TD n 2 : Densité de probabilité, fonction de distribution.

M1 BIBS
Mise à niveau en Mathématiques
Année universitaire 2014-2015
1er semestre
TD n◦ 2 : Densité de probabilité, fonction de distribution.
Exercice n◦ 1 : Loi Uniforme
Rappel : X v.a. continue suit la loi uniforme sur l’intervalle [ a, b] si sa densité est constante
sur [ a, b] et nulle ailleurs.
(a) Quelle est la densité f de X ?
Utiliser la commande dunif de R pour tracer la courbe représentative de f avec a = −1
et b = 4.
Calculer f (1) puis vérifier avec R.
(b) Calculer la fonction de distribution F de X.
Utiliser la commande punif de R pour tracer la courbe représentative de F avec a = −1
et b = 4.
Calculer F (1) puis vérifier avec R.
Exercice n◦ 2 : Somme de variables aléatoires discrètes
On considère deux variables aléatoires X et Y. On suppose que X prend ses valeurs dans
l’ensemble {0, 1, 2} et Y dans l’ensemble {−1, 0, 1} avec :
P( X = 0) = 0.2
P(Y = −1) = 0.3
P( X = 1) = 0.4
P(Y = 0) = 0.25
P( X = 2) = 0.4
P(Y = 1) = 0.45
(a) Quel est l’ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire X + Y ?
(b) Calculer la loi de X + Y. Pour cela on supposera que X et Y sont indépendantes, cette
notion sera reprise plus tard en cours. Cela signifie que
∀ x ∈ {0, 1, 2} ,
∀y ∈ {−1, 0, 1} ,
P( X = x, Y = y) = P( X = x )P(Y = y).
Exercice n◦ 3 : Loi Binomiale
On jette deux dés réguliers à quatre faces et on fait la somme X des points obtenus.
(a) Quelle est la loi de la variable aléatoire X ?
(b) Calculer la fonction de distribution de X et tracer sa courbe représentative sous R grâce
à la commande plot.
Exercice n◦ 4 : Loi Binomiale et loi de Poisson
Dans un centre de transfusion sanguine, on a estimé qu’une poche de sang sur cent était
techniquement défectueuse pour diverses raisons (mauvais conditionnement, etc.). On note X
la variable aléatoire donnant le nombre de poches de sang défectueuses dans des échantillons
de 20 poches.
yohann.decastro/emilie.devijver @math.u-psud.fr
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TD n◦ 2
(a) Expliquez pourquoi X suit une loi binomiale B(n; p) dont on précisera les paramètres.
Rappelez alors la loi de probabilité de X, sa moyenne E( X ) ainsi que son écart-type
σ( X ). Calculez la probabilité Pr ( X > 2).
De nouveaux tests pour détecter les poches contaminées par le VIH sont constamment
développés. On sait que l’antigène P24 est présent dans le sang des individus infectés
quelques jours avant les anticorps qui sont classiquement recherchés. La recherche de cet
antigène pourrait permettre de trouver de nouveaux sujets contaminés qui ne l’auraient
pas été par les tests habituels.
On note Y la variable aléatoire représentant le nombre de poches "positives pour l’antigène P24" observées dans des échantillons de 30 000 poches. On a remarqué qu’une
poche sur 100 000 est positive pour P24. Ainsi, Y suit une loi binomiale B(m; π ) avec
m = 30000 et π = 0, 00001.
(b) Calculez Pr (Y = 0) et Pr (Y = 1) (on gardera beaucoup de chiffres après la virgule).
(c) Pourquoi peut-on supposer que Y suit approximativement une loi de Poisson P (λ) dont
on déterminera le paramètre λ > 0 ? Vérifier que cette approximation est plutôt bonne
en recalculant Pr (Y = 0) et Pr (Y = 1) à partir de la loi de Poisson.
Exercice n◦ 5 : Une loi non-usuelle
Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f donnée par :
(
f (x) =
3
2
8 (1 − x )
3
2
8 (1 − ( x − 2) )
0
(a) Tracer la courbe représentative de f .
(b) Calculer la fonction de distribution FX de X.
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si x ∈ [−1, 1] ,
si x ∈ ]1, 3] ,
sinon