Chapitre 4 Espaces métriques compacts

Chapitre 4
Espaces m´etriques compacts
1. Propri´et´e de Borel-Lebesgue.
1.1. D´efinition, premi`eres propri´et´es
⋆1.1.1. D´efinition. Soit (E, d) un espace m´etrique. On dit que (E, d) est un espace
compact si et seulement si de tout recouvrement de Epar des ouverts de E, on peut en
extraire un sous-recouvrement fini. En d’autres termes, si E=Si∈IUio`u les Uisont des
ouverts, il existe Jfini, J⊂Itel que E=Si∈JUi.
Si Aest une partie de E, on dit que Aest une partie compacte si et seulement A
munie de la distance induite est un espace m´etrique compact.
1.1.2. Exemples.
•Tout espace m´etrique fini est compact.
•L’ensemble Rdes nombres r´eels n’est pas compact.
Preuve. Exercice 4.1.
⋆1.1.3. Proposition. Un espace m´etrique compact est born´e.
Preuve. Exercice 4.2.
1.2. Aspect dual de la propri´et´e de Borel-Lebesgue.
En passant au compl´ementaire dans la d´efinition 1.1.1, on obtient facilement la proposi-
tion suivante :
1.2.1. Proposition. Un espace m´etrique est compact si et seulement si de toute
intersection vide de ferm´es de E, on peut en extraire une sous-famille finie d’intersection
vide. En d’autres termes, si (Fi)i∈Iest une famille de ferm´es telle que Ti∈IFi=∅, alors
il existe J⊂Ifini tel que Ti∈JFi=∅.

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Preuve. Exercice 4.3.
⋆1.2.2. Corollaire. Si (Fn)est une suite d´ecroissante (pour l’inclusion,c’est-`a-dire
que pour tout n∈N,Fn+1 ⊂Fn) de ferm´es non vides dans un espace compact, alors
Tn∈NFn6=∅.
Preuve. Exercice 4.4.
1.3. Parties compactes.
La caract´erisation des ouverts pour la topologie induite va nous donner une car-
act´erisation simple des parties compactes.
⋆1.3.1. Proposition. Soit (E, d)un espace m´etrique. Une partie Ade Eest compacte
si et seulement si de tout recouvrement de Apar des ouverts de E, on peut en extraire
un sous-recouvrement fini. En d’autres termes, si (Ui)i∈Iest une famille d’ouverts de E
telle que A⊂Si∈IUi, alors il existe J⊂Ifini tel que A⊂Si∈JUi.
Preuve. Exercice 4.5.
1.3.2. Corollaire. Une r´eunion finie de parties compactes est compacte.
Preuve. Exercice 4.6.
2. Propri´et´e de Bolzano-Weierstraß.
2.1. Valeurs d’adh´erence d’une suite.
⋆2.1.1. D´efinition. Soit (xn) une suite d’un espace m´etrique (E, d). On dit que aest
valeur d’adh´erence de la suite (xn) si
∀ε > 0,∀N∈N,∃n≥N, d(xn, a)< ε.
⋆2.1.2. Proposition. Soit (xn)une suite de (E, d)et a∈E. Les assertions suivantes
sont ´equivalentes :
i. aest une valeur d’adh´erence de (xn)
ii. Il existe une suite extraite de (xn)qui converge vers a
iii. a∈Tp∈N{xn, n ≥p}.
iv. aest point d’accumulation de {xn, n ∈N}ou bien l’ensemble {n∈N, xn=a}est
infini.
Preuve. Exercice 4.7.
2.1.3. Corollaire. L’ensemble des valeurs d’adh´erence est ferm´e.

