Modèle mathématique. - Les math. avec H. Rorthais

Tle ES - programme 2012 –mathématiques – ch.7 – cahier élève
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Ch.7 Lois de probabilité à densité
Variable aléatoire

Lorsqu'à chaque événement élémentaire d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on dit que l'on
définit une variable aléatoire.
Lorsque a1 , a2 , …,an sont les valeurs prises par une variable aléatoire X, on note (X = ai) l'événement « X prend la
valeur ai ».

Lorsqu'à chaque valeur ai (avec 1  i  n) prise par une variable aléatoire X, on associe la probabilité de
l'événement (X = ai), on dit que l'on définit la loi de probabilité de X. On peut
la présenter à l'aide d'un tableau.
On note que p1 + p2 + … + pn = 1.

Valeur ai
p(X = ai)
a1 a2 … an
p1 p2 … pn
L'espérance mathématique de X est le nombre noté E(X) défini par :
E(X) = a1  p(X = a1) + a2  p(X = a2) + … + an  p(X = an).
Questions-tests n°1 page 215
On
On
1)
2)
1)
lance un dé non pipé. On gagne 5 € si le 6 sort, on perd 2 € si le 1 sort et on perd 1 € dans les autres cas.
note X la variable aléatoire qui à chaque événement élémentaire associe le gain positif ou négatif correspondant.
Donnez la loi de probabilité de X.
Déterminez l'espérance mathématique de X.
Loi de probabilité de X :
5 –2 –1
1 1 4
p(X = xi)
6 6 6
xi
2) E(X) = 5 
1
1
4 –1
+ (–2)  + (–1)  =
€.
6
6
6
6
Questions-tests n°2 page 215
On lance une pièce de monnaie non équilibrée. La probabilité d'apparition du côté pile est égale à 0,4 et celle du côté
face égale à 0,6. On gagne 1 € si pile sort et on perd 1 € si face sort.
On note X la variable aléatoire qui associe à chaque événement élémentaire le gain, positif ou négatif, correspondant.
1) Donnez la loi de probabilité de X.
2) Déterminez l'espérance mathématique de X.
1) Loi de probabilité de X :
xi
1 –1
p(X = xi) 0,4 0,6
2) E(X) = 1  0,4 + (–1)  0,6 = –0,2 .
Loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire pour laquelle on s'intéresse uniquement à la réalisation
d'un certain événement S (appelé « succès ») ou à sa non-réalisation S (appelé « échec »).



Plusieurs épreuves de Bernoulli successives, indépendantes les unes des autres, constituent un schéma de
Bernoulli.
On considère un schéma de Bernoulli constitué par la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques. Pour chacune
d'elles, on note p la probabilité d'obtenir un succès S.
La loi binomiale B(n ; p) est la loi de probabilité de la variable aléatoire X comptant le nombre de succès.
Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p), alors :
n
p(X = k) =  k  pk(1 – p)n – k
(k  n) ;
E(X) = np.
Questions-tests n°3 page 215
1
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B3 , .

4
1) Calculez, à l'aide de la calculatrice, les 4 nombres   pour k = 0, 1, 2 et 3.
k
2) Déduisez-en la loi de probabilité de X.
3) Calculez l'espérance mathématique de X.
3
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3
1)   =
0
3 =
1
3 =
2
3 =
3
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n
Triangle de Pascal pour calculer   :
p
p
p
0 1 2 3
n
n
0 1
1 1 1
x
y
2 1 2 1
x+y
3 1 3 3 1
1.
3.
3.
1.
3
3
27
2) p(X = 0) =   =
4
64
1 3 2 27
p(X = 1) = 3     =
4 4 64
1 2 3 9
p(X = 2) = 3     =
4 4 64
3
1
1
p(X = 3) =   =
4 64
3) E(X) = n  p = 3 
Loi de probabilité de X :
xi
0 1 2 3
27 27 9 1
p(X = xi)
64 64 64 64
1 3
= .
4 4
1 LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE I
1.1 Définition
La notion qui suit a été introduite en activité page 217.
DÉFINITION 1
X est une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I. On dit que X suit la loi à densité f si :
 f est une fonction continue et positive sur I.

b
Pour tous réels a et b de I, p({a < X < b}) = 
 f (x) dx.
a
La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
Remarque :
Dans le cas où I n'est pas borné, on admet que 
 f (x) dx est un nombre fini que l'on peut visualiser par
I
l'aire sous la courbe d'un « domaine infini » ; et que les propriétés usuelles de l'intégrale sont encore vraies
dans ce cas : linéarité, relation de Chasles…
1.2 Propriétés
THÉORÈME 1
X est une variable aléatoire qui suit une loi à densité f sur I. Alors :
1) 
 f (x) dx = 1.
I
2) Pour tout réel a de I, p({X = a}) = 0.
3) Si A et B sont deux intervalles disjoints de I, alors p({X  A  B}) = p({X  A}) + p({X  B}).
4) Pour tout réel a de I, p({X < a}) = p({X  a}).
Démonstration :
1) 
 f (x) dx = p({X  I}). Or X prend toutes ses valeurs dans I, donc l'événement {X  I} est
I
l'événement certain et p({X  I}) = 1.
a
2) p({X = a}) = 
 f (x) dx = 0.
a
3) Les événements {X  A} et {X  B} sont disjoints puisque les intervalles A et B sont disjoints.
Donc p({X  A  B}) = p({X  a}) + p({X  B}).
4) L'événement {X  A} est la réunion des deux événements {X < a} et {X = a}. Or ces deux événements
sont disjoints. Donc, d'après la propriété 3, p({X  a}) = p({X < a}) + p({X = a}) et p({X = a}) = 0. D'où
le résultat.
Remarque importante :
Pour qu'une fonction f continue positive sur un intervalle I soit une densité de probabilité, il est nécessaire
que 
 f (x) dx = 1.
I
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1.3 Exemple
Reprenons l'exercice présenté en activité p. 217 : on lance au hasard une flèche sur un disque D de rayon 1
mètre. Notons X la variable aléatoire qui associe à chaque point du disque sa distance au centre du disque.
Posons, pour tout x de [0 ; 1], f (x) = 2x. On a vu que X suit la loi de densité f sur [0 ; 1].
Exercice n°19 page 230
f est la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = 3x2.
1) Justifiez que f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; 1].
2) X est une variable aléatoire qui suit la loi de densité f. Calculez les probabilités des événements suivants :

