Algèbre linéaire Espaces vectoriels 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la droite d’équation y = 2x dans le plan) 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété : la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété : la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété : la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient encore à V , 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété : la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient encore à V , et le produit de (x , 2x ) avec un réel λ 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété : la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient encore à V , et le produit de (x , 2x ) avec un réel λ est (λx , 2λx ), 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété : la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient encore à V , et le produit de (x , 2x ) avec un réel λ est (λx , 2λx ), donc également élément de V . 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Dans Rn , nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des nombres réels. Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles. Exemple Si on considère V , l’ensemble des fonctions de I (un intervalle) dans R, alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de I dans R, c’est-à-dire un élément de V ; le produit d’une telle fonction par un nombre réel est encore élément de V . De manière générale, si f et g sont deux telles fonctions, alors toute combinaison linéaire αf + βg (où α, β ∈ R) est encore dans V . Exemple L’ensemble V des points de la forme (x , 2x ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la droite d’équation y = 2x dans le plan) vérifie également cette propriété : la somme de (x , 2x ) et (x 0 , 2x 0 ) est (x + x 0 , 2(x + x 0 )), donc appartient encore à V , et le produit de (x , 2x ) avec un réel λ est (λx , 2λx ), donc également élément de V . 1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus. 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus. Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour x, y ∈ R 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus. Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus. Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si (x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R, 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus. Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si (x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R, il est par contre faux que (1, 0) + (0, 1) ∈ V 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus. Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si (x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R, il est par contre faux que (1, 0) + (0, 1) ∈ V . Pourtant chacun de ces deux termes est dans V . 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus. Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si (x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R, il est par contre faux que (1, 0) + (0, 1) ∈ V . Pourtant chacun de ces deux termes est dans V . Donc cet ensemble V ne vérifie pas la propriété. 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels On peut trouver des exemples d’ensembles pour lesquels ça ne marche pas... Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , x 2 ) pour x ∈ R (c’est-à-dire la parabole d’équation y = x 2 ) ne vérifie pas cette propriété de stabilité pour la somme et la multiplication par un scalaire. En effet, la somme de deux points de la parabole n’est pas toujours sur la parabole, et le produit d’un point par un réel n’est pas toujours sur la parabole non plus. Exemple L’ensemble V formé des points de la forme (x , y ) vérifiant xy = 0, pour x , y ∈ R ne vérifie pas la propriété. Bien que (λx , λy ) appartienne à V si (x , y ) ∈ V , quel que soit λ ∈ R, il est par contre faux que (1, 0) + (0, 1) ∈ V . Pourtant chacun de ces deux termes est dans V . Donc cet ensemble V ne vérifie pas la propriété. 2/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Informellement Un espace vectoriel 3/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Informellement Un espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut additionner les éléments, et les multiplier par un nombre réel 3/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Informellement Un espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut additionner les éléments, et les multiplier par un nombre réel sans sortir de cet ensemble. De manière générale, un ensemble dans lequel on peut prendre des combinaisons linéaires des éléments, pour obtenir de nouveaux éléments toujours dans cet ensemble. 3/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (Espace vectoriel) Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations. D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout − − − − couple → v ,→ w ∈ V un nouvel élément → v +→ w se trouvant encore dans V , et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu : 4/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (Espace vectoriel) Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations. D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout − − − − couple → v ,→ w ∈ V un nouvel élément → v +→ w se trouvant encore dans V , et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu : − − − − − − − − − (→ u +→ v )+→ w =→ u + (→ v +→ w ) ∀→ u ,→ v ,→ w ∈ V (associativité) ; 4/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (Espace