces algèbres [2], sont une classe d’algèbres K 9 où intervient des algèbres A/Am un y non associatives de dimension automorphisme ~ Q (= 2) ne divise pas n HUGHES et KLEINFELD caractérisent = K . On de avec identité . Le dernier exemple ci-dessus n’est pas de a effet l’ordre de Dans 11 , p= ce type, en 5 . un type de quasi-corps finis de dimen- 2 sion corps de Galois. Grâce sur un sultats. On retrouve aussi une (10~9 particulier à en ([4], d’un théorème de KNUTH partie retrouve leurs ré- on 215) qui p leur apparenté. est infinis. quasi-corps distributifs la construction de Application à 6. Soulignons les principales différences qui distinguent précédent : du cas ce n’y a pas que le cas où 8=0 qui soit à considérer, puisque, si on prend dans un par exemple pour K un corps de fractions rationnelles à coefficients identité, et pour 8 la dérivation usuelle des fraccorps commutatif, avec tions rationnelles, on obtient une 03C3-dérivation qui n’est pas une dérivation intéIl - rieure. L’irréductibilité de - la solution de z z. a quasi-corps. On peut m, si elle b = a ~ 0, pour toujours l’existence et l’unicité assure A/Am suffit pas pour que ne y est K exemple où le prouver à l’aide d’un un soit de un corps de frac- commutatif, et où cr est un isomorphisme non surjectif de K . Pour avoir un quasi-corps,y il suffira de montrer en outre que A/Am est de dimension finie sur L à gauche,y ou sur r~d à droite, ou tions rationnelles à coefficients dans à droite, K sur ce corps est qui est vrai quand cr A/Am infini, - un pourra être un corps surjectif. non commutatif, même est K si com- mutatif. ° Si - avec o n’est pas K = identité Commençons et son que a K[x, des cr , d’après (17), (9) OJ , lorsque automorphisme involutif, n’étant pas pourra obtenir des on quasi-corps associatifs, non 5=0. par remarquer que, irréductible dans a commutatif, l’identitéy on (15) , x2 polynôme le est le corps des nombres K A/A(x et et 1) + est un non corps x.a f et ( 18 ~ permettent d’ o btenir, en général. et complexes commutatif, puis- On reconnaît le corps a a. x est + 1 quaternions. Lorsque K est commutatif ( 17 ~ supplémentaires, ses (23) K 0 , a étant un des résultats qui sont d’ailleurs valables corps commutatif ayant o-(m ) = un automorphisme 6 A = avec des dans le hypothè- cas d’ordre 2, il y a fini : si on équivalence entre : (a) m x (b) t2 - m 1 t - m 0 n’ a pasderacine invariante Ce pas quasi-corps n’ est est multiplicatif. quasi-corps distributif ;9 ° " ’ pe un associatif, et les *- puissances de x constituent un grou- (24) étant K un corps commutatif ayant invariants par a et 0] y o ~ (a) A/Am (b) est un il y d’ordre 2, si on o m. équivalence a entres quasi-corps distributif ; n’a pas de racine invariante par Le quasi-corps obtenu n’est groupe multiplicatif. un et a automorphisme un associatif y et pas les a . de puissances constituent x Exemple d’applications. - Si on prend pour K le corps des nombres complexes, et pour m le polynôme t p + t + t , avec o(z) ==?y ? z eK y on obtient un quasicorps qui généralise d’une certaine façon le corps des quaternions. Si on K prend pour b a corps dans ~Q~ avec (l4) lequel le sous-corps des nombres cr(a + ib) et a - ib ,y = permet de montrer On pourrait aussi appliquer (19) à m=x -2 ~ obtient quasi- un multiplication. corps contenant un on ib y a + que le sous-ensemble des éléments commutant tous les autres n’est pas fermé pour la avec complexes de la forme un cyclotomique corps comme sous-corps. K Lorsque étant le corps des quaternions K Si commutatif, 03C3-identité . On obtient ainsi pour 0 n’est pas i 3 ,y prend on et une norme n’ appartient pas à Si on prend impose forme une en l’exemple Q , sur dans cet on sait qu’il existe une (e. ) , base 1 + on obtient un quasi-corps dans lequel x Nd . outre que et m~ appartiennent K, alors (18) particulièrement simple qui permet d’obtenir l’exemple suivant : x exemple, m~ d’automorphisme précédent, en prenant n’appartient pas à , on remplace 1 + e1 2 , par Pour on n aussi dans