1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels

Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x )
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la
droite d’équation y = 2x dans le plan)
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la
droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la
droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 )
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la
droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )),
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la
droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient
encore à V ,
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la
droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient
encore à V , et le produit de (x , 2x ) avec un réel λ
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la
droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient
encore à V , et le produit de (x , 2x ) avec un réel λ est (λx , 2λx ),
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la
droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient
encore à V , et le produit de (x , 2x ) avec un réel λ est (λx , 2λx ), donc
également élément de V .
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans
R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V .
De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V .
Exemple
L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la
droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient
encore à V , et le produit de (x , 2x ) avec un réel λ est (λx , 2λx ), donc
également élément de V .
1/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 )
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire.
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de
deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de
deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit
d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus.
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de
deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit
d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus.
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour
x, y ∈ R
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de
deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit
d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus.
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour
x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété.
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de
deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit
d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus.
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour
x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si
(x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R,
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de
deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit
d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus.
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour
x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si
(x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R, il est par contre faux que
(1, 0) + (0, 1) ∈ V
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de
deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit
d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus.
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour
x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si
(x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R, il est par contre faux que
(1, 0) + (0, 1) ∈ V . Pourtant chacun de ces deux termes est dans V .
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de
deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit
d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus.
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour
x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si
(x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R, il est par contre faux que
(1, 0) + (0, 1) ∈ V . Pourtant chacun de ces deux termes est dans V . Donc
cet ensemble V ne vérifie pas la propriété.
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche
pas...
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire
la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité
pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de
deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit
d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus.
Exemple
L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour
x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si
(x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R, il est par contre faux que
(1, 0) + (0, 1) ∈ V . Pourtant chacun de ces deux termes est dans V . Donc
cet ensemble V ne vérifie pas la propriété.
2/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Informellement
Un espace vectoriel
3/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Informellement
Un espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut additionner les
éléments, et les multiplier par un nombre réel
3/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Informellement
Un espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut additionner les
éléments, et les multiplier par un nombre réel sans sortir de cet ensemble.
De manière générale, un ensemble dans lequel on peut prendre des
combinaisons linéaires des éléments, pour obtenir de nouveaux éléments
toujours dans cet ensemble.
3/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (Espace vectoriel)
Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations.
D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout
−
−
−
−
couple →
v ,→
w ∈ V un nouvel élément →
v +→
w se trouvant encore dans V ,
et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu :
4/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (Espace vectoriel)
Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations.
D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout
−
−
−
−
couple →
v ,→
w ∈ V un nouvel élément →
v +→
w se trouvant encore dans V ,
et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu :
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(→
u +→
v )+→
w =→
u + (→
v +→
w ) ∀→
u ,→
v ,→
w ∈ V (associativité) ;
4/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (Espace vectoriel)
Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations.
D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout
−
−
−
−
couple →
v ,→
w ∈ V un nouvel élément →
v +→
w se trouvant encore dans V ,
et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu :
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(→
u +→
v )+→
w =→
u + (→
v +→
w ) ∀→
u ,→
v ,→
w ∈ V (associativité) ;
→
−
−
−
−
−
−
u +→
v =→
v +→
u ∀→
u ,→
v ∈ V (commutativité) ;
4/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (Espace vectoriel)
Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations.
D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout
−
−
−
−
couple →
v ,→
w ∈ V un nouvel élément →
v +→
w se trouvant encore dans V ,
et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu :
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(→
u +→
v )+→
w =→
u + (→
v +→
w ) ∀→
u ,→
v ,→
w ∈ V (associativité) ;
→
−
−
−
−
−
−
u +→
v =→
v +→
u ∀→
u ,→
v ∈ V (commutativité) ;
→
−
il existe un élément neutre pour l’addition, càd un élément noté 0 tel
→
−
→
−
−
−
−
−
que →
u + 0 = 0 +→
u =→
u ∀→
u ∈ V (existence d’un élément
neutre) ;
4/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (Espace vectoriel)
Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations.
