TD 05 Champ électrostatique ⋆ Calculs de champs et potentiels 3. Le pouvoir des pointes ⋆ Distributions de charge, symétries 1. Découpages usuels Indiquer pour chaque distribution le découpage adapté aux symétries du problème, et donner la charge élémentaire correspondante : 1. Distributions linéïques (a) Fil porté par l’axe (Oz) chargé uniformément en longueur (λ). (b) Arc de cercle de rayon R chargé uniformément en longueur (λ). 2. Distributions surfaciques Dans cet exercice on cherche à montrer que, pour un potentiel donné,le champ à proximité d’une surface est d’autant plus intense que la surface est "pointue", c’est-à-dire que son rayon de courbure est faible. Ce phénomène s’appelle "pouvoir des pointes" et s’applique particulièrement aux surfaces des conducteurs à l’équilibre électrostatique dont la surface est équipotentielle.Il explique notamment que la foudre tombe préférentiellement sur des objets pointus. On modélise le conducteur par une sphère de centre O et de rayon R uniformément chargée en surface, au potentiel V . Afin de relier le champ au voisinage de la surface et le potentiel, on calcule d’abord le champ créé par une distribution surfacique homogène de densité σ puis on en déduit le potentiel (a) Cylindre de rayon R et d’axe (Oz) uniformément chargé en surface (σ). (b) Disque de rayon R et de centre O uniformément chargé en surface (σ). (c) Sphère de rayon R et de centre O portant la charge surfacique σ = σ0 cos θ, avec θ = (Ox, OM ). (a) Cylindre de rayon R et d’axe (Oz) chargé en volume avec la densité a ρ(r, θ, z) = ρ0 . |z| (b) Cylindre de rayon R et d’axe (Oz) chargé en volume avec la densité r . ρ(r, θ, z) = ρ0 1 − R (c) Sphère de rayon R et de centre O uniformément chargée en volume (ρ). 2. Cube chargé On considère un cube de centre O et de côté a, chargé sur deux de ses faces a a opposées (en z = − et en z = ) avec des densités surfaciques de charges 2 2 uniformes, mais opposées (respectivement +σ et −σ) TD 05 Champ électrostatique 2. En déduire l’expression du potentiel V (r), en choisissant V = 0 à l’infini. 3. En déduire une relation entre le champ et le potentiel en r = R. Conclure 3. Distributions volumiques Déterminer les symétries et invariances d’une telle distribution. 1. Calculer le champ électrique créé en un point M extérieur à la sphère (r > R) et en un point M intérieur à la sphère (r < R). 4. Calcul du champ de pesanteur au sein d’une cavité sphérique Une sphère (O1 , R1 ), homogène de masse volumique ρ est percée d’un trou sphérique (O2 , R2 ). 1. Déterminer le champ gravitationnel en un point M de la cavité. 2. En utilisant l’analogie électrostatique - gravitation, donner le champ électrostatique en un point M intérieur à une cavité percée dans une sphère uniformément chargé en volume de charge totale Q (avant que la cavité ne soit percée). Lycée Buffon - MP* 2016-2017 R2 O2 M O1 R1 1 5. Calcul du champ créé par un fil et un cylindre uniformément chargé en surface On considère la distribution (D) constituée par la réunion d’un fil infini (Oz) chargé avec la densité linéique uniforme λ > 0, et d’un cylindre infini de rayon R, d’axe (Oz), chargé avec la densité surfacique uniforme σ > 0. ~ 1. Calculer le champ électrostatique E(M ) en tout point M de l’espace. ~ 2. Représenter graphiquement la fonction kE(M )k en fonction de la coordonnée d’espace dont elle dépend. ~ pour σ = 7, 11.10−5 C · −2 m. On rappelle que Calculer kEk 9, 0.109 S.I. 1 = 4πε0 On considère maintenant deux plaques infinies parallèles : A dans le plan yOz uniformément chargée en surface avec la densité surfacique de charges σ > 0 et B, dans le plan d’équation x = e, chargée avec la densité surfacique de charges −σ. ~ A et E ~ B créés en tout point de l’espace par les plaques 2. Exprimer les champs E A et B. 3. Commenter la continuité du champ électrostatique. 