vectoriel) Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations. D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout − − − − couple → v ,→ w ∈ V un nouvel élément → v +→ w se trouvant encore dans V , et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu : − − − − − − − − − (→ u +→ v )+→ w =→ u + (→ v +→ w ) ∀→ u ,→ v ,→ w ∈ V (associativité) ; → − − − − − − u +→ v =→ v +→ u ∀→ u ,→ v ∈ V (commutativité) ; 4/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (Espace vectoriel) Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations. D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout − − − − couple → v ,→ w ∈ V un nouvel élément → v +→ w se trouvant encore dans V , et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu : − − − − − − − − − (→ u +→ v )+→ w =→ u + (→ v +→ w ) ∀→ u ,→ v ,→ w ∈ V (associativité) ; → − − − − − − u +→ v =→ v +→ u ∀→ u ,→ v ∈ V (commutativité) ; → − il existe un élément neutre pour l’addition, càd un élément noté 0 tel → − → − − − − − que → u + 0 = 0 +→ u =→ u ∀→ u ∈ V (existence d’un élément neutre) ; 4/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (Espace vectoriel) Un espace vectoriel réel est un ensemble V muni de deux opérations. D’abord une addition, càd une opération (notée +) associant à tout − − − − couple → v ,→ w ∈ V un nouvel élément → v +→ w se trouvant encore dans V , et telle que les règles de calcul “habituelles” dans Rn aient lieu : − − − − − − − − − (→ u +→ v )+→ w =→ u + (→ v +→ w ) ∀→ u ,→ v ,→ w ∈ V (associativité) ; → − − − − − − u +→ v =→ v +→ u ∀→ u ,→ v ∈ V (commutativité) ; → − il existe un élément neutre pour l’addition, càd un élément noté 0 tel → − → − − − − − que → u + 0 = 0 +→ u =→ u ∀→ u ∈ V (existence d’un élément neutre) ; tout élément possède un inverse pour l’addition, càd pour tout → − → − − − − u ∈ V , il existe un élément → v ∈ V tel que → u +→ v = 0 4/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (suite) Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée − − multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et → u ,→ v ∈V : 5/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (suite) Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée − − multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et → u ,→ v ∈V : → − → − λ · (µ u ) = (λµ) · u ; 5/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (suite) Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée − − multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et → u ,→ v ∈V : → − → − λ · (µ u ) = (λµ) · u ; − − − − λ · (→ u +→ v )=λ·→ u +λ·→ v ; 5/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (suite) Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée − − multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et → u ,→ v ∈V : → − → − λ · (µ u ) = (λµ) · u ; − − − − λ · (→ u +→ v )=λ·→ u +λ·→ v ; → − → − → − (λ + µ) · u = λ · u + µ · u 5/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (suite) Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée − − multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et → u ,→ v ∈V : → − → − λ · (µ u ) = (λµ) · u ; − − − − λ · (→ u +→ v )=λ·→ u +λ·→ v ; → − → − → − (λ + µ) · u = λ · u + µ · u − − 1·→ u =→ u 5/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (suite) Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée − − multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et → u ,→ v ∈V : → − → − λ · (µ u ) = (λµ) · u ; − − − − λ · (→ u +→ v )=λ·→ u +λ·→ v ; → − → − → − (λ + µ) · u = λ · u + µ · u − − 1·→ u =→ u [Ici, 1 est le nombre réel 1]. 5/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Définition (suite) Ensuite, une application de R × V → V : (λ, v ) → λ · v appelée − − multiplication scalaire , telle que pour tout λ, µ ∈ R et → u ,→ v ∈V : → − → − λ · (µ u ) = (λµ) · u ; − − − − λ · (→ u +→ v )=λ·→ u +λ·→ v ; → − → − → − (λ + µ) · u = λ · u + µ · u − − 1·→ u =→ u [Ici, 1 est le nombre réel 1]. 5/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel) 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel) L’ensemble V muni de la loi d’addition forme 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel) L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en mathématique un groupe. 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel) L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui vallent la peine d’être étudiés 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel) L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications pratiques) 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel) L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications pratiques). Notamment les groupes de symétrie, càd l’ensemble de toutes les transformations laissant un certain objet (souvent) géométrique invariant 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel) L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications pratiques). Notamment les groupes de symétrie, càd l’ensemble de toutes les transformations laissant un certain objet (souvent) géométrique invariant (càd telles qu’on retrouve le même objet après transformation). 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel) L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications pratiques). Notamment les groupes de symétrie, càd l’ensemble de toutes les transformations laissant un certain objet (souvent) géométrique invariant (càd telles qu’on retrouve le même objet après transformation). La loi concernée dans ce cas est alors la loi de composition ◦ des transformations. 