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COMPLEXES : EXERCICES
Exercice C1 : (N0 ) Enoncé
1) Dans le plan complexe, dans chaque cas, représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que :
a) Im z = 2
b) Im z = 5
c) z − i = 2
2) Répondez aux questions suivantes, en utilisant rapidement une représentation graphique
a) Si z ′ = z , que peut-on dire de z ′ et de arg(z’) en liaison avec z et de arg(z) ?
b) Si z ′ = −z , que peut-on dire de z ′ et de arg(z’) en liaison avec z et de arg(z) ?
c) Si z ′ = iz , que peut-on dire de z ′ et de arg(z’) en liaison avec z et de arg(z) ?
Exercice C2 : (N1 ) Enoncé
Dans le plan complexe, dans chaque cas, préciser l’ensemble des points M d’affixe z tels que :
b) z = 2eix où x ∈ π ;π 
 2 
a) z + 2i = z − 1 + 3i
c) arg(
d) a étant un réel positif fixé , z = z0 + aeiθ avec θ ∈ ]0,π [
z − 2i π
) = [ 2π ]
z+2
2
Exercice C3 : (N1 ) Enoncé
Résoudre dans ^ les équations suivantes
a) z 2 + a 2 = 0
b) z 2 = 1 + i
où a>0
c) z 3 = 5
d) z 3 = −8
e) z 4 = i
Exercice C4 : (N0 ) Enoncé
1) Calculer le module de a) z1 = (3 + 2i )5
b) z2 =
1
1
−
1 + i 1 − 2i
2) Soit z = x + iy , exprimer en fonction de x et de y le module de z3 = z 2 − 1 et celui de z4 = 1 −
1
z
Exercice C5 : (N1 ) Enoncé
Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :
G JJJJJG
a) z1 = −2 − i (donner une valeur approchée de la mesure en degrés de l’angle (e1 , OM1 ) où M1 ( z1 = −2 − i ) )
a) z 2 = e iα où α ∈R
b) z3 = −3eiα où α ∈R
d) z 4 = 1 + e iθ , θ ∈ ]- π , π [
(indication : écrire z 4 = e
iθ
2
× (...) = e
iθ
2
× z ′ puis exprimer z ′ en fonction de cosθ
1
2
et de sin θ )
2
Exercice C6 : (N2 ) Enoncé
Déterminer la valeur des complexes suivants (plusieurs cas peuvent être envisagés pour chaque question)
(pensez à vous aider d’un dessin)
π
i ( + kπ )
ik
π
(k ∈ ])
b) zk = e 2
(k ∈])
a) zk = e
Exercice C7 : (N1 ) Enoncé
Linéariser sin 3 x et cos 4 x
(c’est à dire exprimer ces expressions en sommes ou différences de termes de type cos kx ou sin kx )
Remarque : la linéarisation est notamment utile pour intégrer
Exercice C8 : (N1 ) Enoncé
On considère l’ équation (e) : z 3 + (2 + 2i ) z 2 + (5 − 4i ) z − 10i = 0
Montrez que (e) admet une solution imaginaire pure, puis résoudre (e)
Exercice C9 : (N1 ) Enoncé
1) Soit z0 = a0 + ib0 . Préciser la transformation géométrique qui, à tout point M d’affixe z fait correspondre M’( z ’) tel
que z ′ = z + z0
2) Soit k un réel non nul. Préciser la transformation géométrique qui, à tout point M d’affixe z fait correspondre M’( z ’) tel que
z ′ = kz
Exercice C10 : (N1 ) Enoncé
Résoudre dans ^
les équations a) z 2 = (1 + i 3) z
b) z 2 − (2θ +1 cos θ ) z + 2 2θ = 0
Exercice C11 : (N1 ) Enoncé
Déterminer la forme cartésienne de z=
1 − e ix
1 + e ix
pour x ≠ kπ ( k ∈ Z )
Exercice C12 : (N1 ) Enoncé
Soit j= e
i
2π
3
1) préciser les valeurs de j 3 ; j et 1 + j + j 2
2) Simplifier puis donner module et argument de z1 = (1 − j )(1 − j 2 ) et de z 2 = ( j − 1)( j − j 2 )
2
Exercice C13 : (N1 ) Enoncé
Soit f ( z ) =
1
3
4z
imaginaires positives.
2) f ( z1 ) + f ( z 2 ) =
1) Résoudre dans C l’équation z 4 + 1 = 0 . Soient z1 et z 2 les deux solutions de parties
1
4 z13
2) Calculer f ( z1 ) + f ( z 2 )
+
1
4 z 23
=
z1
4 z14
+
z2
4 z 24
=
−i 2
−1
( z1 + z 2 ) =
4
4
Exercice C14 : (N2 ) Enoncé
Montrer que si θ ∉ 2π ] alors
n
∑ e ikθ = e
k =0
inθ
sin(
2
n +1
θ)
2
θ
sin( )
2
3