1 
a) X  0 ,  ;
b) {X  [0,4 ; 0,6]}.
 2 

1) f est continue et positive sur [0 ; 1].
1
1
1
2
3

0 3x dx = [x ]0 = 1.
0 f (x) dx = 
2)

1 
a) pX  0 ,   =

 2  
1
2
0

2
3x dx =
1
3 2
[x ]
0
=
2
3
b) p({X  [0,4 ; 0,6]}) = 
0,4 3x dx = [x ]
0,6
1
.
8
0,6
0,4
= 0,152 .
Exercice n°21 page 230
f est la fonction définie sur [–1 ; 1] par :
3
(1 – x2).
4
1) Justifiez que f est une fonction de densité de probabilité sur [–1 ; 1].
2) X est une variable aléatoire qui suit la loi de densité f. Calculez les probabilités des événements suivants :
–1 1
b) X   , .
a) X  [–1 ; 0] ;
 2 2
1) f est continue et positive sur [0 ; 1].
3 1
1
 1 3 (1 – x2) dx = 3 x – x  = 3 1 – 1 – 3  –1 – –1 = 1 – –1 = 1.

f
(x)
dx
=
–1
3 2 2
4  3  –1 4  3 4 
–1 4
f (x) =
2)
3
3
x3 0
3
–1
1
(1 – x2) dx =  x –  = 0 –  –1 –  = .
4 
3 2
4  3  –1
–1 4
a) p(X  [–1 ; 0] = 
–1 1
,
=
 2 2
b) pX  

0

1
2
1
2
1
3
3
x3 2 3 1 1  3 –1 1  3 11 3 –11 66 11
1  x 2 dx =  x –  –1
=
–
–
+
=  – 
=
=
.
4  3  2 4 2 24 4  2 24 4 24 4 24 96 16
4


Exercice n°22 page 230
f définie sur I = [0 ; a] par f (x) = 2x.
Déterminez a pour que f définisse une densité de probabilité sur I.
On a bien f positive et continue sur [0 ; 1].
a
a
a
2
2
2

0 2x dx = [x ] 0 = a et on veut 
0 2x dx = 1, soit a = 1, d’où a = 1 .
Exercice n°24 page 230
Déterminez a pour que f définisse une densité de probabilité sur I.
f définie sur I = [–a ; a] par f (x) = x + 1.
–1 1
On a bien f positive et continue sur  , .
 2 2
a
x

a
 a2 

–a (x + 1) dx =  2 + x –a =  2 + a –  2 – a = 2a.
2
a
2
1
a
On veut 
–a (x + 1) dx = 1, soit 2a = 1, et enfin a = 2 .
Exercice n°26 page 230
f définie sur I = [0 ; 3] par f (x) = ax.
Déterminez a pour que f définisse une densité de probabilité sur I.
On a bien f positive et continue sur [0 ; 3].
ax2 3 9a
9a
03 ax dx =   = – 0 = .

2
 2 0 2
9a
2
On veut 
0 ax dx = 1, soit 2 = 1, puis a = 9 .
3
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Exercice n°28 page 230
x
est une densité de probabilité.
2
2) Soit X la variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur [0 ; 2]. Calculez E(X) et V(X).
2 x
x2 4
1) La fonction f est continue et positive sur [0 ; 2], et 
dx =   = 1 – 0 = 1.
4 0
0 2
1) Montrez que la fonction f définie sur [0 ; 2] par f (x) =
2 x2
x
x3 2 8 4
x  dx = 
dx =   = = .