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On note (V , +, ·) un espace vectoriel dont les opérations sont + et ·. Souvent, on − − note λ→ v au lieu de λ · → v : le point multiplicatif est omis. Remarque Il ne faut pas confondre multiplication scalaire (ou par un scalaire) qui fait intervenir un vecteur avec un nombre réel (scalaire), avec le produit scalaire, qui lui fait intervenir deux vecteurs (mais dont le résultat est un scalaire, puisque c’est un nombre réel) L’ensemble V muni de la loi d’addition forme ce qu’on appelle en mathématique un groupe.Il y a d’autres exemples de groupes qui vallent la peine d’être étudiés (également dans des applications pratiques). Notamment les groupes de symétrie, càd l’ensemble de toutes les transformations laissant un certain objet (souvent) géométrique invariant (càd telles qu’on retrouve le même objet après transformation). La loi concernée dans ce cas est alors la loi de composition ◦ des transformations. 6/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Remarque Si on remplace R et « réel » respectivement par C et « complexe » 7/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Remarque Si on remplace R et « réel » respectivement par C et « complexe », on obtient la notion d’espace vectoriel complexe. 7/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Remarque Si on remplace R et « réel » respectivement par C et « complexe », on obtient la notion d’espace vectoriel complexe. Dans tous les cas, cet ensemble (R ou C) 7/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Remarque Si on remplace R et « réel » respectivement par C et « complexe », on obtient la notion d’espace vectoriel complexe. Dans tous les cas, cet ensemble (R ou C) est appelé l’ensemble des scalaires. 7/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Exemple L’espace Rn est un espace vectoriel réel. 8/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Exemple L’espace Rn est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel. 8/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Exemple L’espace Rn est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel 8/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Exemple L’espace Rn est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on peut certes additionner des rationnels entre eux, 8/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Exemple L’espace Rn est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on peut certes additionner des rationnels entre eux, mais le produit d’un rationnel par un réel n’est en général pas un rationnel. 8/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Exemple L’espace Rn est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on peut certes additionner des rationnels entre eux, mais le produit d’un rationnel par un réel n’est en général pas un rationnel. Exemple L’ensemble C est un espace vectoriel réel 8/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Exemple L’espace Rn est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on peut certes additionner des rationnels entre eux, mais le produit d’un rationnel par un réel n’est en général pas un rationnel. Exemple L’ensemble C est un espace vectoriel réel, mais peut aussi être vu comme un espace vectoriel complexe. 8/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Exemple L’espace Rn est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble de toutes les fonctions R → R est un espace vectoriel réel. Exemple L’ensemble des nombres rationnels n’est pas un espace vectoriel réel : on peut certes additionner des rationnels entre eux, mais le produit d’un rationnel par un réel n’est en général pas un rationnel. Exemple L’ensemble C est un espace vectoriel réel, mais peut aussi être vu comme un espace vectoriel complexe. 8/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse pour l’addition) 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ; 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ; Le réel 1 multiplié par un vecteur 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ; Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ; 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ; Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ; − − − − Si → w +→ v =→ u +→ v 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ; Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ; − − − − − − Si → w +→ v =→ u +→ v alors → w =→ u ; 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ; Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ; − − − − − − Si → w +→ v =→ u +→ v alors → w =→ u ; − Si λ→ v = 0, alors 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ; Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ; − − − − − − Si → w +→ v =→ u +→ v alors → w =→ u ; → − → − → − Si λ v = 0, alors λ = 0 ou v = 0 ; 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Résultat − − Pour → v ,→ w des vecteurs d’un espace vectoriel réel (ou complexe) V : → − Le réel 0 multiplié par n’importe quel vecteur donne le vecteur 0 ; − − Le réel −1 multiplié par un vecteur → v donne l’opposé de → v (linverse − − v = −→ v ; pour l’addition) : (−1)→ N’importe quel réel multiplié par le vecteur nul donne le vecteur nul ; Le réel 1 multiplié par un vecteur donne ce vecteur ; − − − − − − Si → w +→ v =→ u +→ v alors → w =→ u ; → − → − → − Si λ v = 0, alors λ = 0 ou v = 0 ; 9/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : − 0→ v 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 où le symbole 0 