Introduction `a la théorie des nombres Série 1

EPFL - Section de Mathématiques
Introduction
à la théorie des nombres
Semestre Printemps 2009
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
19.02.2009
Série 1
Exercice 1
Calculer 22009 (mod 7).
Exercice 2
1. Si p et q sont deux nombres premiers strictement supérieurs à 3, montrer que 24 divise
p2 − q 2 .
2. Existe-t-il des entiers p ≥ 3 tels que p, 2p + 1 et 4p + 1 soient premiers ?
Exercice 3
Soit n un entier strictement positif. On rappelle que ϕ(n) désigne l’indicatrice d’Euler de n,
c’est-à-dire le nombre d’entiers positifs inférieurs à n et premiers avec n (si n = 1, ϕ(1) = 1).
1. Montrer que pour tout entier a premier avec n on a la relation aϕ(n) ≡ 1 (mod n)
(théorème de Fermat-Euler). Que devient cette relation si n est un nombre premier ?
2. En déduire le petit théorème de Fermat : pour tout entier a et tout nombre premier p,
ap ≡ a (mod p).
Application. Montrer que 30 divise n5 − n pour tout entier n, puis déterminer l’ensemble
des entiers n tels que 120 divise n5 − n.
3. On suppose n ≥ 2. On suppose aussi qu’il existe un entier a > 0 tel que an−1 ≡ 1 (mod n)
et ax 6≡ 1 (mod n) pour tout x diviseur strict de n − 1. En déduire qu’alors n est premier.
4. Soit p un nombre premier.
(a) À l’aide de la question 1, montrer que les polynômes (X−(p−1))(X−(p−2))...(X−1)
et X p−1 − 1 sont égaux dans Fp [X].
(b) En déduire le théorème de Wilson : (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
(c) Réciproquement, montrer que si n ≥ 2 vérifie (n − 1)! ≡ −1(mod n) alors n est
premier.
Exercice 4
1. Combien l’anneau Z/42Z possède-t-il d’éléments inversibles ?
2. Donner les diviseurs de 0 dans Z/42Z.
3. Vérifier que 25 est inversible dans Z/42Z et calculer son inverse. On pourra écrire une
relation de Bézout.