2
6 0 6 3
0
0 2
2) E(X) = 
2
2
2
2
4 2
x – 4  x dx =  2 1 x3 – 4 x2 + 8 x dx = 1 x4 – 4 x3 + 4 x2 = 2 – 32 + 16 = 2 .
V(X) = EX –   = 

3  0  3 2
3
9 
9
9 0
9
9
9
8
0 2

Exercice n°33 page 231
On
On
1)
2)
considère la fonction f définie sur [0 ; +[ par f (x) = 2x e–x .
admet que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire de densité f.
Déterminez la probabilité de p{{0 < X < 10}).
Déterminez le réel t tel que p({X < t}) = 0,8.
2
–x
–x
1) p{{0 < X < 10}) = 
0 2x e dx = [–e ]
10
2
2
10
0
= –e–100 + 1 = 1 – e–100  1.
–x
–t
–t
2) p({X < t}) = 0,8 équivaut à 
0 2x e dx = 0,8, soit 1 – e = 0,8, ou encore e = 0,2.
t
2
On obtient t2 = –ln 0,2  1,61, soit t =
2
2
–ln 0,2  1,26.
2 LOI UNIFORME SUR [a ; b]
DÉFINITION 2
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a ; b] si elle admet comme
densité de probabilité la fonction f définie sur [a ; b] par f (x) =
1
.
b–a
b
b
On peut remarquer que 
a f (x) dx est égal à 1. En effet, 
a f (x) dx est l'aire « sous la courbe », c'est donc l'aire
du rectangle de côtés b – a et
1
.
b–a
Exercice n°15 page 230
X suit la loi uniforme sur [0 ; 1]. Calculez :
0,25 – 0 0,25 1
a) p({X  [0 ; 0,25]}) =
=
= .
1–0
1
4
b) p({X  [0,3 ; 0,7]}) =
a) p({X  [0 ; 0,25]}) ;
b) p({X  [0,3 ; 0,7]}).
0,7 – 0,3 0,4
=
= 0,4 .
1–0
1
3 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
3.1 Définition
DÉFINITION 3
X est une variable aléatoire de densité f sur [a ; b]. Alors l'espérance mathématique de X est le nombre noté
ab f (x) dx.
E(X) défini par E(X) = 
Remarque : Du cas discret au cas continu
Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, c'est-à-dire prenant un nombre fini de valeurs {x1 , x2 , … , xn},
on sait que l'espérance mathématique de X, notée E(X), est définie ainsi :
i=n
E(X) =
 xi  p({X = xi}).
i=1
On peut remarquer l'analogie entre les deux définitions. Quand on passe du cas discret au cas continu, le
symbole
i=n
b
 devient 
a , et « p({X = xi}) » devient « f (x) dx ».
i=1
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3.2 Espérance d'une loi uniforme
THÉORÈME 2
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ; b]. Alors E(X) =
a+b
.
2
Démonstration :
La densité de probabilité de X est la fonction f : x
E(X)=  x 
b
a


1
. Donc :
b–a
1
1
1 x2b
1
1
b+a
b

dx =
x
dx
=
=
(b2 – a2) =
(b – a)(b – a) =
.



a
b–a
b–a
b – a  2 a 2(b – a)
2(b – a)
2
Exemple :
X suit une loi uniforme sur [0 ; 1]. Dans ce cas, a = 0 et b = 1 d'où E(X) =
Exercice n°16 page 230
X suit la loi uniforme sur [0 ; 5]. Calculez :
1–0 1
a) p({X  [0 ; 1]}) =
= .
5–0 5
b) p({X  [2 ; 4]}) =
c) E(X) =
a) p({X  [0 ; 1]}) ;
1
.
2
b) p({X  [2 ; 4]}) ;
c) E(X).
4–2 2
= .
5–0 5
0+5 5
= .
2
2
Exercice n°29 page 230
X suit la loi uniforme sur [0 ; 1]. Calculez E(X) et V(X).
0+1 1
E(X) =
=
.
2
2
1
1
1 2
12
1
1
1
1 1 1 1 1
1
V(X) = EX –   =  x –   1 dx =  x2 – x +  dx =  x3 – x2 + x = – + =
.
2  0  2
4
2
4  0 3 2 4 12

3
0 
OBJECTIF 1 : Connaître la fonction de densité de la loi uniforme
La fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b] est la fonction définie sur [a ; b] par f (x) =
Si  et  vérifient a <  <  < b, alors p({  X  }) =
Si X suit la loi uniforme sur [a ; b], alors E(X) =
1
.
b–a
–
.
b–a
a+b
.
2
Exercice résolu n°A page 223
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [0 ; 5].
1) Représentez graphiquement la fonction de densité de cette loi.
2) Calculez la probabilité de chacun des événements suivants :
a) {X  [0 ; 2]} ;
b) {X  [0 ; 1]  [3 ; 5]}.
 Méthode
 Solution
 1) La fonction de densité est la fonction définie sur [0 ; 5] par
1) La représentation graphique de f est un
1
segment parallèle à l'axe des abscisses.
f (x) = .
5
5
 f (t) dt = 1.
On peut vérifier que 
0
2) La probabilité de l'événement {X  [0 ; 2]}
est l'aire du domaine délimité par la courbe,
la droite des abscisses et les droites
d'équations x = 0 et x = 2.