représente le réel nul 0 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. La preuve du second point tient en une autre ligne : 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. La preuve du second point tient en une autre ligne : → − 0 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. La preuve du second point tient en une autre ligne : → − − v 0 = (1 + (−1))→ 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. La preuve du second point tient en une autre ligne : → − − − − v =→ v + (−1)→ v 0 = (1 + (−1))→ 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. La preuve du second point tient en une autre ligne : → − − − − v =→ v + (−1)→ v 0 = (1 + (−1))→ 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. La preuve du second point tient en une autre ligne : → − − − − v =→ v + (−1)→ v 0 = (1 + (−1))→ − − Ceci prouve que (−1)→ v est un vecteur qui, additionné à → v 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. La preuve du second point tient en une autre ligne : → − − − − v =→ v + (−1)→ v 0 = (1 + (−1))→ − − Ceci prouve que (−1)→ v est un vecteur qui, additionné à → v , donne le → − vecteur 0 . 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. La preuve du second point tient en une autre ligne : → − − − − v =→ v + (−1)→ v 0 = (1 + (−1))→ − − Ceci prouve que (−1)→ v est un vecteur qui, additionné à → v , donne le → − → − vecteur 0 . C’est l’exacte définition d’être l’opposé de v . 10/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels Démonstration. La preuve du premier point tient en une ligne : → − − − − − − − − − 0→ v = 0→ v +0→ v +(−(0→ v )) = (0+0)→ v +(−(0→ v )) = 0→ v +(−(0→ v )) = 0 → − où le symbole 0 représente le réel nul 0, et 0 représente le vecteur nul. La preuve du second point tient en une autre ligne : → − − − − v =→ v + (−1)→ v 0 = (1 + (−1))→ − − Ceci prouve que (−1)→ v est un vecteur qui, additionné à → v , donne le → − → − vecteur 0 . C’est l’exacte définition d’être l’opposé de v . La preuve de chacun des autres points est laissée en exercice 10/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V tel que 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S). 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S). La preuve est purement calculatoire. 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S). La preuve est purement calculatoire. Démonstration. La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que la somme d’éléments de S est encore dans S. 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S). La preuve est purement calculatoire. Démonstration. La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0 est bien une application du type S × S → S. 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S). La preuve est purement calculatoire. Démonstration. La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0 est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en prenant λ = 1), nous avons bien cela : 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S). La preuve est purement calculatoire. Démonstration. La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0 est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en − − x +→ y ∈ S. prenant λ = 1), nous avons bien cela : → Pour vérifier que (S, +) satisfait les autres propriétés, il faut : 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S). La preuve est purement calculatoire. Démonstration. La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0 est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en − − x +→ y ∈ S. prenant λ = 1), nous avons bien cela : → Pour vérifier que (S, +) satisfait les autres propriétés, il faut : − − − − − − vérifier l’associativité. Mais comme (→ x +→ y )+→ z =→ x + (→ y +→ z) est vraie sur V , c’est en particulier vrai si on se restreint à S ! 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S). La preuve est purement calculatoire. Démonstration. La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0 est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en − − x +→ y ∈ S. prenant λ = 1), nous avons bien cela : → Pour vérifier que (S, +) satisfait les autres propriétés, il faut : − − − − − − vérifier l’associativité. Mais comme (→ x +→ y )+→ z =→ x + (→ y +→ z) est vraie sur V , c’est en particulier vrai si on se restreint à S ! vérifier la commutativité. Cela se fait comme l’associativité. 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Résultat Si (V , +, ·) est un espace vectoriel réel, et S est un sous-ensemble de V − − − − x ,→ y ∈ S, → x + λ→ y ∈ S. tel que pour tout λ ∈ R et → Alors (S, +, ·) est un espace vectoriel (en restreignant les opérations à S). La preuve est purement calculatoire. Démonstration. La première chose à vérifier est que + est une loi interne, c’est-à-dire que la somme d’éléments de S est encore dans S. En d’autres termes, que +0 est bien une application du type S × S → S.Or d’après l’hypothèse (et en − − x +→ y ∈ S. prenant λ = 1), nous avons bien cela : → Pour vérifier que (S, +) satisfait les autres propriétés, il faut : − − − − − − vérifier l’associativité. Mais comme (→ x +→ y )+→ z =→ x + (→ y +→ z) est vraie sur V , c’est en particulier vrai si on se restreint à S ! vérifier la commutativité. Cela se fait comme l’associativité. 11/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : vérifier l’existence d’un neutre. 