TD n 1 : Loi d`une variable aléatoire

M1 BIBS
Mise à niveau en Mathématiques
Année universitaire 2016-2017
TD n◦1 : Loi d’une variable aléatoire
Exercice n◦1 : Loi Normale sur un exemple
Les méduses piquent par l’intermédiaire de cellules urticantes palcées sur leur tentacules. En gé-
néral, les piqûres des méduses de la côte atlantique occasionnent simplement une vive douleur
passagère. Le venin renferme des polypeptides et enzymes parmi lesquelles la tétramine, l’hista-
mine, la 5-hydroytryptamine.
On note Yla variable aléatoire représentant la quantité de tétramine d’une piqûre de méduse. On
a pu démontrer que Ysuit une loi normale N(25; 36)de moyenne 25µget d’écart-type 6µg.
(a) Quelle est la probabilité qu’une piqûre de méduse contienne exactement 20µgde tétramine.
(b) Quelle est la probabilité qu’une piqûre de méduse contienne au moins 25µgde tétramine.
(c) Calculer la probabilité que la quantité de tétramine d’une piqûre soit comprise entre 15µget
30µg. Représenter géométriquement cette probabilité.
(d) Déterminer le seuil mtel que 5% des piqûres contiennent une quantité de tétramine supé-
rieure à m.
Exercice n◦2 : Loi de Poisson
L’expérience de Luria et Delbrück (1943) a démontré que l’apparition de mutations dans une culture
bactérienne est un phénomène aléatoire, les mutations sont spontanées et ne pas induites par le
milieu.
On met en culture des bactéries coli dans un milieu contenant un antibiotique, la streptomycine,
et on laisse se développer les colonies. On s’intéresse alors aux bactéries qui représentent une mu-
tation de résistance à l’antibiotique, on parle de mutant SmR.
On note Xla variable aléatoire qui représente le nombre de bactéries mutantes dans une colo-
nie. On modélise les fluctuations de Xpar une loi de Poisson P(λ)de paramètre λ > 0 qu’on va
chercher à déterminer.
Expérimentalement, on a obtenu 166 colonies parmi lesquelles 15 ne possèdent aucune bactérie
mutante.
(a) Déterminer le réel λ.
(b) Donner le nombre moyen de bactéries mutantes par colonie. Donner également l’écart-type.
Exercice n◦3 : Somme de va discrètes sur un exemple
On considère deux variables aléatoires Xet Y. On suppose que Xprend ses valeurs dans l’en-
semble {0,1, 2}et Ydans l’ensemble {−1,0,1}avec :
P(X=0) = 0.2 P(X=1) = 0.4 P(X=2) = 0.4
P(Y=−1) = 0.3 P(Y=0) = 0.25 P(Y=1) = 0.45
(a) Quel est l’ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire X+Y?
(b) Calculer la loi de X+Y. Pour cela on supposera que Xet Ysont indépendantes, cette notion
sera reprise plus tard en cours. Cela signifie que
∀x∈ {0,1, 2},∀y∈ {−1,0, 1},P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y).
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Exercice n◦4 : Somme de va discrètes
Jean et Luc lancent chacun une pièce de monnaie qui a une probabilité p de tomber sur face jusqu’à
ce que chacun obtienne une fois face. On note X le nombre de lancers faits par Jean la première
fois où sa pièce tombe sur face et Y le nombre de lancers faits par Luc la première fois où sa pièce
tombe sur face.
(a) Déterminer les lois de X et de Y.
(b) Déterminer la probabilité que Jean et Luc obtiennent face après le même nombre de lancers.
(c) Déterminer les lois de X +Y et de min(X,Y).
Exercice n◦5 : Loi Binomiale et loi de Poisson
Dans un centre de transfusion sanguine, on a estimé qu’une poche de sang sur cent était tech-
niquement défectueuse pour diverses raisons (mauvais conditionnement, etc.). On note Xla va-
riable aléatoire donnant le nombre de poches de sang défectueuses dans des échantillons de 20
poches.
(a) Expliquez pourquoi Xsuit une loi binomiale B(n;p)dont on précisera les paramètres. Rap-
pelez alors la loi de probabilité de X, sa moyenne E(X)ainsi que son écart-type σ(X). Calculez
la probabilité P(X>2).
De nouveaux tests pour détecter les poches contaminées par le VIH sont constamment déve-
loppés. On sait que l’antigène P24 est présent dans le sang des individus infectés quelques
jours avant les anticorps qui sont classiquement recherchés. La recherche de cet antigène
pourrait permettre de trouver de nouveaux sujets contaminés qui ne l’auraient pas été par
les tests habituels.
On note Yla variable aléatoire représentant le nombre de poches "positives pour l’antigène
P24" observées dans des échantillons de 30 000 poches. On a remarqué qu’une poche sur 100
000 est positive pour P24. Ainsi, Ysuit une loi binomiale B(m;π)avec m=30000 et π=
0,00001.
(b) Calculez P(Y=0)et P(Y=1)(on gardera beaucoup de chiffres après la virgule).
(c) Pourquoi peut-on supposer que Ysuit approximativement une loi de Poisson P(λ)dont on
déterminera le paramètre λ > 0 ? Vérifier que cette approximation est plutôt bonne en recal-
culant P(Y=0)et P(Y=1)à partir de la loi de Poisson.
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