2)
2
.
5
b) Les événements {X  [0 ; 1]} et {X  [3 ; 5]} sont
disjoints, donc p({X  [0 ; 1]}  {X  [3 ; 5]}) =
1 2 3
p({X  [0 ; 1]}) + p({X  [3 ; 5]}) = + = .
5 5 5
a) p({X  [0 ; 2]}) =
Exercice n°1 page 223
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Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [1 ; 7].
1) Représentez graphiquement la fonction de densité de cette loi.
2) Calculez la probabilité de chacun des événements suivants :
a) {X  [1 ; 2]} ;
b) {X  [0 ; 1]  [2 ; 3]  [6 ; 7]} ;
3) Quelle est l'espérance de X ?
1)
2)
a) p({X  [1 ; 2]}) =
c) {X  5 ou X  4}.
2–1 1
= .
7–1 6
b) p({X  [0 ; 1]  [2 ; 3]  [6 ; 7]}) = p({0  X  1}) + p({2  X  3}) + p({6  X  7}) = 3 
c) p({X  5 ou X  4]}) = 1 – p({4 < X < 5}) = 1 –
3) E(X) =
1 1
= .
6 2
1 5
= .
6 6
1+7
= 4.
2
Exercice n°2 page 223
Une variable aléatoire suit la loi uniforme sur [–2 ; 8].
1) Représentez graphiquement la fonction de densité de cette loi.
2) Calculez la probabilité de chacun des événements suivants :
a) {X  [–2 ; 0]} ;
b) {X  [–1 ; 0]  [1 ; 2]  [3 ; 8]} ;
3) Quelle est l'espérance de X ?
1)
2)
a) p({X  [–2 ; 0]}) =
c) {1  X  2 ou X  1}.
0 – (–2) 2
1
=
= .
8 – (–2) 10 5
b) p({X  [–1 ; 0]  [1 ; 2]  [3 ; 8]}) =
p({–1  X  0}) + p({1  X  2}) + p({3  X  8}) =
0 – (–1)
2–1
8–3
1+1+5
7
+
+
=
=
.
8 – (–2) 8 – (–2) 8 – (–2)
10
10
c) p({1  X  2 ou X  5}) = p({1  X  2}) + p({5  X  8}) =
3) E(X) =
1
3
4
2
+
=
= .
10 10 10 5
–2 + 8
= 3.
2
Exercice n°30 page 230
X suit la loi uniforme sur [0 ; 5]. Calculez E(X) et V(X).
0+5 5
E(X) =
= .
2
2
5
5 1
5 2
52 1
5
1
1
5 5 25 25 25 25
V(X) = EX –   =  x –   dx =   x2 – x +  dx =  x3 – x2 + x =
–
+
=
.
2  0  2 5
4
2
4 0 3
2
4
12
15
0 5

Exercice n°37 page 231
On choisit au hasard un nombre x de l'intervalle [0 ; 1].
Quelle est la probabilité des événements suivants ?
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1)
2)
3)
On
A : « la première décimale de x est nulle ».
B : « x est supérieur à 0,1 ».
C : « la somme des deux premières décimales de x est égale à 10 ».
pose X la variable aléatoire qui donne la valeur du nombre choisi. X suit la loi uniforme sur [0 ; 1].
0,1 – 0
1) p(A) = p({X  [0 ; 0,1[}) =
= 0,1 .
1–0
1 – 0,1
2) p(B) = p({X  [0,1 ; 1]}) =
= 0,9 .
1–0
3) p(C) = p({X  [0,19 ; 0,20[  [0,28 ; 0,29[  [0,37 ; 0,38[  …  [0,91 ; 0,92]}).
On a neuf intervalles disjoints de longueur 0,01, donc :
p(C) = p({X  [0,19 ; 0,20[}) + p({[0,28 ; 0,29[})+ p({[0,37 ; 0,38[})+ … + p({[0,91 ; 0,92]}).
p(C) = 9  0,01 = 0,09 .
Exercice n°38 page 231
On choisit au hasard un nombre de l'intervalle [0 ; 5].
1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui associe au nombre choisi sa partie entière ?
2) Déterminez la probabilité de l'événement {X < 2}.
Aide
La partie entière d'un décimal x est l'entier immédiatement inférieur ou égal à x. Par exemple la partie entière de 3,75
est 3 et la partie entière de –3,75 est –4.
1) On note Y la variable aléatoire qui prend la valeur du nombre choisi ; Y suit la
xi
0 1 2 3 4 5
loi uniforme sur [0 ; 5].
1
, etc.
5
1 2
2) p({X < 2}) = p({X = 0}  {X = 1}) = 2  =
.
5 5
p(X = xi)
On a alors p({X = 0}) = p({Y  [0 ; 1[}) =
1 1 1 1 1
0
5 5 5 5 5
Exercice n°40 page 231
Emma doit se rendre au supermarché. Son heure d'arrivée est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [11 ; 12],
Emma restera 15 minutes dans le supermarché.
1) Calculez p({X > 11 h 15 min}).
2) Quelle est la probabilité qu'Emma puisse prendre connaissance de la vente promotionnelle que le supermarché va
annoncer à partir de 11 h 45.
1) p({X > 11 h 15 min}) =
12 h – 11 h 15 min 45 3
=
= .
12 h – 11 h
60 4
2) On veut {X > 11 h 30 min} car Emma va rester 15 minutes.
Or 11 h 30 min est la valeur centrale de [11 ; 12], donc la probabilité cherchée est égale à
1
.
2
Exercice n°42 page 231 Pause-café
Cet exercice est extrait du document d'accompagnement du programme.
Olivier vient tous les matins entre 7 h et 7 h 45 chez Karine prendre un café.
1) Sachant qu'Olivier ne vient jamais en dehors de la plage horaire indiquée et qu'il peut arriver à tout instant avec les
mêmes chances, quelle densité peut-on attribuer à la variable aléatoire « heure d'arrivée d'Olivier » ?
2) Calculez la probabilité qu'Olivier sonne chez Karine :

après 7 h 30 ;

avant 7 h 10 ;

entre 7 h 20 et 7 h 22 ;

