CCP Physique 2 MP 2012 — Corrigé

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CCP Physique 2 MP 2012 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Pierre Lacas (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Comme souvent, la deuxième épreuve de physique du concours CCP filière MP se
compose de deux grandes parties : optique et électromagnétisme. Au total, l’épreuve
comporte quatre parties indépendantes.
• La première partie porte sur un montage interférométrique à deux télescopes
associés par fibre optique au VLT, Very Large Telescope, situé au Chili. Utilisé
en astronomie, ce montage permet d’augmenter considérablement le pouvoir de
résolution. Ce problème d’optique ondulatoire fait intervenir les notions d’interférence à deux ondes qui sont, pour la plupart, rappelées dans l’énoncé. On
peut déplorer que cette partie de l’énoncé soit plutôt floue, ce qui n’aide pas
à comprendre comment le dispositif fonctionne si on ne l’a jamais rencontré
avant. De plus, cette partie se termine par l’utilisation de la fibre optique monomode, notion hors-programme. Si aucune connaissance sur ces fibres n’était
exigée, cela n’aide pas à la clarté de ce premier ensemble de questions.
• La deuxième partie aborde quelques aspects optiques liés au satellite Hubble : la
lentille de Fresnel utilisée dans ses panneaux solaires est étudiée et l’effet Sagnac
à l’origine des gyrolasers est introduit dans un cadre classique. Il s’agit ici
essentiellement de tester les acquis de première année en optique géométrique.
• Le troisième problème est consacré au schéma électronique d’un teslamètre
utilisant les amplificateurs opérationnels. Contrairement au reste de l’épreuve,
cette partie exige de l’autonomie et une maîtrise plus technique des lois de
l’électrocinétique.
• Enfin, la dernière partie aborde les phénomènes de lévitation de nature électromagnétique. Dans un premier temps, on met en évidence l’existence d’une
« pression électrostatique » dans les conducteurs à l’équilibre. Ensuite, on s’intéresse au phénomène de lévitation d’un supraconducteur sphérique dans un
champ inhomogène. Cette partie très progressive visite les chapitres sur les
conducteurs, le théorème de Gauss et le dipôle magnétique. Il peut à ce titre
servir de révision du programme d’électromagnétisme de première année.
Dans l’ensemble, l’épreuve ne présente pas de grande difficulté de par sa grande
progressivité, ses nombreuses indications et la présence importante de résultats intermédiaires.
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Indications
Partie I
I.2 Les deux étoiles sont des sources incohérentes.
I.5 Une erreur de signe s’est glissée dans l’énoncé : il faut lire Lf = b sin α.
I.6.3 La fibre optique fonctionne en régime monomode lorsque V < 2,4.
Partie II
II.1.2.3 Raisonner dans le triangle Fo OI.
II.1.4 Prendre garde aux signes. Le rayon de courbure algébrique R2 d’une lentille plan-convexe est négatif puisque le centre de courbure est à gauche du
sommet du deuxième dioptre sphérique.
Partie IV
IV.1.1.3 Attention, contrairement à ce qu’indique le texte, on ne peut pas exprimer
le champ électrique total en M0 .
IV.1.1.4 Là encore, une erreur s’est glissée dans l’énoncé. La force électrique que subit
l’élément de surface est le résultat de l’interaction entre les charges de l’élé−
→
ment dS et les autres charges. C’est donc bien le champ électrique Ee (M0 )
→
−
qui est utile au calcul, et non E (M0 ) qui n’est pas défini.
IV.1.2.1 Calculer par exemple le potentiel au centre de la boule conductrice.
IV.2.1.3 Utiliser le théorème de Gauss en prenant pour surface d’intégration une
sphère de centre C et de rayon r.
IV.2.1.4 On rappelle que le potentiel est une quantité continue.
IV.2.3.2 Calculer la force de Laplace sur une portion de spire élémentaire et vérifier
que pour deux points symétriques par rapport à l’axe (∆), ces deux forces
se compensent.