celui des entier premier quaternions (il en au centre de on obtient m obtient appliquer ~19~, considérons le sous-corps L du engendré par les quaternions à coefficients rationnels, de l’unité pour (l?) que donne suivant : Pour le choix de corps et distributif où ce définie par N m~ = 0, ma = il est très facile de voir x3 - = un un quasi-corps 1 - e . Enfin, corps gauche. corps des et z une existe dans le corps des réels)., ( 19) donne alors 1 si quaternions réels racine n-ième complexes, donc (25) r) 9 tEL. est C’ est un quasi-corps distributif si, ~t seulement si un si, cor p s et seulement si, on a est dans le centre de r L . N(r) ~ N(t) On remarque que Application à 1’étude 7. Nous des corps En utilisant des résultats nie leur sur peuvent centre, partir d’un Soit des type extension de M qui conservent les notations suivantes : y~ utilisant le fait que tout automorphisme phisme intérieur C , (26) de - on de de dimension fi- gauches de à K A/A(xn - a) , une où au centre C9 soit les éléments de C . Adoptons désormais sur son lieu de et de le groupe lieu de au En T . peut être prolongé en un automorK sur M est égale à celle de G et que la dimension de K , Ta G M prouve dans l’ordre : Pour tout élément l’automorphisme .. A/Am. gauches de leur sous-corps commutatif maximal par corps gauche de dimension finie automorphismes sur des corps 0] . cr , un leur centre. sur caractérisation des corps gauches, lesquels une suite d’extensions successives du A=K[x ~ permettent d’obtenir de la théorie des corps connus arrive à on construire à se gauches de dimension finie que certains choix avons vu r ~ tn . suffit pour avoir ’ ’ 03C3 E intérieur .. - . - la loi M x03C3 de parties K, xT= x03C303C4 x-l (y 03C3 tel que l a restriction à soit yx M* x , et M se x Q K 20142014~20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014 avec est 03C3 ~ G} , M et le sous-ensemble de - (j est x , y K E x a propriété * M il existe ~ y ... dont les éléments ont cette ensemble des G , 0 . = un groupe correspondant Le sous- isomorphe à dans cet G pour isomorphis- me. (27) Il existe un La a K E multiplication M , avec les règles égal est à M(G) A tout sous-groupe (x ) , 6 Dans le E H , cas où M(G) de K admettant M(G) est définie par la sous-corps de si, et H de sur M . H est un G seulement correspond si, un M comme sur N , (x ) , connaissance des constantes est extension galoisienne de de sous-corps sous-groupe cyclique d’ordre est déterminée par le résultat suivant : base h, C . de base la structure de M(H) (28) Pour tout sous-groupe existe a E cyclique d’ ordre G de soit t el q ue invariant par M H h, isomorphe à qui sont peut caractériser les sous-corps M(H) , invariants dans l’automorphisme intérieur associé à résultat précédent, Grâce à (29) (a) (26), Il y radicaux, il est équivalence a est une que d’une ramener au cas possible entre suite de A/A(xh - il a) ( a~ de et l’~ 0 ce résultat ressemble à un à coefficients dans sont des nombres qk tenu du x . Compte s , vérifiant : k . induit qui est résoluble. où les G, (b) : G équation sous-groupe de H de prouver le résultat essentiel suivant : corps Mk , automorphisme un groupe Remarquons sur ~~ lautomorphisme théorème concernant la un corps commutatif G; résolution, (on peut même par se premiers). (27) , (29) permet de caractériser la structure des corps gauches, de dimenfinie sur leur centre, qui possèdent un sous-corps commutatif maximale extengaloisienne à groupe de Galois résoluble de ce centre. Avec sion on Il existe T + (b) Le sion a , A = M[x , 03C3 , 0]. pour où par BIBLIOGRAPHIE (Nicolas). - Algèbre. Chap. Paris, Hermann, 1958 (Act. scient. [2] HUGHES (D. R.) and KLEINFELD (E.). [1] BOURBAKI Amer. J. of Math., t. 82, 1960, 8 : Modules et et ind. 1261 ; anneaux semi-simples. - Bourbaki, 23). Seminuclear extensions of Galois fields, p. 389-392. (Nathan). - Structure of rings. - Providence, American mathematical Society, 1956 (American mathematical Society. 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