à 7 h 30 exactement.
1) On note X la variable aléatoire « heure d’arrivée d’Olivier ».
X suit la loi uniforme sur [7 ; 7,75] donc de densité
2)

p({X > 7,5}) = p({X  [7 h 30 ; 7 h 45]}) =

On a p(7 h  X  7 h 10}) =

On a p({7 h 20  X  7 h 22}) =

On a p({X = 7,5}) = 0 .
1
4
= .
0,75 3
15 1
= .
45 3
10 2
= .
45 9
2
.
45
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4 LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
Cette notion a été introduite en activité page 216.
4.1 Définition
DÉFINITION 4
Une variable aléatoire de densité f sur IR suit la loi normale centrée
 x2
1
e 2 .
2
On note cette loi N(0 ; 1).
Sa courbe représentative Cf est donnée ci-contre.
réduite si f (x) =
Propriétés de la courbe Cf
Cette courbe peut être obtenue aisément à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel. On peut remarquer que :
1
1 0
1
car f (0) =
e =
.
2
2
2

L'ordonnée du point A est égale à

Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En effet, deux points quelconques de cette courbe,
d'abscisses opposées a et –a, ont même ordonnée car e
 a2
2
=e
(  a )2
2
.
Remarque :
L'aire du domaine « illimité » compris entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1 puisque f est une
 + 1 2x
e
dx.
– 2
2
densité de probabilité. On note cette aire 
4.2 Exemples
Les calculatrices donnent directement p({a  X  b}) (voir page 225). Ainsi par
exemple pour a = 1 et b = 2, on a p({1  X  2})  0,14.
Ce nombre est égal à l'aire du domaine colorié ci-contre.
4.3 Probabilité de l'événement {X  [–1,96 ; 1,96]}
On peut lire sur la calculatrice que p({–1,96  X  1,96})  0,95.
Donc p({ X  [–1,96 ; 1,96}) = 1 – p({–1,96  X  1,96})  0,05.
1,96
+
Ceci signifie que 
f (x) dx  0,05 ; donc, en dehors de l'intervalle [–1,96 ; 1,96], l'aire sous la
 f (x) dx + 

–
1,96
courbe est très petite.
On conçoit intuitivement que pour qu'il en soit ainsi, la courbe se rapproche « très vite » de l'axe des abscisses
lorsque x devient de plus en plus grand.
Exercice n°3 page 224
X est une variable aléatoire qui suit la loi N(0 ; 1).
1) a) Représentez graphiquement les probabilités des événements suivants :
A = {X  0} ; B = {0  X  1} ; C = {–1  X  0} ; D = {1  X < 2} ; E = {–2  X  –1}.
b) Donnez une valeur approchée de ces probabilités.
2) Donnez une valeur approchée de la probabilité de l'événement {X  [–1,96 ; 0]}.
1) a) Cf est la courbe représentative de la fonction de densité de la loi N(0 ; 1).
Pour chacun des événements, la probabilité est égale à l'aire du domaine située entre la courbe Cf et l'axe des
abscisses avec les conditions suivantes :
Pour A : Domaine « à droite » de l'axe des ordonnées.
Pour B : Domaine situé entre les droites d'équations x = 0 et x = 1.
Pout C : Domaine situé entre les droites d'équations x = –1 et x = 0.
Pour D : Domaine situé entre les droites d'équations x = 1 et x = 2.
Pour E : Domaine situé entre les droites d'équations x = –2 et x = –1.
b) p(A) = 0,5 ; p(B)  0,34 ; p(C)  0,34 ; p(D)  0,136 ; p(E)  0,136 .
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1
1
2) p({X  [–1,96 ; 0]}) = p({X  [–1,96 ; 1,96]}) =  0,95  0,475 .
2
2
Exercice n°66 page 237
3
X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(0 ; 1). On sait que p0  X    0,433.
2

3
On se propose de calculer pX > .
2

1) Vérifiez que la courbe représentative de la densité de la loi normale N(0 ; 1) a l'allure
ci-contre.
 Remarque : Dans ce genre de problème, il est conseillé de dessiner l'allure de la
courbe représentative de la densité de probabilité de la loi N(0 ; 1), même lorsque cela
n'est pas explicitement demandé.
 Il convient de savoir que :
 la courbe est symétrique par rapport à la droite des ordonnées ;
 p(X  [a ; b]) est égale à l'aire du domaine compris entre la courbe, la droite des
abscisses et les deux droites d'équations x = a et x = b ;
 l'aire du domaine « illimité » compris entre la courbe et la droite des abscisses est
égale à 1.
2) a) Expliquez pourquoi :
3
3 1
pX >  + p0  X   = .
2
2 2


 Indication. Utilisez la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées et n'oubliez pas de préciser

3 
3
que les événements X >  et 0  X   sont disjoints.
2 
2

3
b) Déduisez-en la valeur de pX > .
2

1)
2)
3
3
a) On a 0 ,   [ , +[ = [0 ; +∞[.

2
2

3
3


3 

3

p({X  [0 ; +∞[}) = 0,5 et pX  0 ,   ] , +[ = pX  0 ,  + pX  ] , +∞[ car les deux
2
2

 2

 2 


intervalles sont disjoints.