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Optique
I. Télescopes au sol et en association
I.1 Les étoiles sont suffisamment éloignées pour considérer que les rayons lumineux qu’elles émettent sont parallèles, de sorte que l’on peut opérer l’approximation
E1 T2 ≃ E1 H + HT2 . La différence de chemins optiques s’écrit donc
δ1 = E1 T2 − E1 T1 ≃ E1 H − E1 T1 + HT2
•
E2 (x2 )
Ω
E1 (x1 )
•
x
bs
in
α
H
b/2
cos
α
J α
T2
T
b
T1
Le théorème de Pythagore dans le triangle E1 JH s’écrit
s
2
q
b/2 cos α + x1
2
2
E1 H = (b/2 cos α + x1 ) + D = D 1 +
D
et, dans le triangle E1 JT1 ,
s
2
q
b/2 cos α − x1
2
2
E1 T1 = (b/2 cos α − x1 ) + D = D 1 +
D
2
2
En faisant un développement limité à l’ordre 1 en ε = (b/2 cos α +
− x1 ) /D , on obtient
les expressions :
"
"
2 #
2 #
1 b/2 cos α + x1
1 b/2 cos α − x1
E1 H ≃ D 1 +
et E1 T1 ≃ D 1 +
2
D
2
D
Sachant que HT2 = b sin α, la différence de marche δ1 vaut
"
2 2 #
D
b/2 cos α + x1
b/2 cos α − x1
b cos α x1
−
+ b sin α =
+ b sin α
δ1 ≃
2
D
D
D
Pour le calcul de la différence de marche δ2 = E2 T2 − E2 T1 , il suffit de remplacer x1
par −x1 . Finalement, on obtient
δ1 ≃
b cos α x1
+ b sin α
D
et
δ2 ≃ −
b cos α x1
+ b sin α
D
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Attention à ce genre de méthode lorsque l’on ignore l’ordre de l’approximation. Plus de précision à ce sujet de la part du texte aurait été la bienvenue.
En outre, on aurait pu calculer la différence de marche directement à
partir des coordonnées des points E1 , T1 , T2 et E2 puis obtenir le même
résultat après avoir négligé les termes en b2 /D2 et en xi 2 /D2 devant l’unité.
L’expression finale est donc une approximation à l’ordre 1 en b/D et en xi /D.
Si l’on tient compte de la différence de marche supplémentaire Lf , les ondes lumineuses issues de l’étoile Ek (k = 1, 2) et reçues par les télescopes présentent une
différence de marche égale à
∆k = δk − Lf
Or, le déphasage est lié à la différence de marche par la relation
2π ∆k
φk =
λ
dans laquelle λ représente la longueur d’onde de l’onde électromagnétique. Ainsi,
2π Xxk
φk =
avec
X = b cos α
+ b sin α − Lf
λ
D
I.2 Chaque étoile donne un signal lumineux d’éclairement
Ik = I0 (1 + cos φk )
Les deux étoiles étant incohérentes entre elles, l’éclairement total se réduit à la somme
des éclairements I1 et I2 :
Comme
il vient
I = I0 (2 + cos φ1 + cos φ2 )
φ1 + φ2
φ1 − φ2
cos φ1 + cos φ2 = 2 cos
cos
2
2
2π(b sin α − Lf )
π X(x2 − x1 )
I = 2I0 1 + cos
cos
λD
λ
I.3 La formule précédente correspond à l’éclairement au centre de l’interférogramme
(on peut imaginer un écran) obtenu par interférence des deux signaux optiques issus
des télescopes. Cet éclairement est donc constant. Cependant lorsque l’on se déplace
de x autour du centre de l’interférogramme, la différence de chemins optiques varie
avec x, ce qui revient à considérer que Lf dépend de x, d’où, a priori, la non uniformité
de l’éclairement. Le terme d’interférence cos (2π(b sin α − Lf )/λ) étant responsable de
la variation spatiale de l’éclairement, ce dernier est uniforme quand
π X(x2 − x1 )
cos
=0
λD
π X(x2 − x1 )
π
= (2k + 1)
avec
k∈Z
λD
2
Ainsi, la plus petite distance angulaire θ = (x2 − x1 )/D détectable pour obtenir un
éclairement uniforme correspond à k = 0. Sachant que X = b cos α, il vient
c’est-à-dire
θ=
λ
= 7,4.10−9 rad = 1,5 ms d′ arc
2b cos α
On obtient un dispositif dont la résolution angulaire est celle d’un télescope unique
de diamètre 2b = 114 m, d’où l’intérêt d’associer 2 ou plusieurs télescopes.
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