DS 1

Correction Devoir surveillé n°2 05/11/13
Exercice 1
1. Ecrire la décomposition primaire de 1200.
La décomposition en facteurs premiers de 1200 est :
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Ecrire la
décomposition primaire de 1200n et en déduire le nombre de
diviseur de 1200n en fonction de n.
La décomposition en facteurs premiers de 1200n est :
Le nombre de diviseurs de 1200n est donc
(4n + 1)(n + 1)(2n + 1)
Exercice 2
Pour tout nombre premier p supérieur ou égal à 5, Montrer que l’entier
p² - 1 est divisible par 24. (On montrera que p² - 1 est divisible par 8 et par
3)
On remarque que p² - 1 = (p + 1)(p – 1)
Divisibilité par 8 :
P étant un nombre premier supérieur à 5, il est impair. Par conséquent p – 1
et p + 1 sont pairs, l’un étant multiple de 2 et l’autre de 4.
Ainsi le produit de p – 1 par p + 1 est un multiple de 8.
Divisibilité par 3 :
p n’est pas un multiple de 3 sinon il ne serait pas premier. Or p – 1, p et p + 1
sont trois entiers consécutifs donc p – 1 ou p + 1 est un multiple de 3.
Ainsi p² - 1 est divisible par 3.
En conclusion p² - 1 est divisible par 24.
Exercice 3
1. Soit E = {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9}.
Déterminer les paires {a,b} d’entiers distincts de E tels que le reste
de la division Euclidienne de a × b par 11 soit 1.
On cherche tous les couples d’éléments de E dont le produit vaut 12 ;
23 ; 34 ; 45 ; 56 ; 67 ; 78 ou 89. En effet ab = 11k + 1.
On a alors (2 ;6), (6 ;2), (3 ;4), (4 ;3), (7 ;8), (8 ;7), (9 ;5), (5 ;9).
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On appelle factorielle
n, noté n !, le nombre :
a. L’entier (n – 1) ! + 1 est-il pair ?
Dans le terme (p – 1) ! apparaît le 2 donc le produit est pair.
Ainsi (p – 1) ! + 1 est impair.
b. L’entier (n – 1) ! + 1 est-il divisible par un nombre pair ?
D’après la question précédente, un nombre impair n’étant pas
divisible par un nombre pair, (p – 1) ! + 1 n’est pas divisible par un
nombre pair.
3. Soit p un entier naturel non premier supérieur ou égal à 2.
a. Prouver que p admet un diviseur q, strictement compris entre 1 et
p, qui divise (p – 1) !
p n’étant pas premier, il admet un diviseur strict q.
Ce diviseur apparaît dans la décomposition (p – 1) ! donc q divise
(p – 1) !
b. L’entier q divise-t-il (p – 1) ! + 1 ?
Si q divisait ce terme alors q diviserait [(p – 1) ! + 1] – (p – 1) ! = 1.
C’est absurde car q > 1.
c. L’entier p divise-t-il (p – 1) ! + 1 ?
Si p divisait (p – 1) ! + 1, comme q divise p alors q diviserait
(p – 1) ! + 1. Absurde d’après la question précédente.