3
b) D’où : pX >   1 – 0,433  0,066 .
2

Exercice n°67 page 237
X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(0 ; 1).
1) En utilisant le fait que la courbe représentative de la densité de probabilité de cette loi est symétrique par rapport à
la droite des ordonnées, calculez la probabilité de chacun des événements suivants :
a) (X  0).
b) (X  0).
 Indication. N'oubliez pas que p(–  X  +) = 1.
2) Quelle relation y a-t-il entre les deux nombres : p(0  X  3) et p(–3  X  0) ?
 Indication. Utilisez l'allure de la courbe représentative de la densité de probabilité de la loi N(0 ; 1).
1) a) p({X  0}) = 0,5 .
b) p({X  0}) = 0,5 .
2) Ces deux nombres sont égaux car la courbe représentative de la densité est symétrique par rapport à la droite
d’équation x = 0.
OBJECTIF 2 : Connaître la fonction de densité de la loi normale

La fonction de densité de la loi normale centrée, réduite N(0 ; 1)
est la fonction f définie sur IR par :
1
f (x) =
e
2


N(0 ; 1)
 x2
2
.
Sa courbe représentative est donnée ci-contre.
Si X suit la loi N(0 ; 1) :
p({X  [–1,96 ; 1,96]})  0,95.
Exercice résolu n°B page 224
X est une variable aléatoire qui suit la loi N(0 ; 1).
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1) a) Représentez graphiquement les probabilités des événements {1  X  3} et {–3  X  –1}.
b) Donnez une valeur approchée de ces probabilités.
2) Donnez une valeur approchée de la probabilité de l'événement X  [0 ; 1,96].
 Méthode
 Solution
1) a) On trace la représentation graphique de la fonction  1) a) La probabilité de l'événement {1  X  3}
de densité de la loi N(0 ; 1).
est égale à l'aire du domaine hachuré.
La probabilité de l'événement {a  X  b} est l'aire
du domaine compris entre la courbe, l'axe des
abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.
b) La calculatrice permet de calculer p({a  X  b}).
On utilise la symétrie de la courbe par rapport à
l'axe des ordonnées.
2) p({X  [–1,96 ; 1,96]})  0,95.

b) p({1  X  3})  0,157 3 . D'où, par
symétrie : p({–3  X  –1})  0,157 3 .

1
p({X  [–1,96 ; 1,96]}).
2
Or p({X  [–1,96 ; 1,96]})  0,95.
2) p({X  [0 ; 1,96]}) =
Donc p({X  [0 ; 1,96]})  0,475 .
Exercice n°4 page 224
X est une variable aléatoire qui suit la loi N(0 ; 1).
1) a) Représentez graphiquement les probabilités des événements suivants :
A = {–1  X  1} ; B = {–2  X  2} ;
C = {X  1} ; D = {X  1}.
b) Donnez une valeur approchée de ces probabilités.
2) Donnez une valeur approchée de la probabilité de l'événement {X  [–1,96 ; 0]}.
1) a) Cf est la courbe représentative de la fonction de densité de la loi N(0 ; 1).
Pour chacun des événements, la probabilité est égale à l'aire du domaine situé entre la courbe Cf et l'axe des
abscisses avec les conditions suivantes :
Pour A : Domaine situé entre les droites d'équations x = –1 et x = 1.
Pour B : Domaine situé entre les droites d'équations x = –2 et x = 2.
Pour C : Domaine situé « à droite » de la droite d'équation x = 1.
Pour D : Domaine situé « à gauche » de la droite d'équation x = 1.
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b) p(A)  0,6827 ; p(B)  0,9545 ; p(C) =
2) p({X  [–1,96 ; 0]}) =
Page 11 sur 15
1
(1 – p(A))  0,1587 ; p(D) = 1 – p(C)  0,8413 .
2
1
p({X  [–1,96 ; 1,96]}) =
2
1
 0,95 =
2
0,475 .
5 LOI NORMALE N( ; 2)
5.1 Définition
DÉFINITION 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N( ; 2) si
X–
suit la loi normale N(0 ; 1).

Remarques :
1) On peut démontrer que si X suit la loi normale N( ; 2) alors la densité de probabilité de X est la
1
fonction f définie sur IR par f (x) =
e
 2
1 X  μ 


2 σ 
2
.
Cette expression algébrique n'est pas un attendu du programme.
2) La courbe d'équation y = f (x) est symétrique par
rapport à la droite d'équation x = .
En effet, considérons, pour a > 0, les réels  + a et
 – a symétriques par rapport à .
1  a 
2
1   a 
2
 


1
1
f ( + a) =
e 2  σ  , f ( – a) =
e 2 σ  .
 2
 2
Donc f ( + a) = f ( – a).
Les points A et B sont donc symétriques par rapport
à la droite  d'équation x = .
5.2 Espérance et écart-type
DÉFINITION 6
X désigne une variable aléatoire de densité f sur I. Notons m = E(X).
Alors la variance de X, notée V(X) est le nombre défini par V(X) = E((X – m)2).
L'écart-type de X est égal à
V(X).
THÉORÈME 3
Si X suit la loi N( ; 2) alors :
Démonstration :
Nous admettons ce théorème.
Remarque :
E(X) = µ
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V(X) = 2.
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Si X suit la loi N(0 ; 1), alors E(X) = 0 et V(X) = 1.
5.3 Interprétation de la variance
On peut vérifier à l'aide d'un logiciel que V(X) traduit la dispersion des valeurs de X par rapport à l'espérance .
Exemple :
Voici ci-dessous deux courbes représentant la densité de la loi normale N(0 ; 2) dans le cas où  = 1 et où
=2:
=2
=1
Plus précisément, lorsque  est petit « l'aire sous la courbe » est plus concentrée autour de l'espérance, égale à
.
La probabilité que X  [–2 ; 2], dans le cas  = 1, est plus grande que dans le cas  = 2.
OBJECTIF 3 : Obtenir une probabilité dans le cadre d'une loi
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi N( ; 2), alors Y =
N( ; 2)
X–
suit la loi N(0 ; 1).