D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout
−
−
−
−
couple →
v ,→
w ∈ V un nouvel élément →
v +→
w se trouvant encore dans V ,
et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu :
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(→
u +→
v )+→
w =→
u + (→
v +→
w ) ∀→
u ,→
v ,→
w ∈ V (associativité) ;
→
−
−
−
−
−
−
u +→
v =→
v +→
u ∀→
u ,→
v ∈ V (commutativité) ;
→
−
il existe un élément neutre pour l’addition, càd un élément noté 0 tel
→
−
→
−
−
−
−
−
que →
u + 0 = 0 +→
u =→
u ∀→
u ∈ V (existence d’un élément
neutre) ;
tout élément possède un inverse pour l’addition, càd pour tout
→
−
→
−
−
−
−
u ∈ V , il existe un élément →
v ∈ V tel que →
u +→
v = 0
4/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (suite)
Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée
−
−
multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et →
u ,→
v ∈V :
5/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (suite)
Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée
−
−
multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et →
u ,→
v ∈V :
→
−
→
−
λ · (µ u ) = (λµ) · u ;
5/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (suite)
Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée
−
−
multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et →
u ,→
v ∈V :
→
−
→
−
λ · (µ u ) = (λµ) · u ;
−
−
−
−
λ · (→
u +→
v )=λ·→
u +λ·→
v ;
5/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (suite)
Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée
−
−
multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et →
u ,→
v ∈V :
→
−
→
−
λ · (µ u ) = (λµ) · u ;
−
−
−
−
λ · (→
u +→
v )=λ·→
u +λ·→
v ;
→
−
→
−
→
−
(λ + µ) · u = λ · u + µ · u
5/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (suite)
Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée
−
−
multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et →
u ,→
v ∈V :
→
−
→
−
λ · (µ u ) = (λµ) · u ;
−
−
−
−
λ · (→
u +→
v )=λ·→
u +λ·→
v ;
→
−
→
−
→
−
(λ + µ) · u = λ · u + µ · u
−
−
1·→
u =→
u
5/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (suite)
Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée
−
−
multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et →
u ,→
v ∈V :
→
−
→
−
λ · (µ u ) = (λµ) · u ;
−
−
−
−
λ · (→
u +→
v )=λ·→
u +λ·→
v ;
→
−
→
−
→
−
(λ + µ) · u = λ · u + µ · u
−
−
1·→
u =→
u [Ici, 1 est le nombre réel 1].
5/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Définition (suite)
Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée
−
−
multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et →
u ,→
v ∈V :
→
−
→
−
λ · (µ u ) = (λµ) · u ;
−
−
−
−
λ · (→
u +→
v )=λ·→
u +λ·→
v ;
→
−
→
−
→
−
(λ + µ) · u = λ · u + µ · u
−
−
1·→
u =→
u [Ici, 1 est le nombre réel 1].
5/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs.
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·.
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire),
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire,
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le
résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel)
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le
résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel)
L’ensemble V muni de la loi d’addition forme
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le
résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel)
L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en
mathématique un groupe.
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le
résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel)
L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en
mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui
vallent la peine d’être étudiés
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le
résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel)
L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en
mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui
vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications
pratiques)
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le
résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel)
L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en
mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui
vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications
pratiques). Notamment les groupes de symétrie, càd l’ensemble de
toutes les transformations laissant un certain objet (souvent)
géométrique invariant
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le
résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel)
L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en
mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui
vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications
pratiques). Notamment les groupes de symétrie, càd l’ensemble de
toutes les transformations laissant un certain objet (souvent)
géométrique invariant (càd telles qu’on retrouve le même objet après
transformation).
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le
résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel)
L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en
mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui
vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications
pratiques). Notamment les groupes de symétrie, càd l’ensemble de
toutes les transformations laissant un certain objet (souvent)
géométrique invariant (càd telles qu’on retrouve le même objet après
transformation). La loi concernée dans ce cas est alors la loi de
composition ◦ des transformations.
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note
(V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on
−
−
note λ→
v au lieu de λ · →
v : le point multiplicatif est omis.
Remarque
Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire)
qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le
produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le
résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel)
L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en
mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui
vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications
pratiques). Notamment les groupes de symétrie, càd l’ensemble de
toutes les transformations laissant un certain objet (souvent)
géométrique invariant (càd telles qu’on retrouve le même objet après
transformation). La loi concernée dans ce cas est alors la loi de
composition ◦ des transformations.
