TP NOMBRES DE MERSENNE ET DE FERMAT
FICHE 13 (solutions)
Ex 13.1
3
2M
,
7
3M
,
31
5M
,
127
7M
sont premiers.
1
1M
,
15
4M
,
63
6M
,
255
8M
,
511
9M
,
1023
10 M
ne le sont pas.
Ex 13.2 Si n n'est pas premier, montrons que
ne peut être premier. Le cas
1n
étant vite réglé,
supposons
2n
.
nnn
avec
2
n
et
2
n
. En reprenant les résultats de l'exercice 2.13,
1212 nnn
est divisible par
12
n
et donc n'est pas premier.
En effet, on avait montré que
nn ba
est toujours divisible par
ba
à cause de l’identité remarquable
))((122321 nnnnnnn babbabaababa
. Ici on peut remplacer a par
n
2
, b par 1 et n par
n
.
Bien que 11 soit premier,
892320471211
n'est pas premier.
Ex 13.3
 
12122 2
22
nm
nm
m
F
est divisible par
n
F
n122
d'après la fin de l'exercice 2.13. On
avait en effet montré que si n est pair
ba
divise
nn ba
, résultat que l’on peut appliquer ici en remplaçant
a par
n
2
2
, b par 1 et n par
nm
2
.
Il y a donc une égalité de la forme
nm kFF2
. Un diviseur commun de
n
F
et de
m
F
doit donc diviser 2.
n
F
et
m
F
étant tous les deux impairs, ils sont premiers entre eux.
Ce fait permet de donner une autre démonstration du fait qu’il existe une infinité de nombres premiers. En
effet chaque nombre
n
F
doit avoir au moins un diviseur premier
n
p
. Les nombres
n
F
étant deux à deux
premiers entre eux, les
n
p
forment donc une suite illimitée de nombres premiers tous différents.
1 / 1 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !