Modèle mathématique. - Les math. avec H. Rorthais

Tle ES - programme 2012 –mathématiques – ch.7 – cahier élève Page 1 sur 15
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr
Ch.7 Lois de probabilité à densité
Variable aléatoire
 Lorsqu'à chaque événement élémentaire d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on dit que l'on
définit une variable aléatoire.
Lorsque a1 , a2 , …,an sont les valeurs prises par une variable aléatoire X, on note (X = ai) l'événement « X prend la
valeur ai ».
 Lorsqu'à chaque valeur ai (avec 1  i  n) prise par une variable aléatoire X, on associe la probabilité de
l'événement (X = ai), on dit que l'on définit la loi de probabilité de X. On peut
la présenter à l'aide d'un tableau.
On note que p1 + p2 + … + pn = 1.
Valeur ai
a1
a2
…
an
p(X = ai)
p1
p2
…
pn
 L'espérance mathématique de X est le nombre noté E(X) défini par :
E(X) = a1  p(X = a1) + a2  p(X = a2) + … + an  p(X = an).
Questions-tests n°1 page 215
On lance un dé non pipé. On gagne 5 € si le 6 sort, on perd 2 € si le 1 sort et on perd 1 € dans les autres cas.
On note X la variable aléatoire qui à chaque événement élémentaire associe le gain positif ou négatif correspondant.
1) Donnez la loi de probabilité de X.
2) Déterminez l'espérance mathématique de X.
1) Loi de probabilité de X :
xi
5
–2
–1
p(X = xi)
1
6
1
6
4
6
2) E(X) = 5  1
6 + (–2)  1 6 + (–1)  4 6 = –1 6 €.
Questions-tests n°2 page 215
On lance une pièce de monnaie non équilibrée. La probabilité d'apparition du côté pile est égale à 0,4 et celle du côté
face égale à 0,6. On gagne 1 € si pile sort et on perd 1 € si face sort.
On note X la variable aléatoire qui associe à chaque événement élémentaire le gain, positif ou négatif, correspondant.
1) Donnez la loi de probabilité de X.
2) Déterminez l'espérance mathématique de X.
1) Loi de probabilité de X :
xi
1
–1
p(X = xi)
0,4
0,6
2) E(X) = 1  0,4 + (–1)  0,6 = –0,2 .
Loi binomiale
 Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire pour laquelle on s'intéresse uniquement à la réalisation
d'un certain événement S (appelé « succès ») ou à sa non-réalisation S (appelé « échec »).
 Plusieurs épreuves de Bernoulli successives, indépendantes les unes des autres, constituent un schéma de
Bernoulli.
 On considère un schéma de Bernoulli constitué par la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques. Pour chacune
d'elles, on note p la probabilité d'obtenir un succès S.
La loi binomiale B(n ; p) est la loi de probabilité de la variable aléatoire X comptant le nombre de succès.
 Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p), alors :
p(X = k) =
n
k pk(1 – p)n – k (k  n) ;
E(X) = np.
Questions-tests n°3 page 215
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B 3 , 1
4.
1) Calculez, à l'aide de la calculatrice, les 4 nombres 
3
k pour k = 0, 1, 2 et 3.
2) Déduisez-en la loi de probabilité de X.
3) Calculez l'espérance mathématique de X.

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1)
3
0 = 1 .
3
1 = 3.
3
2 = 3 .
3
3 = 1 .
Triangle de Pascal pour calculer
n
p :
p
n
0
1
2
3
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
p
n
x
y
x + y
2) p(X = 0) =
3
4
3 = 27
64
p(X = 1) = 3  1
4 
3
4
2 = 27
64
p(X = 2) = 3 
1
4
2  3
4 = 9 64
p(X = 3) =
1
4
3 = 1
64
Loi de probabilité de X :
xi
0
1
2
3
p(X = xi)
27
64
27
64
9
64
1
64
3) E(X) = n  p = 3  1
4 = 3 4.
1 LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE I
1.1 Définition
La notion qui suit a été introduite en activité page 217.
DÉFINITION 1
X est une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I. On dit que X suit la loi à densité f si :
 f est une fonction continue et positive sur I.
 Pour tous réels a et b de I, p({a < X < b}) =
ab f (x) dx.
La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
Remarque :
Dans le cas où I n'est pas borné, on admet que
I f (x) dx est un nombre fini que l'on peut visualiser par
l'aire sous la courbe d'un « domaine infini » ; et que les propriétés usuelles de l'intégrale sont encore vraies
dans ce cas : linéarité, relation de Chasles…
1.2 Propriétés
THÉORÈME 1
X est une variable aléatoire qui suit une loi à densité f sur I. Alors :
1)
I f (x) dx = 1.
2) Pour tout réel a de I, p({X = a}) = 0.
3) Si A et B sont deux intervalles disjoints de I, alors p({X  A  B}) = p({X  A}) + p({X  B}).
4) Pour tout réel a de I, p({X < a}) = p({X  a}).
Démonstration :
1)
I f (x) dx = p({X  I}). Or X prend toutes ses valeurs dans I, donc l'événement {X  I} est
l'événement certain et p({X  I}) = 1.
2) p({X = a}) =
aa f (x) dx = 0.
3) Les événements {X  A} et {X  B} sont disjoints puisque les intervalles A et B sont disjoints.
Donc p({X  A  B}) = p({X  a}) + p({X  B}).
4) L'événement {X  A} est la réunion des deux événements {X < a} et {X = a}. Or ces deux événements
sont disjoints. Donc, d'après la propriété 3, p({X  a}) = p({X < a}) + p({X = a}) et p({X = a}) = 0. D'où
le résultat.
Remarque importante :
Pour qu'une fonction f continue positive sur un intervalle I soit une densité de probabilité, il est nécessaire
que
I f (x) dx = 1.