6/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Remarque
Si on remplace R et « réel » respectivement par C et « complexe »
7/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Remarque
Si on remplace R et « réel » respectivement par C et « complexe », on
obtient la notion d’espace vectoriel complexe.
7/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Remarque
Si on remplace R et « réel » respectivement par C et « complexe », on
obtient la notion d’espace vectoriel complexe. Dans tous les cas, cet
ensemble (R ou C)
7/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Remarque
Si on remplace R et « réel » respectivement par C et « complexe », on
obtient la notion d’espace vectoriel complexe. Dans tous les cas, cet
ensemble (R ou C) est appelé l’ensemble des scalaires.
7/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Exemple
L’espace Rn est un espace vectoriel réel.
8/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Exemple
L’espace Rn est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel.
8/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Exemple
L’espace Rn est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel
8/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Exemple
L’espace Rn est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on
peut certes additionner des rationnels entre eux,
8/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Exemple
L’espace Rn est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on
peut certes additionner des rationnels entre eux, mais le produit d’un
rationnel par un réel n’est en général pas un rationnel.
8/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Exemple
L’espace Rn est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on
peut certes additionner des rationnels entre eux, mais le produit d’un
rationnel par un réel n’est en général pas un rationnel.
Exemple
L’ensemble C est un espace vectoriel réel
8/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Exemple
L’espace Rn est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on
peut certes additionner des rationnels entre eux, mais le produit d’un
rationnel par un réel n’est en général pas un rationnel.
Exemple
L’ensemble C est un espace vectoriel réel, mais peut aussi être vu comme
un espace vectoriel complexe.
8/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Exemple
L’espace Rn est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel.
Exemple
L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on
peut certes additionner des rationnels entre eux, mais le produit d’un
rationnel par un réel n’est en général pas un rationnel.
Exemple
L’ensemble C est un espace vectoriel réel, mais peut aussi être vu comme
un espace vectoriel complexe.
8/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
pour l’addition)
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ;
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ;
Le réel 1 multiplié par un vecteur
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ;
Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ;
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ;
Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ;
−
−
−
−
Si →
w +→
v =→
u +→
v
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ;
Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ;
−
−
−
−
−
−
Si →
w +→
v =→
u +→
v alors →
w =→
u ;
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ;
Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ;
−
−
−
−
−
−
Si →
w +→
v =→
u +→
v alors →
w =→
u ;
−
Si λ→
v = 0, alors
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ;
Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ;
−
−
−
−
−
−
Si →
w +→
v =→
u +→
v alors →
w =→
u ;
→
−
→
−
→
−
Si λ v = 0, alors λ = 0 ou v = 0 ;
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Résultat
−
−
Pour →
v ,→
w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V :
→
−
Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ;
−
−
Le réel −1 multiplié par un vecteur →
v donne l’opposé de →
v (linverse
−
−
v = −→
v ;
pour l’addition) : (−1)→
N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ;
Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ;
−
−
−
−
−
−
Si →
w +→
v =→
u +→
v alors →
w =→
u ;
→
−
→
−
→
−
Si λ v = 0, alors λ = 0 ou v = 0 ;
9/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
−
0→
v
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v ))
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v ))
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v ))
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
où le symbole 0 représente le réel nul 0
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
La preuve du second point tient en une autre ligne :
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
La preuve du second point tient en une autre ligne :
→
−
0
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
La preuve du second point tient en une autre ligne :
→
−
−
v
0 = (1 + (−1))→
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
La preuve du second point tient en une autre ligne :
→
−
−
−
−
v =→
v + (−1)→
v
0 = (1 + (−1))→
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
La preuve du second point tient en une autre ligne :
→
−
−
−
−
v =→
v + (−1)→
v
0 = (1 + (−1))→
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
La preuve du second point tient en une autre ligne :
→
−
−
−
−
v =→
v + (−1)→
v
0 = (1 + (−1))→
−
−
Ceci prouve que (−1)→
v est un vecteur qui, additionné à →
v
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
La preuve du second point tient en une autre ligne :
→
−
−
−
−
v =→
v + (−1)→
v
0 = (1 + (−1))→
−
−
Ceci prouve que (−1)→
v est un vecteur qui, additionné à →
v , donne le
→
−
vecteur 0 .