Espaces m´etriques compacts. 127
⋆2.1.4. Proposition et D´efinition. Soit (un)une suite r´eelle born´ee. On appelle
limite sup´erieure et on note lim sup unla borne sup´erieure de l’ensemble des valeurs
d’adh´erence de (un). Alors, la suite vn= sup{up, p ≥n}est bien d´efinie et converge
vers lim sup un(d’o`u le nom). De plus, lim sup unest une valeur d’adh´erence.
On d´efinirait de mˆeme la notion de limite inf´erieure que l’on note lim inf un.
Preuve. Exercice 4.8.
Enfin, la proposition suivante est ´evidente mais souvent utile :
⋆2.1.5. Proposition. Si (xn)est une suite convergente, alors sa limite est l’unique
valeur d’adh´erence de (xn).
2.2. Propri´et´e de Bolzano-Weierstraß.
Nous allons voir une propri´et´e qui caract´erise la compacit´e dans les espaces m´etriques.
Cette propri´et´e est tr`es diff´erente de la propri´et´e de Borel-Lebesgue, mais se r´ev`ele tr`es
souvent plus souple d’utilisation.
⋆2.2.3. Th´eor`eme de Bolzano-Weierstraß. Un espace m´etrique est compact si et
seulement de toute suite on peut extraire une sous-suite convergente.
Preuve. Montrons tout d’abord que la propri´et´e de Borel-Lebesgue implique celle de
Bolzano-Weierstraß. Soit (xn) une suite de E. Nous allons montrer que (xn) a une
valeur d’adh´erence. Notons Xp={xn, n ≥p}. La suite (Xp) est une suite d´ecroissante
de ferm´es non vides de E, donc l’ensemble des valeurs d’adh´erence qui est l’intersection
des (Xp) est non vide d’apr`es le corollaire 1.2.2.
Pour montrer que la propri´et´e de Borel-Lebesgue implique la propri´et´e de Bolzano-
Weierstraß, nous allons montrer deux lemmes.
⋆2.2.4. D´efinition. Soit (E, d) un espace m´etrique. On dit que Eest pr´ecompact si et
seulement si, pour tout ε > 0, il existe un nombre fini de boules ouvertes de rayon ε > 0
recouvrant E.
2.2.5. Lemme. Tout espace m´etrique (E, d)qui satisfait la propri´et´e de Bolzano-
Weierstraß est pr´ecompact.
Preuve du lemme 2.2.5. Raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il existe ε > 0 tel que
l’on ne puisse pas recouvrir Epar des boules de rayon ε.
- Soit x0∈E. Alors B(x0, ε)6=E.
- Soit donc x1∈E\B(x0, ε). On a donc d(x1, x0)≥ε.
- De mˆeme, comme B(x0, ε)∩B(x1, ε)6=E, on en d´eduit l’existence de x2∈Etel
que d(x0, x2)≥εet d(x1, x2)≥ε.
- On recommence... x0, x1,...,xnsont construits tels que, pour tous i < j,
d(xi, xj)≥ε. On sait que Sn
i=0 B(xi, ε)6=E, donc il existe xn+1 ∈Etel que pour
tout i∈ {0,1,...,n},d(xi, xn+1)≥ε.