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le neutre de V ) 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le neutre de V ) est dans S : 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le − − neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre → x =→ y et λ = −1 dans l’hypothèse, 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le − − neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre → x =→ y et λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que → − → − − − − x + λ→ y =→ x −→ x = 0 est effectivement dans S. 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le − − neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre → x =→ y et λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que → − → − − − − x + λ→ y =→ x −→ x = 0 est effectivement dans S. vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour l’addition). 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le − − neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre → x =→ y et λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que → − → − − − − x + λ→ y =→ x −→ x = 0 est effectivement dans S. vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour → − − l’addition). Il suffit de prendre → x = 0 et λ = −1, 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le − − neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre → x =→ y et λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que → − → − − − − x + λ→ y =→ x −→ x = 0 est effectivement dans S. vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour → − − − l’addition). Il suffit de prendre → x = 0 et λ = −1, de sorte que −→ y → − est dans S pour tout y ∈ S, donc l’opposé est bien dans S Vérifions ensuite que multiplier un élément de S par un réel reste dans S. 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le − − neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre → x =→ y et λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que → − → − − − − x + λ→ y =→ x −→ x = 0 est effectivement dans S. vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour → − − − l’addition). Il suffit de prendre → x = 0 et λ = −1, de sorte que −→ y → − est dans S pour tout y ∈ S, donc l’opposé est bien dans S Vérifions ensuite que multiplier un élément de S par un réel reste dans S. → − − Or d’après l’hypothèse, en prenant cette fois → x = 0, 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le − − neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre → x =→ y et λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que → − → − − − − x + λ→ y =→ x −→ x = 0 est effectivement dans S. vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour → − − − l’addition). Il suffit de prendre → x = 0 et λ = −1, de sorte que −→ y → − est dans S pour tout y ∈ S, donc l’opposé est bien dans S Vérifions ensuite que multiplier un élément de S par un réel reste dans S. → − − − y ∈S Or d’après l’hypothèse, en prenant cette fois → x = 0 , nous avons λ→ → − pour tout réel λ et tout y ∈ S. 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Suite. Pour vérifier que (S, +) est un groupe commutatif, il faut (suite) : → − vérifier l’existence d’un neutre. Il suffit en fait de vérifier que 0 (le − − neutre de V ) est dans S : pour cela il suffit de prendre → x =→ y et λ = −1 dans l’hypothèse, pour en déduire que → − → − − − − x + λ→ y =→ x −→ x = 0 est effectivement dans S. vérifier que chaque élément admet un opposé (un inverse pour → − − − l’addition). Il suffit de prendre → x = 0 et λ = −1, de sorte que −→ y → − est dans S pour tout y ∈ S, donc l’opposé est bien dans S Vérifions ensuite que multiplier un élément de S par un réel reste dans S. → − − − y ∈S Or d’après l’hypothèse, en prenant cette fois → x = 0 , nous avons λ→ → − pour tout réel λ et tout y ∈ S. Donc cela est vérifié. La vérification des autres identités requises pour un espace vectoriel se fait comme pour l’associativité et la commutativité de l’addition, en utilisant le fait que les propriétés sont vraies car V est lui-même un espace vectoriel. 12/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, alors V est un sous-espace vectoriel de lui-même. 13/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace → − vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V . 13/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace → − vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V . Exemple L’ensemble des solutions (x1 , x2 , . . . , xn ) d’un système linéaire homogène 13/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace → − vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V . Exemple L’ensemble des solutions (x1 , x2 , . . . , xn ) d’un système linéaire homogène a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 .. .. . . a x + a x + ··· + a x =0 k1 1 k2 2 kn n 13/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace → − vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V . Exemple L’ensemble des solutions (x1 , x2 , . . . , xn ) d’un système linéaire homogène a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 .. .. . . a x + a x + ··· + a x =0 k1 1 k2 2 kn n est un sous-espace vectoriel de Rn . 13/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, alorsn V oest un sous-espace → − vectoriel de lui-même. De même, l’ensemble 0 formé uniquement du vecteur nul est un sous-espace vectoriel de V . Exemple L’ensemble des solutions (x1 , x2 , . . . , xn ) d’un système linéaire homogène a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 .. .. . . a x + a x + ··· + a x =0 k1 1 k2 2 kn n est un sous-espace vectoriel de Rn . 