tp nombres de mersenne et de fermat

TP NOMBRES DE MERSENNE ET DE FERMAT
FICHE 13 (solutions)
Ex 13.1 M 2  3 , M 3  7 , M 5  31 , M 7  127 sont premiers.
M 1  1 , M 4  15 , M 6  63 , M 8  255 , M 9  511 , M 10  1023 ne le sont pas.
Ex 13.2 Si n n'est pas premier, montrons que M n ne peut être premier. Le cas n  1 étant vite réglé,
supposons n  2 . n  nn avec n  2 et n  2 . En reprenant les résultats de l'exercice 2.13,
2 n  1  2 nn  1 est divisible par 2 n  1 et donc n'est pas premier.
En effet, on avait montré que a n  b n est toujours divisible par a  b à cause de l’identité remarquable
a n  b n  (a  b)(a n1  a n2 b  a n3b 2    ab n2  b n1 ) . Ici on peut remplacer a par 2 n , b par 1 et n par
n .
Bien que 11 soit premier, 211  1  2047  23  89 n'est pas premier.
Ex 13.3 Fm  2  2
2m
 
1  2
2n
2 m n
 1 est divisible par 2 2 1  Fn d'après la fin de l'exercice 2.13. On
n
avait en effet montré que si n est pair a  b divise a n  b n , résultat que l’on peut appliquer ici en remplaçant
n
a par 2 2 , b par 1 et n par 2 mn .
Il y a donc une égalité de la forme Fm  2  kFn . Un diviseur commun de Fn et de Fm doit donc diviser 2.
Fn et Fm étant tous les deux impairs, ils sont premiers entre eux.
Ce fait permet de donner une autre démonstration du fait qu’il existe une infinité de nombres premiers. En
effet chaque nombre Fn doit avoir au moins un diviseur premier p n . Les nombres Fn étant deux à deux
premiers entre eux, les p n forment donc une suite illimitée de nombres premiers tous différents.