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On construit ainsi une suite (xn) de Etelle que d(xi, xj)≥εd`es que i6=j. En
particulier, cette suite n’admet aucune sous-suite convergente car aucune sous-suite n’est
de Cauchy, d’o`u le lemme.
2.2.6. Lemme. Soit (E, d)une espace m´etrique v´erifiant la propri´et´e de Bolzano-
Weierstraß, et soit (Ui)i∈Iun recouvrement de Epar des ouverts de E. Alors :
∃α > 0,∀x∈E, ∃i∈I, B(x, α)⊂Oi.
Preuve du lemme 2.2.6. Supposons le contraire.
∀α > 0,∃x∈E, ∀i∈I, B(x, α)6⊂ Oi.
Et donc,
∀n∈N∗,∃xn∈E, ∀i∈I, B xn,1
n6⊂ Oi.
Soit xϕ(n)une sous-suite de (xn) qui converge. Notons xsa limite. Il existe i∈Itel que
x∈Oi. Comme Oiest ouvert, il existe r > 0 tel que B(x, 2r)⊂Oi. Comme (xϕ(n))
converge vers x,
∃N∈N,∀n∈N, n ≥N⇒d(xϕ(n), x)< r et 1
ϕ(n)< r.
Alors,
∀n≥N, ∀y∈Bxϕ(n),1
ϕ(n), d(x, y)≤d(x, xϕ(n)) + d(xϕ(n), y)< r +r= 2r,
et donc, pour tout n≥N, on a B(xϕ(n),1/ϕ(n)) ⊂Oi, ce qui est absurde. D’o`u le lemme
2.2.6.
Terminons la preuve du th´eor`eme de Bolzano-Weierstraß. Soit (E, d) un espace
m´etrique v´erifiant la propri´et´e de Bolzano-Weierstraß. Soit (Oi)i∈Iun recouvrement de
Epar des ouverts de E. D’apr`es le lemme 2.2.6, il existe α > 0 tel que
∀x∈E, ∃i∈I, B(x, α)⊂Oi.
D’apr`es le lemme 2.2.5, on peut recouvrir Epar un nombre fini de boules de rayon α, ce
qui s’´ecrit
∃n∈N∗,∃x1,...,xn∈E, E =
n
[
i=1
B(xi, α).
Or pour tout j∈ {1,...,n}, il existe ij∈Itel que B(xj, α)⊂Oij. On en d´eduit que
E=Sn
j=1 Oij, d’o`u le r´esultat.
⋆2.2.7. Corollaire. Un espace m´etrique (E, d)est compact si et seulement si l’une des
assertions suivantes est v´erifi´ee
- Toute suite de Eadmet au moins une valeur d’adh´erence.

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- Toute partie infinie de Eadmet au moins un point d’accumulation.
Preuve. Exercice 4.9.
2.3. Propri´et´es g´en´erales des compacts.
⋆2.3.1. Proposition. Soit (E, d)un espace m´etrique.
- Si Eest compact et si Aest une partie ferm´ee de E,Aest compacte.
- Si Aest une partie compacte de E,Aest ferm´ee et born´ee.
Preuve. Exercice 4.10.
⋆2.3.2. Proposition. Un espace compact est complet.
Preuve. Exercice 4.11.
⋆2.3.3. Proposition. Soit (E, d)un espace m´etrique compact et (xn)une suite de E
admettant une et une seule valeur d’adh´erence x. Alors (xn)converge vers x.
Preuve. Exercice 4.12.
⋆2.3.4. Proposition. Soient E1,...,Enun nombre fini d’espaces m´etriques.
L’ensemble E=E1× · · · × Enest compact si et seulement si Eiest compact pour tout i.
Preuve. Exercice 4.13.
⋆2.3.5. Th´eor`eme. Les parties compactes de Rn(muni des distances produit usuelles)
sont les ferm´es born´es de Rn.
Preuve. D’apr`es la proposition 2.3.1, les parties compactes sont ´ecessairement ferm´ees
born´ees. R´eciproquement, si Aest born´ee, alors Aest born´ee pour la distance d∞sur
Rn, et donc il existe M > 0 tel que A⊂[−M, M]× · · · × [−M, M]. Comme Aest
ferm´ee, et qu’un ferm´e dans un compact est ferm´e d’apr`es la proposition 2.3.1, il suffit de
montrer que [−M, M]×· · ·×[−M, M] est compact pour conclure. D’apr`es la proposition
pr´ec´edente, il suffit de montrer que [−M, M] est compact dans R. Cela d´ecoule du lemme
suivant.
⋆2.3.6. lemme. Tout intervalle ferm´e [a, b]est compact dans Rpour la topologie
usuelle.
Preuve. Soit (Ui)i∈Iune famille d’ouverts de Rqui recouvre le segment [a, b]. On va
montrer qu’on peut en extraire un sous-recouvrement fini. Soit
A={x∈[a, b],le segment [a, x] peut ˆetre recouvert par un nombre fini de Ui}.
Il est clair que a∈A, car il existe i∈Itel que a∈Ui, et donc l’ouvert Uirecouvre le
segment [a, a]. Aest donc un ensemble non vide major´e de Rqui admet donc une borne
sup´erieure s.