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
La preuve du second point tient en une autre ligne :
→
−
−
−
−
v =→
v + (−1)→
v
0 = (1 + (−1))→
−
−
Ceci prouve que (−1)→
v est un vecteur qui, additionné à →
v , donne le
→
−
→
−
vecteur 0 . C’est l’exacte définition d’être l’opposé de v .
10/23
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
Démonstration.
La preuve du premier point tient en une ligne :
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0→
v = 0→
v +0→
v +(−(0→
v )) = (0+0)→
v +(−(0→
v )) = 0→
v +(−(0→
v )) = 0
→
−
où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul.
La preuve du second point tient en une autre ligne :
→
−
−
−
−
v =→
v + (−1)→
v
0 = (1 + (−1))→
−
−
Ceci prouve que (−1)→
v est un vecteur qui, additionné à →
v , donne le
→
−
→
−
vecteur 0 . C’est l’exacte définition d’être l’opposé de v .
La preuve de chacun des autres points est laissée en exercice
10/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
tel que
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S).
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S).
La preuve est purement calculatoire.
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S).
La preuve est purement calculatoire.
Démonstration.
La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que
la somme d’éléments de S est encore dans S.
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S).
La preuve est purement calculatoire.
Démonstration.
La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que
la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0
est bien une application du type S × S → S.
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S).
La preuve est purement calculatoire.
Démonstration.
La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que
la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0
est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en
prenant λ = 1), nous avons bien cela :
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S).
La preuve est purement calculatoire.
Démonstration.
La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que
la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0
est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en
−
−
x +→
y ∈ S.
prenant λ = 1), nous avons bien cela : →
Pour vérifier que (S, +) satisfait les autres propriétés, il faut :
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S).
La preuve est purement calculatoire.
Démonstration.
La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que
la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0
est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en
−
−
x +→
y ∈ S.
prenant λ = 1), nous avons bien cela : →
Pour vérifier que (S, +) satisfait les autres propriétés, il faut :
−
−
−
−
−
−
vérifier l’associativité. Mais comme (→
x +→
y )+→
z =→
x + (→
y +→
z)
est vraie sur V , c’est en particulier vrai si on se restreint à S !
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S).
La preuve est purement calculatoire.
Démonstration.
La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que
la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0
est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en
−
−
x +→
y ∈ S.
prenant λ = 1), nous avons bien cela : →
Pour vérifier que (S, +) satisfait les autres propriétés, il faut :
−
−
−
−
−
−
vérifier l’associativité. Mais comme (→
x +→
y )+→
z =→
x + (→
y +→
z)
est vraie sur V , c’est en particulier vrai si on se restreint à S !
vérifier la commutativité. Cela se fait comme l’associativité.
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Résultat
Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V
−
−
−
−
x ,→
y ∈ S, →
x + λ→
y ∈ S.
tel que pour tout λ ∈ R et →
Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S).
La preuve est purement calculatoire.
Démonstration.
La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que
la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0
est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en
−
−
x +→
y ∈ S.
prenant λ = 1), nous avons bien cela : →
Pour vérifier que (S, +) satisfait les autres propriétés, il faut :
−
−
−
−
−
−
vérifier l’associativité. Mais comme (→
x +→
y )+→
z =→
x + (→
y +→
z)
est vraie sur V , c’est en particulier vrai si on se restreint à S !
vérifier la commutativité. Cela se fait comme l’associativité.
11/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
vérifier l’existence d’un neutre.
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
neutre de V )
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
neutre de V ) est dans S :
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
−
−
neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre →
x =→
y et
λ = −1 dans l’hypothèse,
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
−
−
neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre →
x =→
y et
λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que
→
−
→
−
−
−
−
x + λ→
y =→
x −→
x = 0 est effectivement dans S.
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
−
−
neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre →
x =→
y et
λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que
→
−
→
−
−
−
−
x + λ→
y =→
x −→
x = 0 est effectivement dans S.
vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour
l’addition).
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
−
−
neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre →
x =→
y et
λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que
→
−
→
−
−
−
−
x + λ→
y =→
x −→
x = 0 est effectivement dans S.
vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour
→
−
−
l’addition). Il suffit de prendre →
x = 0 et λ = −1,
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
−
−
neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre →
x =→
y et
λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que
→
−
→
−
−
−
−
x + λ→
y =→
x −→
x = 0 est effectivement dans S.
vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour
→
−
−
−
l’addition). Il suffit de prendre →
x = 0 et λ = −1, de sorte que −→
y
→
−
est dans S pour tout y ∈ S, donc l’opposé est bien dans S
Vérifions ensuite que multiplier un élément de S par un réel reste dans S.