13/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Considérons une équation différentielle linéaire homogène : 14/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Considérons une équation différentielle linéaire homogène : an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0 14/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Considérons une équation différentielle linéaire homogène : an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0 Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un même intervalle I, 14/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Considérons une équation différentielle linéaire homogène : an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0 Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un même intervalle I, alors u + λv est également solution pour toute valeur de λ ∈ R. 14/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Considérons une équation différentielle linéaire homogène : an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0 Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un même intervalle I, alors u + λv est également solution pour toute valeur de λ ∈ R. En d’autres termes, l’ensemble des solutions de l’équation est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de I → R. 14/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Considérons une équation différentielle linéaire homogène : an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0 Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un même intervalle I, alors u + λv est également solution pour toute valeur de λ ∈ R. En d’autres termes, l’ensemble des solutions de l’équation est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de I → R. Résultat Si W et W 0 sont deux sous-espaces vectoriels de V , 14/23 Algèbre linéaire Sous-espaces vectoriels Exemple Considérons une équation différentielle linéaire homogène : an y n0 + an−1 y (n−1)0 + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0 Si deux fonctions u et v sont des solutions de cette EDO définies sur un même intervalle I, alors u + λv est également solution pour toute valeur de λ ∈ R. En d’autres termes, l’ensemble des solutions de l’équation est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de I → R. Résultat Si W et W 0 sont deux sous-espaces vectoriels de V , alors l’intersection W ∩ W 0 est encore un sous-espace vectoriel de V . 14/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0} 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − vecteur non-nul → v. 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − v. vecteur non-nul → v . Il contient donc aussi tous les multiples réels de → 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − v. vecteur non-nul → v . Il contient donc aussi tous les multiples réels de → ⇒ 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − n ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − n ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les espaces de cette forme sont appelées des droites. 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − n ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les espaces de cette forme sont appelées des droites. − Si S contient en outre un autre vecteur → w, 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − n ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les espaces de cette forme sont appelées des droites. − Si S contient en outre un autre vecteur → w , qui n’est pas un multiple de → − v, 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − n ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les espaces de cette forme sont appelées des droites. − Si S contient en outre un autre vecteur → w , qui n’est pas un multiple de − − → − v + µ→ w pour tous réels λ, µ ∈ R. v , alors S contient forcément λ→ 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − n ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les espaces de cette forme sont appelées des droites. − Si S contient en outre un autre vecteur → w , qui n’est pas un multiple de − − → − v + µ→ w pour tous réels λ, µ ∈ R. v , alors S contient forcément λ→ ⇒ 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − n ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les espaces de cette forme sont appelées des droites. − Si S contient en outre un autre vecteur → w , qui n’est pas un multiple de → − → − → − forcément λ v + µ w pour tous réels λ, µ ∈ R. v , alors S contient − − v + µ→ w t.q. µ, λ ∈ R ⇒ L’ensemble λ→ 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − n ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les espaces de cette forme sont appelées des droites. − Si S contient en outre un autre vecteur → w , qui n’est pas un multiple de → − → − → − forcément λ v + µ w pour tous réels λ, µ ∈ R. v , alors S contient − − v + µ→ w t.q. µ, λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de ⇒ L’ensemble λ→ Rn 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Rn est notre exemple « canonique » d’espace vectoriel. Plus particulièrement pour n = 2 et n = 3. Sous-espaces vectoriels de Rn Si S ⊂ Rn est un sous-espace vectoriel différent de {0}, alors il contient un − − aussi tous les multiples réels de → v. vecteur non-nul→ v . Il contient donc → − n ⇒ L’ensemble λ v t.q. λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de R . Les espaces de cette forme sont appelées des droites. − Si S contient en outre un autre vecteur → w , qui n’est pas un multiple de → − → − → − forcément λ v + µ w pour tous réels λ, µ ∈ R. v , alors S contient − − v + µ→ w t.q. µ, λ ∈ R est un sous-espace vectoriel de ⇒ L’ensemble λ→ Rn . Les espaces de cette forme sont appelés des plans. 