Pour  et  connus, les calculatrices disposent de commandes spécifiques pour calculer :
- la probabilité de l'événement {  X  },  et  étant donnés ;
- le réel x tel que p({X  x}) = ,  étant donné.
T.I.
Casio
p({  X  })
2nd Var 2 : normalFRép(, , , )
x tel que p(X  x) = a
2nd Var 3 : FracNormale(a, , )
Menu
F5 (DIST) F1 (NORM) F2
(NCD) ; Lower : , Upper : , puis  et .
Menu
F5 (DIST) F1 (NORM) F3
(InvN) ; Area : a, puis  et .
Exercice résolu n°C page 225
La variable aléatoire X suit la loi normale N( ; 2) avec  = 100 et  = 10.
1) Calculez à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur les probabilités des événements suivants :
a) {90  X  120} ;
b) {X  120}.
2) Calculez la probabilité de l'événement {90  X}.
3) Soit a un réel, on sait que la probabilité de l'événement {X  a} est égale à 0,25. Déterminez a.
 Méthode
 Solution
 1) a) p({90  X  120})  0,818 6.
1) a) Pour une loi N( ; 2) la calculatrice
indique directement p(a  X  b}).
1
b) Pour calculer la probabilité d'un événement 
b) p({X  100}) = .
du type {X  c}, on se ramène à un calcul
2
de probabilité de la forme p({a < X < b})
Or ({X  100}) est la réunion de deux événements
donné par la calculatrice.
disjoints {100  X  120} et {X  120} donc
1
– p({100  X  120}).
2
Or p({100  X 120})  0,477 2 donc
p({X  120})  0,022 8.
 2) {X  90} est la réunion de deux événements disjoints
{90  X  120} et {X  120}, d'où p({X  90}) 
0,841 3.
 3) On obtient a  93,26.
p({X  120}) =
2) On utilise les résultats de la question
précédente.
3) La calculatrice donne la valeur de a tel que
p({X  a}) ait une valeur connue.
Exercice n°5 page 225
La variable aléatoire X suit la loi normale N( ; 2) avec  = 2 et  = 0,3.
1) Calculez à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur les probabilités des événements suivants :
a) {1,5 < X < 3} ;
b) {X  3}.
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2) Calculez de deux façons différentes la probabilité de l'événement {X < 1,5}.
3) Soit a un réel, on sait que la probabilité de l'événement {X  a} est égale à 0,6. Déterminez a.
1) a) p({1,5 < X < 3})  0,9518 .
b) p({X  3}) =
2) 