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
−
−
neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre →
x =→
y et
λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que
→
−
→
−
−
−
−
x + λ→
y =→
x −→
x = 0 est effectivement dans S.
vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour
→
−
−
−
l’addition). Il suffit de prendre →
x = 0 et λ = −1, de sorte que −→
y
→
−
est dans S pour tout y ∈ S, donc l’opposé est bien dans S
Vérifions ensuite que multiplier un élément de S par un réel reste dans S.
→
−
−
Or d’après l’hypothèse, en prenant cette fois →
x = 0,
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
−
−
neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre →
x =→
y et
λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que
→
−
→
−
−
−
−
x + λ→
y =→
x −→
x = 0 est effectivement dans S.
vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour
→
−
−
−
l’addition). Il suffit de prendre →
x = 0 et λ = −1, de sorte que −→
y
→
−
est dans S pour tout y ∈ S, donc l’opposé est bien dans S
Vérifions ensuite que multiplier un élément de S par un réel reste dans S.
→
−
−
−
y ∈S
Or d’après l’hypothèse, en prenant cette fois →
x = 0 , nous avons λ→
→
−
pour tout réel λ et tout y ∈ S.
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Suite.
Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) :
→
−
vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le
−
−
neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre →
x =→
y et
λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que
→
−
→
−
−
−
−
x + λ→
y =→
x −→
x = 0 est effectivement dans S.
vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour
→
−
−
−
l’addition). Il suffit de prendre →
x = 0 et λ = −1, de sorte que −→
y
→
−
est dans S pour tout y ∈ S, donc l’opposé est bien dans S
Vérifions ensuite que multiplier un élément de S par un réel reste dans S.
→
−
−
−
y ∈S
Or d’après l’hypothèse, en prenant cette fois →
x = 0 , nous avons λ→
→
−
pour tout réel λ et tout y ∈ S. Donc cela est vérifié.
La vérification des autres identités requises pour un espace vectoriel se fait
comme pour l’associativité et la commutativité de l’addition, en utilisant le
fait que les propriétés sont vraies car V est lui-même un espace
vectoriel.
12/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Si V est un espace vectoriel quelconque, alors V est un sous-espace
vectoriel de lui-même.
13/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace
→
−
vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du
vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V .
13/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace
→
−
vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du
vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V .
Exemple
L’ensemble des solutions (x1 , x2 , . . . , xn ) d’un système linéaire homogène
13/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace
→
−
vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du
vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V .
Exemple
L’ensemble des solutions
(x1 , x2 , . . . , xn ) d’un système linéaire homogène


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0
..
..


.
.


 a x + a x + ··· + a x =0
k1 1
k2 2
kn n
13/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace
→
−
vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du
vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V .
Exemple
L’ensemble des solutions
(x1 , x2 , . . . , xn ) d’un système linéaire homogène


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0
..
..


.
.


 a x + a x + ··· + a x =0
k1 1
k2 2
kn n
est un sous-espace vectoriel de Rn .
13/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace
→
−
vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du
vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V .
Exemple
L’ensemble des solutions
(x1 , x2 , . . . , xn ) d’un système linéaire homogène


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0
..
..


.
.


 a x + a x + ··· + a x =0
k1 1
k2 2
kn n
est un sous-espace vectoriel de Rn .
13/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Considérons une équation différentielle linéaire homogène :
14/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Considérons une équation différentielle linéaire homogène :
an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
14/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Considérons une équation différentielle linéaire homogène :
an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un
même intervalle I,
14/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Considérons une équation différentielle linéaire homogène :
an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un
même intervalle I, alors u + λv est également solution pour toute valeur
de λ ∈ R.
14/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Considérons une équation différentielle linéaire homogène :
an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un
même intervalle I, alors u + λv est également solution pour toute valeur
de λ ∈ R. En d’autres termes, l’ensemble des solutions de l’équation est
un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de I → R.
14/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Considérons une équation différentielle linéaire homogène :
an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un
même intervalle I, alors u + λv est également solution pour toute valeur
de λ ∈ R. En d’autres termes, l’ensemble des solutions de l’équation est
un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de I → R.