6. Modélisation d’un nuage mince On considère, dans le vide et loin de tout charge, un nuage électrique Π suffisamment étendu pour le considérer d’épaisseur négligeable, d’équation z = h et chargé avec la densité surfacique constante négative σ. ~ à l’intérieur 3. En utilisant le théorème de superposition, exprimer le champ E et à l’extérieur des deux plaques. Dessiner quelques lignes de champ. 1. Déterminer le champ électrique créé par le nuage en tout point M de l’espace. 4. Déterminer l’expression de la différence de potentiel VA −VB . Calculer VA −VB pour σ = 7, 11.10−5 C · −2 m et e = 5, 0 µm. 2. On considère maintenant que le plan (xOy) représentant le sol porte une densité de charge opposée à celle du nuage. Déterminer le champ total créé par le sol et le nuage pour 0 < z < h. 5. Sur chacun des plans, isolons deux régions identiques d’aire S en regard. En déduire la capacité C du condensateur ainsi formé. 3. Déterminer le potentiel total créé par le sol et le nuage pour 0 < z < h sachant que V (0) = 0. 4. Ce condensateur modélise un nuage carré de 10 km de côté à une hauteur h = 2 km. Déterminer la capacité du condensateur ainsi formé et effectuer l’application numérique. 5. On considère maintenant un nuage d’orage. Sachant que lorsque l’éclair se forme, le champ électrique a une valeur de 25 kV · m−1 , déterminer le potentiel V0 du nuage. 7. En déduire alors l’expression de la pression électrostatique Pel , celle-ci étant la force qui s’exerce sur l’unité de surface. Calculer Pel pour σ = 7, 11.10−5 C · −2 m. 8. Anneau chargé 7. Condensateur plan 1. Exprimer le champ créé par une plaque infinie dans le plan (yOz) uniformément chargée en surface avec la densité σ > 0. TD 05 Champ électrostatique 6. Exprimer la force électrostatique F~ qui s’exerce sur la surface S d’une plaque en fonction de σ, ε0 et S. On en précisera le sens et la direction. On considère un cerceau d’axe (Oz) et de rayon a, chargé uniformément (densité linéïque de charge λ). Lycée Buffon - MP* 2016-2017 2 5. Calculer le flux du champ électrostatique à travers le cylindre représenté sur la figure précédente et en déduire l’expression de Er (r, z) en fonction de E0 (z) et/ou de sa dérivée. 6. Justifier le fait que Er (r, z) − Ez (0, z) est au moins d’ordre deux en r. 7. On considère le rectangle ci dessous : Le champ sur l’axe de l’anneau, en un point M de cote z, est de la forme → − E = E0 (z)~uz . L’expression de la fonction E(z) est ici inutile pour résoudre l’exercice. On s’intéresse au champ électrostatique au voisinage de l’axe. On calculer donc le champ en un point P défini par les coordonnées cylindriques (r, θ, z) avec r ≪ a. De manière générale, dr dz r On a choisi ⋆ infiniment petit d’ordre 1 et ⋆ et ⋆ infiniment petits d’ordre L L L 2. → − En calculant la circulation de E le long de ce rectangle, montrer que Ez (r, z) = Ez (0, z) − r 2 d2 E0 (z) 4 dz 2 → − 8. Récapituler l’expression de E (P ) au premier ordre en r, puis au deuxième ordre en r. − → E (P ) = Er (r, θ, z)~ur + Eθ (r, θ, z)~uθ + Ez (r, θ, z)~uz 1. Montrer, par des arguments de symétrie très précis, qu’en P , Eθ (r, θ, z) = 0. → − 2. Montrer que la norme de E (P ) ne dépend que de r et z. 3. Montrer que le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée située au voisinage de l’axe est nul. Que peut-on dire de sa circulation le long d’un contour fermé ? r dz 4. On choisit r et dz tels que ⋆ et ⋆ soient des infiniment petits du preL L mier ordre, où L⋆ est la distance caractéristique des variations spatiales des → − composantes du champ E . ⋆ Dipôle électrostatique 9. Molécule de CO2 On considère la molécule de dioxyde de carbone. 