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1.3 Exemple
Reprenons l'exercice présenté en activité p. 217 : on lance au hasard une flèche sur un disque D de rayon 1
mètre. Notons X la variable aléatoire qui associe à chaque point du disque sa distance au centre du disque.
Posons, pour tout x de [0 ; 1], f (x) = 2x. On a vu que X suit la loi de densité f sur [0 ; 1].
Exercice n°19 page 230
f est la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = 3x2.
1) Justifiez que f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; 1].
2) X est une variable aléatoire qui suit la loi de densité f. Calculez les probabilités des événements suivants :
a)
X 
0 , 1
2 ;
b) {X  [0,4 ; 0,6]}.
1) f est continue et positive sur [0 ; 1].
01 f (x) dx = 
01 3x2 dx = [x3]1
0 = 1.
2)
a) p
X 
0 , 1
2 =
12
2
03dxx
= [x3] 1
2
0 = 1
8.
b) p({X  [0,4 ; 0,6]}) =
0,4
0,6 3x2 dx = [x3] 0,6
0,4 = 0,152 .
Exercice n°21 page 230
f est la fonction définie sur [–1 ; 1] par :
f (x) = 3
4 (1 – x2).
1) Justifiez que f est une fonction de densité de probabilité sur [–1 ; 1].
2) X est une variable aléatoire qui suit la loi de densité f. Calculez les probabilités des événements suivants :
a) X  [–1 ; 0] ;
b) X 
–1
2 , 1 2.
1) f est continue et positive sur [0 ; 1].
–1
1 f (x) dx = 
–1
1 3
4 (1 – x2) dx = 
3
4 
x – x3
3 1
–1 = 3
4 
1 – 1
3 – 3 4  
–1 – –1
3 = 1 2 – –1 2 = 1.
2)
a) p(X  [–1 ; 0] =
–1
0 3
4 (1 – x2) dx =
3
4
x – x3
3 0
–1 = 0 – 3
4 
–1 – –1
3 = 1 2.
b) p
X 
–1
2 , 1 2 =
12
2
1
2
31d
4xx
=
3
4
x – x3
3 1
2
–1
2 = 3
4
1
2 – 1 24 – 3 4
–1
2 + 1 24 = 3 4  11 24 – 3 4  –11 24 = 66 96 = 11 16 .
Exercice n°22 page 230
f définie sur I = [0 ; a] par f (x) = 2x.
Déterminez a pour que f définisse une densité de probabilité sur I.
On a bien f positive et continue sur [0 ; 1].
0a 2x dx = [x2] a
0 = a2 et on veut 
0a 2x dx = 1, soit a2 = 1, d’où a = 1.
Exercice n°24 page 230
Déterminez a pour que f définisse une densité de probabilité sur I.
f définie sur I = [–a ; a] par f (x) = x + 1.
On a bien f positive et continue sur 
–1
2 , 1 2.
–a
a (x + 1) dx = 
x2
2 + x a
–a = 
a2
2 + a – 
a2
2 – a = 2a.
On veut 
–a
a (x + 1) dx = 1, soit 2a = 1, et enfin a = 1
2.
Exercice n°26 page 230
f définie sur I = [0 ; 3] par f (x) = ax.
Déterminez a pour que f définisse une densité de probabilité sur I.
On a bien f positive et continue sur [0 ; 3].
03 ax dx = 
ax2
2 3
0 = 9a
2 – 0 = 9a 2 .
On veut 
03 ax dx = 1, soit 9a
2 = 1, puis a = 2 9.