Résultat
Si W et W 0 sont deux sous-espaces vectoriels de V ,
14/23
Algèbre linéaire
Sous-espaces vectoriels
Exemple
Considérons une équation différentielle linéaire homogène :
an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un
même intervalle I, alors u + λv est également solution pour toute valeur
de λ ∈ R. En d’autres termes, l’ensemble des solutions de l’équation est
un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de I → R.
Résultat
Si W et W 0 sont deux sous-espaces vectoriels de V , alors l’intersection
W ∩ W 0 est encore un sous-espace vectoriel de V .
14/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel.
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
vecteur non-nul →
v.
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
v.
vecteur non-nul →
v . Il contient donc aussi tous les multiples réels de →
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
v.
vecteur non-nul →
v . Il contient donc aussi tous les multiples réels de →
⇒
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
n
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
n
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les
espaces de cette forme sont appelées des droites.
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
n
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les
espaces de cette forme sont appelées des droites.
−
Si S contient en outre un autre vecteur →
w,
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
n
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les
espaces de cette forme sont appelées des droites.
−
Si S contient en outre un autre vecteur →
w , qui n’est pas un multiple de
→
−
v,
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
n
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les
espaces de cette forme sont appelées des droites.
−
Si S contient en outre un autre vecteur →
w , qui n’est pas un multiple de
−
−
→
−
v + µ→
w pour tous réels λ, µ ∈ R.
v , alors S contient forcément λ→
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
n
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les
espaces de cette forme sont appelées des droites.
−
Si S contient en outre un autre vecteur →
w , qui n’est pas un multiple de
−
−
→
−
v + µ→
w pour tous réels λ, µ ∈ R.
v , alors S contient forcément λ→
⇒
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
n
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les
espaces de cette forme sont appelées des droites.
−
Si S contient en outre un autre vecteur →
w , qui n’est pas un multiple de
→
−
→
−
→
−
forcément
λ
v
+
µ
w
pour tous réels λ, µ ∈ R.
v , alors S contient
−
−
v + µ→
w t.q. µ, λ ∈ R
⇒ L’ensemble λ→
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
n
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les
espaces de cette forme sont appelées des droites.
−
Si S contient en outre un autre vecteur →
w , qui n’est pas un multiple de
→
−
→
−
→
−
forcément
λ
v
+
µ
w
pour tous réels λ, µ ∈ R.
v , alors S contient
−
−
v + µ→
w t.q. µ, λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de
⇒ L’ensemble λ→
Rn
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus
particulièrement pour n = 2 et n = 3.
Sous-espaces vectoriels de Rn
Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un
−
−
aussi tous les multiples réels de →
v.
vecteur non-nul→
v . Il contient donc
→
−
n
⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les
espaces de cette forme sont appelées des droites.
−
Si S contient en outre un autre vecteur →
w , qui n’est pas un multiple de
→
−
→
−
→
−
forcément
λ
v
+
µ
w
pour tous réels λ, µ ∈ R.
v , alors S contient
−
−
v + µ→
w t.q. µ, λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de
⇒ L’ensemble λ→
Rn . Les espaces de cette forme sont appelés des plans.
15/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}.
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}.
S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R.
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}.
S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si
on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x )
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}.
S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si
on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément
de S
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}.
S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si
on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément
de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 .
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}.
S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si
on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément
de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 . Nous avons donc « un plan » de
solutions.
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}.
S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si
on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément
de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 . Nous avons donc « un plan » de
solutions.
On voit dans l’exemple ci-dessus que certains sous-espaces vectoriels
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}.
S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si
on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément
de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 . Nous avons donc « un plan » de
solutions.
On voit dans l’exemple ci-dessus que certains sous-espaces vectoriels
peuvent se décrire comme un ensemble de combinaisons linéraires de
vecteurs.
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies
sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}.
S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si
on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément
de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 . Nous avons donc « un plan » de
solutions.
On voit dans l’exemple ci-dessus que certains sous-espaces vectoriels
peuvent se décrire comme un ensemble de combinaisons linéraires de
vecteurs. Est-ce toujours le cas ?