1. En étudiant la structure de la molécule, proposer une distribution de charge équivalente. 2. Déterminer le potentiel créé par cette molécule en un point éloigné. 3. En déduire le champ électrostatique créé par cette molécule en un point éloigné. 10. Cristal de NaCl soumis à un champ L’application d’un champ électrique à un monocristal de chlorure de sodium se traduit par des déplacement des ions qui le composent. TD 05 Champ électrostatique Lycée Buffon - MP* 2016-2017 3 → − Soit E = E0 ~ux le champ électrostatique imposé aux ions du cristal, par exemple en appliquant une tension à des électrodes planes plaquées sur les faces opposées d’un échantillon parallélépipédique. Sous l’effet de ce champ, les ions Na+ se déplacent en bloc selon (Ox) de δ+ et les ions Cl− de δ− , le centre de masse de l’ensemble restant immobile. On posera x = δ+ − δ− . Avant tout déplacement, le moment dipolaire global du cristal est nul par symétrie de la répartition. On note N le nombre d’ions sodium et chlorure par unité de volume et e la valeur absolue de la charge de l’électron. 1. Montrer que ces déplacements ioniques se traduisent par un moment dipolaire → − réparti dans le volume du cristal, de densité volumique P = P ~ux et exprimer P en fonction de la charge élémentaire e, de x et du nombre N de paires d’ions Na+ ; Cl− par unité de volume. 2. L’expérience montre que la relation entre P et E est linéaire, de la forme P = ε0 χion E, où χion est un coefficient positif caractéristique du cristal. (a) En déduire que le groupe d’ions Na+ est soumis à des forces de rappel → − élastique dont la moyenne par ion est de la forme f = −Kx~ux , les ions Cl− étant soumis à des forces opposées. (b) Exprimer la constante K en fonction de N , e, ε0 et χion . → − 3. Après suppression du champ E , les deux groupes d’ions évoluent librement. (a) Écrire l’équation du mouvement d’un ion Na+ et celle d’un ion Cl− ; on désignera par m+ et m− leurs masses respectives. (b) Montrer que le mouvement relatif des deux ions est une oscillation à une pulsation ωT que l’on explicitera en fonction de N , e, ε0 , χion , m+ et m− . Pour cela, on fera les combinaisons linéaires des équations du mouvement des deux ions qui permettent d’obtenir les équations vérifiées m+ δ+ + m− δ− par xG = et par x = δ+ − δ− . m+ + m− TD 05 Champ électrostatique Lycée Buffon - MP* 2016-2017 4 Éléments de réponse 1. 1a : dq = λdz ; 1b : dq = λRdθ ; 2a : dq = 2πσRdz ; 2b : dq = 2πσrdr ; 2c : dq = 2πR2 σ0 cos θ sin θdθ ; a r 3a : dq = πR2 ρ0 dz ; 3b : dq = 2πhρ0 1 − rdr ; 3c : dq = 4πρr 2 dr |z| R 2. (xOy) : antisymétrie ; (xOz), (yOz) et plans diagonaux : symétrie → − → − σR2 3. E (Mint ) = ~0, E (Mext ) = ~er ε0 r 2 σR σR2 et V (Mint ) = V (Mext ) = ε0 r ε0 V (M ) au voisinage de la sphère. E(M ) = R −−−→ ~ −−−→ 4 1 ~ 4. G(M ) = − πρGO1 O2 ; E(M )= ρq O1 O2 3 3ε0 λ ~er si r < R, 0r ~ 5. E(M ) = 2πε λ σR + ~er si r > R. 2πε0 r ε0 r Le champ est discontinu en r = R. → − σz σ 6. Le champ total est E = − ~uz , et le potentiel V (z) = ε0 ε0 Sε0 = 0, 44 µF ; |V0 | = 50 MV C= h σ ~ex si x > 0 ~ ~ = 4, 0.106 V.m−1 7. E(M ) = 2ε0σ ; kEk − ~ex si x < 0 2ε0 ε0 S σe = 40 V ; C = VA − VB = ε0 e 2 σ S F~A→B = − ~ex = −F~B→A 2ε0 σ2 kF~ k = = 2, 9.102 N.m−2 Pel = S 2ε0 r 8. Le flux est nul d’après le théorème de Gauss. Er (r, z) = − E0′ (z). 2 ∂Ez ∂Er La circulation nulle donne (r, z) = (r, z). ∂r ∂z TD 05 Champ électrostatique → − r Au premier ordre en r : E = − E0′ (z)~ur + E0 (z)~uz . 2 → − r r2 Au deuxième ordre en r : E = − E0′ (z)~ur + E0 (z) − E0′′ (z) ~uz . 2 4 −δa2 9. V (M ) = 3 cos2 θ − 1 3 4πε0 r 3δa2 2θ−1 ~ ~ . 3 cos e + 2 sin θ cos θ~ e E(M )=− r θ 4πε0 r 4 → − N e2 ; G est en translation rectiligne uniforme (ou 10. P = N ex~ux ; K = s ε0 χion immobile) ; ωT = Lycée Buffon - MP* 2016-2017 N e2 . mε0 χion 5