Correction du DM n°4 Partie A: 1. cosx = 0 ⇔ x = π 2 [2π] ou x = − π

Correction du DM n°4
Partie A:
1. cos x= 0 ⇔x=π
2[2π]ou x=−π 2[2π]
Le domaine de définition de la fonction tangente est donc
E = R\nπ
2[2π],−π 2[2π]o
2. a )
tan (x+π) = sin (x+π)
cos (x+π)=−sin x −cos x=sin x cos x= tan x
On peut en déduire que la fonction tangente est périodique de période π.
b )
tan (−x) = sin (−x)
cos (−x)=−sin x cos x=−sin x cos x=−tan x
La fonction tangente est donc impaire et sa courbe représentative admet l’origine du repère
comme centre de symétrie.
c ) D’après la périodicité de la fonction tangente, on peut restreindre son étude à un
intervalle de longueur π.
De plus, comme elle est impaire, on peut l’étudier uniquement sur i0,π
2h
3. a )
tan 0 = sin 0
cos 0 =0 1= 0 et tan π 4=
sin π
4
cos π
4=
√2
2
√2
2
= 1
b ) D’une part
lim
x→π
2
−
sin x= 1 et lim
x→π
2
−
cos x= 0+
d’autre part
lim
x→π
2
+sin x= 1 et lim
x→π
2
+cos x= 0−
D’où
lim
x→π
2
−
tan x= +∞et lim
x→π
2
+tan x=−∞
c ) Les droites d’équations x=π
2et x=−π 2sont deux asymptotes verticales à la courbe C
4. a ) Cette fonction est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur E, de plus
tan0(x) = cos x×cos x−sin x×(−sin x)
cos2x=cos2x+ sin2x cos2x=1 cos2x
Ou encore
tan0(x) = cos2x+ sin2x
cos2x=cos2x cos2x+sin2x cos2x= 1 + sin x cos x2
= tan2x
b ) Pour tout x∈I,tan0(x)>0, il s’ensuit que la fonction tangente est strictement
croissante sur l’intervalle I
Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth 1

x
tan0(x)
tan(x)
0π
2
+
00 +∞+∞
c ) La fonction tangente étant impaire, elle sera également croissante sur l’intervalle
i−π
2,0i, d’où
x
tan0(x)
tan(x)
−π
2
π
2
+
−∞−∞ +∞+∞
d ) tan 0 = 0 et tan 0(0) = 1 + tan20=1, la droite (T) a donc pour équation
y=x
5.
6. a ) La commande « trigexpand »permet de développer une expression trigonométrique
comportant des sinus, cosinus ou tangentes.
b )
tan(a+b) = sin(a+b)
cos(a+b)=sin acos b+ sin bcos a cos acos b−sin asin b=
sin acos b+ sin bcos a
cos acos b
cos acos b−sin asin b
cos acos b
=
sin a
cos a+sin b cos b
1−sin a
cos a×sin b cos b
tan(a+b) = tan a+ tan b
1−tan a×tan b
Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth 2

Partie B:
I- On constate que la valeur maximale de θest d’environ 12,64°, ce qui correspond à une distance
ET d’environ 12,49 m
II- 1. a ) tan(α+θ) = EQ
ET =15.6 xet tan α=EP ET =10 x
b ) tan(α+θ) = tan α+ tan θ
1−tan α×tan θ, soit 15.6 x=
10
x+ tan θ
1−10
x×tan θ
On effectue un « produit en croix », et on obtient
15.6−156
xtan θ= 10 + xtan θ
soit
tan θ=5.6x
156 + x2
2. On pose f(x) = 5.6x
156 + x2, en utilisant Xcas nous obtenons :
ainsi que la représentation graphique
Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth 3

Ce qui donne une valeur maximale xmégale à environ 12,5, or comme la tangente est une
fonction croissante, cela correspond aussi au maximum de θ.
L’utilisation de la fonction « atan »de Xcas (en mode degrés) permet d’obtenir θmw12,6°.
Annexe :
Construction à l’aide de GeoGebra
Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth 4