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Exercice n°28 page 230
1) Montrez que la fonction f définie sur [0 ; 2] par f (x) = x
2 est une densité de probabilité.
2) Soit X la variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur [0 ; 2]. Calculez E(X) et V(X).
1) La fonction f est continue et positive sur [0 ; 2], et 
0
2 x
2 dx = 
x2
4 4
0 = 1 – 0 = 1.
2) E(X) = 
0
2 x  x
2 dx = 
0
2 x2
2 dx = 
x3
6 2
0 = 8
6 = 4 3.
V(X) = E X – 4
3
2 = 
0
2 
x – 4
3
2  x
2 dx = 
0
2 
1
2 x3 – 4 3 x2 + 8 9 x dx = 
1
8 x4 – 4 9 x3 + 4 9 x2 2
0 = 2 – 32
9 + 16 9 = 2 9.
Exercice n°33 page 231
On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par f (x) = 2x e–x2.
On admet que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire de densité f.
1) Déterminez la probabilité de p{{0 < X < 10}).
2) Déterminez le réel t tel que p({X < t}) = 0,8.
1) p{{0 < X < 10}) = 
010 2x e–x2 dx = [–e–x2] 10
0 = –e–100 + 1 = 1 – e–100
1.
2) p({X < t}) = 0,8 équivaut à 
0t 2x e–x2 dx = 0,8, soit 1 – e–t2 = 0,8, ou encore e–t2 = 0,2.
On obtient t2 = –ln 0,2 1,61, soit t = –ln 0,2 1,26.
2 LOI UNIFORME SUR [a ; b]
DÉFINITION 2
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a ; b] si elle admet comme
densité de probabilité la fonction f définie sur [a ; b] par f (x) = 1
b – a .
On peut remarquer que 
ab f (x) dx est égal à 1. En effet,  ab f (x) dx est l'aire « sous la courbe », c'est donc l'aire
du rectangle de côtés b – a et 1
b – a .
Exercice n°15 page 230
X suit la loi uniforme sur [0 ; 1]. Calculez :
a) p({X  [0 ; 0,25]}) ;
b) p({X  [0,3 ; 0,7]}).
a) p({X [0 ; 0,25]}) = 0,25 – 0
1 – 0 = 0,25 1 = 1 4.
b) p({X [0,3 ; 0,7]}) = 0,7 – 0,3
1 – 0 = 0,4 1 = 0,4 .
3 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
3.1 Définition
DÉFINITION 3
X est une variable aléatoire de densité f sur [a ; b]. Alors l'espérance mathématique de X est le nombre noté
E(X) défini par E(X) =
ab f (x) dx.
Remarque : Du cas discret au cas continu
Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, c'est-à-dire prenant un nombre fini de valeurs {x1 , x2 , … , xn},
on sait que l'espérance mathématique de X, notée E(X), est définie ainsi :
E(X) = 
i = 1
i = n xi  p({X = xi}).
On peut remarquer l'analogie entre les deux définitions. Quand on passe du cas discret au cas continu, le
symbole 
i = 1
i = n
devient
ab , et « p({X = xi}) » devient « f (x) dx ».

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3.2 Espérance d'une loi uniforme
THÉORÈME 2
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ; b]. Alors E(X) = a + b
2 .
Démonstration :
La densité de probabilité de X est la fonction f : x  1
b – a . Donc :
E(X)=
a
b x  1
b – a dx = 1 b – a
ab x dx = 1
b – a
x2
2
b
a = 1
2(b – a) (b2 – a2) = 1 2(b – a) (b – a)(b – a) = b + a 2 .
Exemple :
X suit une loi uniforme sur [0 ; 1]. Dans ce cas, a = 0 et b = 1 d'où E(X) = 1
2 .
Exercice n°16 page 230
X suit la loi uniforme sur [0 ; 5]. Calculez :
a) p({X  [0 ; 1]}) ;
b) p({X  [2 ; 4]}) ;
c) E(X).
a) p({X [0 ; 1]}) = 1 – 0
5 – 0 = 1 5.
b) p({X [2 ; 4]}) = 4 – 2
5 – 0 = 2 5.
c) E(X) = 0 + 5
2 = 5 2.
Exercice n°29 page 230
X suit la loi uniforme sur [0 ; 1]. Calculez E(X) et V(X).
E(X) = 0 + 1
2 = 1 2 .
V(X) = E X – 1
2
2 = 
0
1 
x – 1
2
2  1 dx = 
0
1 
x2 – x + 1
4 dx = 
1
3 x3 – 1 2 x2 + 1 4 x 1
0 = 1
3 – 1 2 + 1 4 = 1 12 .
OBJECTIF 1 : Connaître la fonction de densité de la loi uniforme
La fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b] est la fonction définie sur [a ; b] par f (x) = 1
b – a .
Si  et  vérifient a <  <  < b, alors p({  X  }) =  – 
b – a .
Si X suit la loi uniforme sur [a ; b], alors E(X) = a + b
2 .
Exercice résolu n°A page 223
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [0 ; 5].
1) Représentez graphiquement la fonction de densité de cette loi.
2) Calculez la probabilité de chacun des événements suivants :
a) {X  [0 ; 2]} ;
b) {X  [0 ; 1]  [3 ; 5]}.
 Méthode
 Solution
1) La représentation graphique de f est un
segment parallèle à l'axe des abscisses.
On peut vérifier que 
05 f (t) dt = 1.
1) La fonction de densité est la fonction définie sur [0 ; 5] par
f (x) = 1
5 .
2) La probabilité de l'événement {X  [0 ; 2]}
est l'aire du domaine délimité par la courbe,
la droite des abscisses et les droites
d'équations x = 0 et x = 2.
2)
a) p({X  [0 ; 2]}) = 2
5 .
b) Les événements {X  [0 ; 1]} et {X  [3 ; 5]} sont
disjoints, donc p({X  [0 ; 1]}  {X  [3 ; 5]}) =
p({X  [0 ; 1]}) + p({X  [3 ; 5]}) = 1
5 + 2 5 = 3 5.
Exercice n°1 page 223