1
– p({2 < X < 3})  0,000 43 .
2
p({X < 1,5}) = 1 – p({X  1,5) = 1 – (p({X  3) + p({1,5  X  3}))  0,048 .
1
p({X < 1,5)} = – p({1,5 < X < 2})  0,048 .
2
3) La calculatrice donne a  2,076 .
Exercice n°6 page 225
Le poids en kg des nouveaux nés à la naissance est une variable aléatoire X qui peut être modélisée par une loi normale
de moyenne  = 3,3 et d'écart-type  = 0,5.
1) Quelle est la probabilité qu'un nouveau-né pèse moins de 3 kg ?
2) a) Déterminez le poids x tel que p(X < x) = 0,99.
b) Déterminez le poids y tel que p(X > y) = 0,99.
1) p({X < 3}) = 0,5 – p({3  X  3,3})  0,2743 .
2) a) x  4,463 .
b) p(X > y) = 1 – p(X  y) d'où p(X  y) = 0,01.
On obtient y  2,14 .
5.4 Probabilité des événements {X  [ –  ;  + ]}, {X  [ – 2 ;  + 2]} et
{X  [ – 3 ;  + 3]}
THÉORÈME 4
X suit la loi normale N( ; 2). Alors :
p({X  [ –  ;  + ]})  0,68
p({X  [ – 2 ;  + 2]})  0,95
p({X  [ – 3 ;  + 3]})  0,997.
Démonstration :
Nous admettons ce théorème. Le logiciel GeoGebra permet de justifier ces valeurs : voir travaux dirigés page
251.
Remarque :
Les trois probabilités précédentes 0,68, 0,95 et 0,997 ne dépendent ni de , ni de .
OBJECTIF 4 : Connaître la probabilité des événements {X  [µ –
{X  [µ – 2 ; µ + 2] et {X  [µ – 3 ; µ + 3]
 ; µ + ],
X suit la loi normale N( ; 2).
Les résultats suivants sont utilisés dans de nombreux
contextes ; ils peuvent être visualisés sur la figure ci-contre :
p( –   X   + )  0,68 (à 10–2 près).
p( – 2  X   + 2)  0,95 (à 10–2 près).
p( – 3  X   + 3)  0,997 (à 10–3 près).
Exercice résolu n°D page 226
La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance  = 1 000 et d'écart-type  = 150.
1) Donnez sans calculatrice la probabilité des événements suivants :
a) {X  [850 ; 1 150]} ;
b) {X  [700 ; 1 300]} ;
c) {X  [550 ; 1 450]}.
2) Quelle est la probabilité de l'événement {X  850} ?
 Méthode
 Solution
 1) a) p({850  X  1 150}) =
1) On applique les résultats du cours rappelés en
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haut de la page.
2) On se ramène à un calcul de probabilité de la
forme p({a < X < b}). On peut aussi utiliser la
propriété
p({850  X  1 000}) =
1
p({850  X  1 150}).
2
Page 14 sur 15
p({ –   X   + })
donc p({850  X  1 150})  0,68.
b) p({700  X  1 300}) =
p({ – 2  X   + 2})  0,95.
c) p({550  X  1 450}) =
p({ – 3  X   + 3})  0,997.
 2) p({X  850)} = p({X  1 000}) – p({850  X  1 000}).
1
Or 1 000 est la moyenne donc p({X  1 000} = et
2
1
p({850  X  1 000}) = p({850  X  1 150}) d'où
2
p({X  850})  0,5 – 0,34  0,16.
Exercice n°7 page 226
La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance  = 3 et d'écart-type   0,2.
1) Donnez sans calculatrice la probabilité des événements suivants :
a) {X  [2,8 ; 3,2]} ;
b) {X  [2,6 ; 3,4]} ;
2) Déduisez-en la probabilité de chacun des événements suivants :
a) {X  2,6} ;
b) {X  3,6} ;
1) a) p({X  [2,8 ; 3,2]}) = p({ –   X   + })  0,68 .
c) {X  [2,4 ; 3,6]}.
c) {2,6  X  3,6}.
b) p({X  [2,6 ; 3,4]}) = p({ – 2  X   + 2})  0,95 .
c) p({X  [2,4 ; 3,6]}) = p({ – 3  X   + 3})  0,997 .
1
(1 – p({2,6  X  3,4}))  0,025 .
2
1
p({X  3,6}) = (1 – p({2,4  X  3,6}))  0,001 5 .
2
2) p({X  2,6}) =
p({2,6  X  3,6}) = 1 – p({X  2,6}) – p({X  3,6})  0,975 .
Exercice n°8 page 226
La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance  = 5 et d'écart-type 0,35.
1) Donnez sans calculatrice la probabilité des événements suivants :
a) {X  [4,65 ; 5,35]} ;
b) {X  [3,95 ; 6,05]}.
2) Déduisez-en la probabilité des événements suivants :
a) {X  5,35} ;
b) {X  4,65} ;
c) {X  3,95} ;
1) a) p([{X  [4,65 ; 5,35]}) = p({ –   X   + })  0,68 .
d) {3,95  X  4,65}.
b) p([{X  [3,95 ; 6,05]}) = p({ – 3  X   – 3})  0,997 .
2)
a) p({X  5,35}) =
1
1 – 0,68
 0,16 .
(1 – p({X  [4,65 , 5,35]})) 
2
2
b) p({X  4,65}) = p([{X  [4,65 ; 5,35]}) + p([{X  5,235]})  0,68 + 0,16  0,84 .
c) p({X  3,95}) =
1
1 – 0,997
 0,001 5 .
(1 – p({X  [3,95 , 6,05]})) 
2
2
d) p({3,95  X  4,65}) = 1 – p({X  3,95}) – p({X  4,65})  1 – 0,001 5 – 0,84  0,158 5 .
Exercice n°44 page 232 Chantier de construction
On s'intéresse au chantier de construction d'un tronçon de TGV.
Les travaux de terrassement nécessitent la mise à disposition d'une flotte importante de
pelles sur chenilles et de camions-benne.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe
le nombre de mètres cubes de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On
suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart-type 10
1) Calculez p(110  X  130).
2) Calculez la probabilité que la pelle prélevée extraie moins de 100 m3 pendant la première heure du chantier.
1) p(110  X  130) = p({ –   X   + })  0,68 .
2) p({X  100}) + p({100  X  140}) + p({X  140}) = 1
et par symétrie p({X  100}) = p({X  140}).
De plus p({100  X  140}) = p({ – 2  X   + 2})  0,95.
D’où : p({X  100}) 
1 – 0,95
 0,025 .
2
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)
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Exercice n°48 pages 232-233 Fabrique de jetons
Une entreprise fabrique des jetons destinés à un établissement de jeux. On note D la variable aléatoire prenant pour
valeur le diamètre en millimètres des jetons et E la variable aléatoire prenant pour valeur l'épaisseur en millimètres des
jetons.
On suppose que les variables aléatoires D et E sont indépendantes.
Le cahier des charges de cette entreprise indique que le diamètre doit être égal à 29 ± 0,4 mm et que l'épaisseur doit
être égale 2 ± 0,1 mm.
On admet que la variable aléatoire D suit la loi normale d'espérance 29 et d'écart-type 0,2 et que la variable aléatoire E
suit la loi normale d'espérance 2 et d'écart-type 0,04.
1) Calculez la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production ait un diamètre conforme au cahier des charges.
2) Calculez la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production ait une épaisseur conforme au cahier des
charges.
1) On cherche p({28,6  D  29,4}) = p({ – 2  D   + 2})  0,95 .
2) On cherche p({1,9  E  2,1}).
La calculatrice donne environ 0,987 6 .
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes)
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