16/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition (Combinaison linéaire)
Si A ⊂ V , une combinaison linéaire
17/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition (Combinaison linéaire)
Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili)
17/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition (Combinaison linéaire)
Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A
17/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition (Combinaison linéaire)
Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A est une
somme de la forme
−
−
uk
u1 + · · · + λ k →
λ1 →
pour un certain k ∈ N
17/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition (Combinaison linéaire)
Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A est une
somme de la forme
−
−
uk
u1 + · · · + λ k →
λ1 →
pour un certain k ∈ N et pour des scalaires λ1 , . . . , λk .
17/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition (Combinaison linéaire)
Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A est une
somme de la forme
−
−
uk
u1 + · · · + λ k →
λ1 →
−
ui sont des
pour un certain k ∈ N et pour des scalaires λ1 , . . . , λk . (Les →
éléments distincts de A.)
17/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition (Combinaison linéaire)
Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A est une
somme de la forme
−
−
uk
u1 + · · · + λ k →
λ1 →
−
ui sont des
pour un certain k ∈ N et pour des scalaires λ1 , . . . , λk . (Les →
éléments distincts de A.) Cette somme s’écrit encore
k
X
−
λj →
uj .
j=1
17/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
−
Tout vecteur →
w = (x , y ) ∈ R2
18/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
−
Tout vecteur →
w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1).
18/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
−
Tout vecteur →
w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1).
→
−
w = x (1, 0) + y (0, 1).
18/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
−
Tout vecteur →
w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1).
→
−
w = x (1, 0) + y (0, 1).
Notons que, de plus,
18/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
−
Tout vecteur →
w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1).
→
−
w = x (1, 0) + y (0, 1).
Notons que, de plus, cette combinaison linéaire est unique :
18/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
−
Tout vecteur →
w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1).
→
−
w = x (1, 0) + y (0, 1).
Notons que, de plus, cette combinaison linéaire est unique : Si
→
−
w = u(1, 0) + v (0, 1)
18/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
−
Tout vecteur →
w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1).
→
−
w = x (1, 0) + y (0, 1).
Notons que, de plus, cette combinaison linéaire est unique : Si
→
−
w = u(1, 0) + v (0, 1)
cela implique : u = x
18/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
−
Tout vecteur →
w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1).
→
−
w = x (1, 0) + y (0, 1).
Notons que, de plus, cette combinaison linéaire est unique : Si
→
−
w = u(1, 0) + v (0, 1)
cela implique : u = x et v = y .
18/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à
valeurs dans R.
19/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à
valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas.
19/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à
valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas.
La fonction f définie par
19/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à
valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas.
La fonction f définie par
f (x ) = π sin(x ) − cos(x )
19/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à
valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas.
La fonction f définie par
f (x ) = π sin(x ) − cos(x )
est une combinaison linéaire de sin et cos.
19/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à
valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas.
La fonction f définie par
f (x ) = π sin(x ) − cos(x )
est une combinaison linéaire de sin et cos.
La fonction g définie par
g(x ) = π sin(x ) − cos(2x ) =
19/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à
valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas.
La fonction f définie par
f (x ) = π sin(x ) − cos(x )
est une combinaison linéaire de sin et cos.
La fonction g définie par
g(x ) = π sin(x ) − cos(2x ) = π sin(x ) − cos(x ) cos(x ) + sin(x ) sin(x )
19/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Exemple
Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à
valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas.
La fonction f définie par
f (x ) = π sin(x ) − cos(x )
est une combinaison linéaire de sin et cos.
La fonction g définie par
g(x ) = π sin(x ) − cos(2x ) = π sin(x ) − cos(x ) cos(x ) + sin(x ) sin(x )
n’est pas une combinaison linéaire de sin et cos.
19/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V , on note hAi
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de
A.
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de
A.
Remarque
En général nous considérons des parties A finies,
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de
A.
Remarque
En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de
considérer des parties infinies.
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de
A.
Remarque
En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de
considérer des parties infinies.
Résultat
L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A.
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de
A.
Remarque
En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de
considérer des parties infinies.
Résultat
L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A. De plus,
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de
A.
Remarque
En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de
considérer des parties infinies.
Résultat
L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A. De plus, si
W est un sous-espace vectoriel de V contenant A,
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de
A.
Remarque
En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de
considérer des parties infinies.
Résultat
L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A. De plus, si
W est un sous-espace vectoriel de V contenant A, alors hAi ⊂ W .
