Codimension

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Codimension
Exercice 1 [ 00187 ] [correction]
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel Evérifiant
F∩G={0}.
On suppose
codimF= dim G < +∞
Montrer que Fet Gsont supplémentaires.
Exercice 2 [ 02677 ] [correction]
Soit Kun corps, Eun espace vectoriel de dimension finie nsur Ket Lun
sous-corps de Ktel que Kest un espace vectoriel de dimension finie psur L.
Montrer que Eest un espace vectoriel de dimension finie qsur L. Relier n, p, q.
Exercice 3 [ 00176 ] [correction]
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de Etels que F⊂G.
Montrer que si Fest de codimension finie alors Gaussi et codimG6codimF
Exercice 4 [ 03182 ] [correction]
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de codimension finie d’un K-espace
vectoriel E.
On suppose
F⊂Get codimF=codimG
Montrer F=G.
Exercice 5 [ 00177 ] [correction]
Soient Eun espace vectoriel et F,Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
On suppose que F⊂G. Montrer que Fest de codimension finie dans Esi, et
seulement si, Fest de codimension finie dans Get que Gest de codimension finie
dans E. Observer qu’alors
codimGF+codimEG=codimEF
Exercice 6 [ 02678 ] [correction]
Soient Eun K-espace vectoriel, Fun sous-espace vectoriel de Eet Gun
sous-espace vectoriel de F. On suppose que Gest de codimension finie dans E.
Montrer que
codimEG=codimEF+codimFG
Exercice 7 [ 03855 ] [correction]
Soient ϕ1, . . . , ϕndes formes linéaires indépendantes sur un K-espace vectoriel E
de dimension quelconque. Déterminer la codimension du sous-espace vectoriel
F=
n
\
i=1
ker ϕi
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Soit Hun supplémentaire de Fdans E. On a dim H= dim G.
Considérons pla projection sur Hparallèlement à F.
ker pG= ker p∩G=F∩G={0}donc pG:G→Hest injective et puisque
dim H= dim G < +∞,pGest un isomorphisme de Gvers H.
Pour tout x∈E, posons a= (pG)−1(p(x)) et b=x−a. On a x=a+b,a∈Get
p(b) = p(x)−p(a) = p(x)−p(x)=0donc b∈ker p=F. Ainsi E=G+F.
Exercice 2 : [énoncé]
Il est facile de justifier que Eest un L-espace vectoriel sous réserve de bien
connaître la définition des espaces vectoriels et de souligner que qui peut le plus,
peut le moins. . .
Soit (~e1, . . . , ~en)une base de K-espace vectoriel Eet (λ1, . . . , λp)une base du
L-espace vectoriel K.
Considérons la famille des (λj~ei)16i6n,16j6p. Il est facile de justifier que celle-ci
est une famille libre et génératrice du L-espace vectoriel E. Par suite Eest de
dimension finie q=np.
Exercice 3 : [énoncé]
Si Fest de codimension finie alors Fadmet un supplémentaire Hde dimension
finie.
Soit Kun supplémentaire de G∩Hdans H(existe car Hest de dimension finie).
G∩K=G∩H∩K={0}car K⊂Het F⊂G⊂G+Ket H⊂G+Kdonc
E=F+H⊂G+K.Get Ksont supplémentaires, or Kest de dimension finie
donc Gest de codimension finie et codimG= dim K6dim H=codimFcar K
est sous-espace vectoriel de H.
Exercice 4 : [énoncé]
Soit Kun supplémentaire de Fdans E. Puisque
E=F⊕Ket F⊂G
on a immédiatement E=G+K. Montrons que cette somme est directe.
L’intersection G∩Kest sous-espace vectoriel de Ket puisque Kest de dimension
finie, il existe un sous-espace vectoriel K0vérifiant
(G∩K)⊕K0=K
On vérifie alors
E=G⊕K0
Or
dim K0=codimG=codimF= dim K
donc K=K0. Ainsi
E=G⊕K
On peut alors montrer que Gest inclus dans F.
Soit x∈G. Puisque Fet Ksont supplémentaires dans E, on peut écrire
x=xF+xKavec xF∈Fet xK∈K
On a alors
xK=x−xF∈G∩K
car xet xFappartiennent à G.
On en déduit xK= 0 puis x=xF∈F.
Finalement G⊂Fpuis G=F.
Exercice 5 : [énoncé]
Supposons que Fsoit de codimension finie dans E.Fpossède un supplémentaire
de dimension finie H. Considérons alors Ksupplémentaire de H∩Gdans H.Get
Ksont supplémentaires dans Eet Kest de dimension finie donc Gest de
codimension finie dans E. De plus, Fet H∩Gétant supplémentaires dans G, on
peut dire que Fest de codimension finie dans G.
Enfin la relation dim H= dim K+ dim H∩Gse relit
codimEF=codimGF+codimEG.
Inversement, si Fest de codimension finie dans Get Gde codimension finie dans
Ealors la somme d’un supplémentaire de Fdans Get d’un supplémentaire de G
dans Edéfinit un supplémentaire de dimension finie de Fdans E. On peut alors
conclure.
Exercice 6 : [énoncé]
Gpossède un supplémentaire de dimension finie H. Considérons alors K
supplémentaire de H∩Fdans H.
Les espaces Fet Ksont supplémentaires dans Eet Kest de dimension finie donc
Fest de codimension finie dans E.
De plus, Get H∩Fétant supplémentaires dans F, on peut dire que Gest de
codimension finie dans F.
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Enfin la relation
dim H= dim K+ dim H∩F
se relit
codimEG=codimEF+codimFG
Exercice 7 : [énoncé]
Considérons l’application linéaire u:E→Kndéterminée par
u(x)=(ϕ1(x), . . . , ϕn(x))
Le noyau de l’application linéaire uest F.
Si l’application linéaire un’est pas surjective, son image est incluse dans un
hyperplan Hde Knet il existe donc a1, . . . , an∈Knon tous nuls tels que
∀x∈E, a1ϕ1(x) + · · · +anϕn(x)=0
Ceci contredit la liberté de la famille (ϕ1, . . . , ϕn). Ainsi Imu=Rn.
Par le théorème du rang, le noyau de uest de codimension égale à la dimension de
l’image de u. Ainsi, le sous-espace vectoriel Fest de codimension n.
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