TD Révisions : Probabilités discrètes

Mathématiques L3 MIAGE
TD Révisions : Probabilités discrètes
Objectifs de la première partie du cours
•Tracer des histogrammes de valeurs / fréquences / densités, comprendre ce que
chacun représente.
•Connaître le vocabulaire habituel des probabilités discrètes (expérience aléa-
toire, univers, événements, ...).
•Faire la différence entre permutations / arrangements / combinaisons.
•Dénombrer des ensembles classiques liés aux tirages en utilisant les propriétés
de cardinal des ensembles (complémentaire, produit, union, ...).
•Calculer une probabilité discrète grâces aux définitions (cas favorables / pos-
sibles) et propriétés (contraire, union, ...).
•Comprendre la notion d’indépendance d’événements.
•Utiliser les probabilités conditionnelles, probabilités totales, le théorème de
Bayes.
•Comprendre le concept de variable aléatoire discrète, et de loi de probabilités,
et savoir utiliser leurs propriétés.
•Utiliser et comprendre ce que représentent les notions d’espérance mathéma-
tique, variance, et écart type.
•Utiliser le théorème de transfert, la linéarité de l’espérance et le théorème de
König pour effectuer des calculs.
•Reconnaître les différentes lois classiques (uniforme, Bernouilli, binomiale, géo-
métrique, Poisson), savoir ce qu’elles représentent et utiliser leurs propriétés
(probabilités, espérance, variance).
•Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson (paramètre et con-
ditions).
•Savoir justifier les concepts de probabilités.
Exemple de grille d’évaluation
A. Excellent (rien à modifier) : 100% -B. Bien : 75 -90% -C. Satisfaisant : 50
-70% -D. Passable : 25 -45% -E. Insatisfaisant : 0-20%.
Dénombrement : Directement
A. Nom pour l’événement / ensemble, explication du bon raisonnement, bonne
formule détaillée, bon résultat.
B. Explication du bon raisonnement, bonne formule détaillée.
C. Bon raisonnement, pas de formule et bon résultat ou erreur dans le raisonnement,
mais cohérence avec la formule et du résultat.
D. Pas de raisonnement, bonne formule et bon résultat.
E. Plusieurs erreurs ou uniquement résultat.
Calcul d’une probabilité : Par cas favorables / possibles
A. Nom pour l’événement, justification et calcul des cas favorables et possibles,
résultat du quotient des deux.
B. Justification et calcul des cas favorables et possibles, calcul du quotient des deux.
C. Calcul des cas favorables et possibles, calcul du quotient des deux.
D. Calcul d’un quotient avec début d’explications, ou calcul des cas favorables et
possibles sans suite.
E. -
Calcul d’une probabilité : Par théorème
A. Rappel du théorème (littéral), vérification des conditions, calcul correct des
valeurs nécessaires et bon résultat.
B. Rappel du théorème (littéral), vérification des conditions, calcul des valeurs
nécessaires.
C. Utilisation du théorème (numérique), vérification des conditions, calcul des valeurs
nécessaires.
D. Identification du théorème à utiliser, et calcul de certaines valeurs.
E. -
Reconnaître une loi : Valeurs
A. Bonne loi, bon(s) paramètre(s) et bonne notation.
B. Bonne loi, bon(s) paramètre(s).
C. Mauvaise loi mais paramètre(s) cohérent(s).
D. Bonne loi et mauvais paramètre(s).
E. Mauvaise loi, et incohérence sur les paramètres.

Reconnaître une loi : Justification
A. Explication du choix de la loi, de ce que signifie le(s) paramètre(s) de la loi afin
de trouver la valeur.
B. Explication du choix de la loi, et paramètre(s) avec explication incomplète.
C. Explication des paramètres sans explication complète de la loi, ou uniquement
explication du choix de la loi.
D. Début de justification.
E. Pas de justification ou incohérente.
Espérance, Variance, Écart-type : Calcul
A. Notation, rappel de la formule littérale, application de la formule, et bon résultat.
B. Notation, rappel de la formule littérale, application de la formule.
C. Notation, application de la formule, et (rappel de la formule ou bon résultat).
D. Application de la formule ou rappel de la formule littérale.
E. Ni application ni rappel.
Exercices directs de révision
Il s’agit ici de trouver la réponse et le(s) argument(s) qui permet de justifier la
réponse.
Dénombrement
Course avec 10 participants.
1. Nombre de vainqueur possible ? 2. Nombre d’ordres d’arrivée possibles ?
3. Nombre de podiums possibles sans égalité ?
4. Nombre de choix possibles pour les médaillés ?
Une urne contient 4 boules rouges, 3 blanches et 2 noires.
5. Nombre de façons de tirer 3 boules sans remise avec au moins une rouge ?
6. Exactement une rouge ? Avec remise, au moins une ? Exactement une ?
Probabilités discrètes
7. P(A)=0,3.P(A)?
8. P(A)=0,05,P(B)=0,1,P(A|B)=0,5.P(B|A)?
9. P(B)=0,1,P(A|B)=0,5.P(A∩B)?
10. P(A)=0,05,P(B)=0,1,P(A∩B)=0,5.Aet Bindépendants ?
11. P(B)=0,1,P(A|B)=0,5,P(A|B)=0,2.P(A)?
12. P(A)=0,2,P(B)=0,5et P(A∩B)=0,1.P(A∪B)?
Variable aléatoire
x−1 0 2 3
P(X=x) 0,3 2p p −0,1 0,2
13. Valeur de p?
14. Fonction de répartition de X?
15. P(X≤2) ?
16. P(X > 2) ?
17. Espérance de X?
18. Variance de X?
19. Ecart-type de X?
20. Espérance de Y=|X−1|?
Lois classiques
21. P(A)=0,02. Soit Xla v.a. qui vaut 1 si Ase réalise, 0 sinon. Loi de X?
22. P(X= 0) ?
23. P(X < 1) ?
24. Espérance de X?
25. Variance de X?
26. Soit Yla v.a. du nombre de fois où Aa lieu en 100 répétitions indépendantes.
Loi de Y?
27. P(Y= 4) ?
28. P(Y≤1) ?
29. Espérance de Y?
30. Variance de Y?
31. Approximation par une loi de Poisson ?
32. Approximation de P(Y= 4) ?
33. Soit Zla v.a. du nombre de répétitions indépendantes avant que Aait lieu. Loi
de Z?
34. P(Z= 4) ?
35. P(Z > 2) ?
36. Espérance de Z?
37. Variance de Z?
38. En moyenne, un patient se présente aux urgences toutes les 12 minutes. Soit X
la v.a. du nombre de patient qui arrive en 1h. On suppose qu’elle suit une loi
de Poisson. Paramètre ?
39. Probabilité de 3 patients en 1h ?
40. Espérance de X?
41. Variance de X?
42. Probabilité de 4 patients en 30min ?