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de
A.
Remarque
En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de
considérer des parties infinies.
Résultat
L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A. De plus, si
W est un sous-espace vectoriel de V contenant A, alors hAi ⊂ W .
La preuve est laissée comme exercice.
20/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est
21/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit »
sous-espace vectoriel de V contenant A.
21/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit »
sous-espace vectoriel de V contenant A.
On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V
21/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit »
sous-espace vectoriel de V contenant A.
On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V engendré par A.
21/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit »
sous-espace vectoriel de V contenant A.
On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V engendré par A.
Comme l’intersection d’espaces vectoriels est encore un espace vectoriel,
nous avons :
21/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit »
sous-espace vectoriel de V contenant A.
On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V engendré par A.
Comme l’intersection d’espaces vectoriels est encore un espace vectoriel,
nous avons :
Résultat
hAi est obtenu comme l’intersection de
21/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit »
sous-espace vectoriel de V contenant A.
On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V engendré par A.
Comme l’intersection d’espaces vectoriels est encore un espace vectoriel,
nous avons :
Résultat
hAi est obtenu comme l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de
V contenant A.
21/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Lorsque hAi = V
22/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ).
Résultat
Si A ⊂ V est une partie génératrice,
22/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ).
Résultat
Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors
Toute partie E de V contenant A
22/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ).
Résultat
Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors
Toute partie E de V contenant A est encore génératrice.
22/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ).
Résultat
Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors
Toute partie E de V contenant A est encore génératrice.
− −
Si →
v ∈ A, alors la partie A \ →
v
22/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ).
Résultat
Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors
Toute partie E de V contenant A est encore génératrice.
− −
Si →
v ∈ A, alors la partie A \ →
v est génératrice si et seulement si
22/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ).
Résultat
Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors
Toute partie E de V contenant A est encore génératrice.
− −
Si →
v ∈ A, alors la partie A \ →
v est génératrice si et seulement si
→
−
v est combinaison linéaire des autres éléments de A
22/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Définition
Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ).
Résultat
Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors
Toute partie E de V contenant A est encore génératrice.
− −
Si →
v ∈ A, alors la partie A \ →
v est génératrice si et seulement si
→
−
v est combinaison
linéaire
des
autres éléments de A, c’est-à-dire
→
→
−
−
v ∈ hA \ v i.
22/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A,
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
Dans un sens
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice,
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i.
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
−
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i. Si →
w ∈V
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
−
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i. Si →
w ∈ V alors
on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
−
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i. Si →
w ∈ V alors
on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est
génératrice)
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
−
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i. Si →
w ∈ V alors
on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est
génératrice) :
X →
→
−
w =
λi −
ei
i
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
−
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i. Si →
w ∈ V alors
on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est
génératrice) :
X →
→
−
w =
λi −
ei
−
et si →
v est l’un des ei ,
i
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
−
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i. Si →
w ∈ V alors
on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est
génératrice) :
X →
→
−
w =
λi −
ei
i
−
et si →
v est l’un des ei , on peut le remplacer par la combinaison
linéaire des autres éléments de A.
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
−
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i. Si →
w ∈ V alors
on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est
génératrice) :
X →
→
−
w =
λi −
ei
i
−
et si →
v est l’un des ei , on peut le remplacer par la combinaison
linéaire des autres éléments de A. Au total il reste bien une combili
des éléments de A
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
−
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i. Si →
w ∈ V alors
on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est
génératrice) :
X →
→
−
w =
λi −
ei
i
−
et si →
v est l’un des ei , on peut le remplacer par la combinaison
linéaire des autres éléments de A. Au total il reste bien une combili
−
v lui-même.
des éléments de A sauf →
23/23
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et
Algèbre linéaire génératrices
Démonstration.
Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de
A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A).
− Dans un sens : si A \ →
v est génératrice, il suit de la définition que
→
−
v est combili des autres éléments de A.
− −
−
Dans l’autre sens : supposons que →
v ∈ hA \ →
v i. Si →
w ∈ V alors
on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est
génératrice) :
X →
→
−
w =
λi −
ei
i
−
et si →
v est l’un des ei , on peut le remplacer par la combinaison
linéaire des autres éléments de A. Au total il reste bien une combili
−
v lui-même.
des éléments de A sauf →
23/23