tp nombres de mersenne et de fermat

TP NOMBRES DE MERSENNE ET DE FERMAT
FICHE 13 (solutions)
Ex 13.1
3
2M
,
7
3M
,
31
5M
,
127
7M
sont premiers.
1
1M
,
15
4M
,
63
6M
,
255
8M
,
511
9M
,
1023
10 M
ne le sont pas.
Ex 13.2 Si n n'est pas premier, montrons que
n
M
ne peut être premier. Le cas
1n
étant vite réglé,
supposons
2n
.
nnn 
avec
2 n
et
2 n
. En reprenant les résultats de l'exercice 2.13,
1212  nnn
est divisible par
12 
n
et donc n'est pas premier.
En effet, on avait montré que
nn ba 
est toujours divisible par
ba
à cause de l’identité remarquable
))((122321   nnnnnnn babbabaababa 
. Ici on peut remplacer a par
n
2
, b par 1 et n par
n
.
Bien que 11 soit premier,
892320471211 
n'est pas premier.
Ex 13.3
12122 2
22 
nm
nm
m
F
est divisible par
n
F
n122
d'après la fin de l'exercice 2.13. On
avait en effet montré que si n est pair
ba
divise
nn ba 
, résultat que l’on peut appliquer ici en remplaçant
a par
n
2
2
, b par 1 et n par
nm
2
.
Il y a donc une égalité de la forme
nm kFF 2
. Un diviseur commun de
n
F
et de
m
F
doit donc diviser 2.
n
F
et
m
F
étant tous les deux impairs, ils sont premiers entre eux.
Ce fait permet de donner une autre démonstration du fait qu’il existe une infinité de nombres premiers. En
effet chaque nombre
n
F
doit avoir au moins un diviseur premier
n
p
. Les nombres
n
F
étant deux à deux
premiers entre eux, les
n
p
forment donc une suite illimitée de nombres premiers tous différents.