15/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}. 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}. S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}. S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ) 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}. S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément de S 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}. S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 . 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}. S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 . Nous avons donc « un plan » de solutions. 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}. S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 . Nous avons donc « un plan » de solutions. On voit dans l’exemple ci-dessus que certains sous-espaces vectoriels 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}. S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 . Nous avons donc « un plan » de solutions. On voit dans l’exemple ci-dessus que certains sous-espaces vectoriels peuvent se décrire comme un ensemble de combinaisons linéraires de vecteurs. 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple L’ensemble S des solutions de l’équation différentielle y 00 − y = 0 définies sur R est égal à {A exp (x ) + B exp (−x )|A, B ∈ R}. S est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R. Si on note y1 (x ) = exp (x ) et y2 (x ) = exp (−x ), on voit que chaque élément de S s’écrit sous la forme Ay1 + By2 . Nous avons donc « un plan » de solutions. On voit dans l’exemple ci-dessus que certains sous-espaces vectoriels peuvent se décrire comme un ensemble de combinaisons linéraires de vecteurs. Est-ce toujours le cas ? 16/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition (Combinaison linéaire) Si A ⊂ V , une combinaison linéaire 17/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition (Combinaison linéaire) Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) 17/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition (Combinaison linéaire) Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A 17/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition (Combinaison linéaire) Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A est une somme de la forme − − uk u1 + · · · + λ k → λ1 → pour un certain k ∈ N 17/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition (Combinaison linéaire) Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A est une somme de la forme − − uk u1 + · · · + λ k → λ1 → pour un certain k ∈ N et pour des scalaires λ1 , . . . , λk . 17/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition (Combinaison linéaire) Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A est une somme de la forme − − uk u1 + · · · + λ k → λ1 → − ui sont des pour un certain k ∈ N et pour des scalaires λ1 , . . . , λk . (Les → éléments distincts de A.) 17/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition (Combinaison linéaire) Si A ⊂ V , une combinaison linéaire (ou combili) des éléments de A est une somme de la forme − − uk u1 + · · · + λ k → λ1 → − ui sont des pour un certain k ∈ N et pour des scalaires λ1 , . . . , λk . (Les → éléments distincts de A.) Cette somme s’écrit encore k X − λj → uj . j=1 17/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple − Tout vecteur → w = (x , y ) ∈ R2 18/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple − Tout vecteur → w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1). 18/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple − Tout vecteur → w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1). → − w = x (1, 0) + y (0, 1). 18/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple − Tout vecteur → w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1). → − w = x (1, 0) + y (0, 1). Notons que, de plus, 18/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple − Tout vecteur → w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1). → − w = x (1, 0) + y (0, 1). Notons que, de plus, cette combinaison linéaire est unique : 18/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple − Tout vecteur → w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1). → − w = x (1, 0) + y (0, 1). Notons que, de plus, cette combinaison linéaire est unique : Si → − w = u(1, 0) + v (0, 1) 18/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple − Tout vecteur → w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1). → − w = x (1, 0) + y (0, 1). Notons que, de plus, cette combinaison linéaire est unique : Si → − w = u(1, 0) + v (0, 1) cela implique : u = x 18/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple − Tout vecteur → w = (x , y ) ∈ R2 est combinaison linéaire de (1, 0) et (0, 1). → − w = x (1, 0) + y (0, 1). Notons que, de plus, cette combinaison linéaire est unique : Si → − w = u(1, 0) + v (0, 1) cela implique : u = x et v = y . 18/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à valeurs dans R. 19/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas. 19/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas. La fonction f définie par 19/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas. La fonction f définie par f (x ) = π sin(x ) − cos(x ) 19/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas. La fonction f définie par f (x ) = π sin(x ) − cos(x ) est une combinaison linéaire de sin et cos. 19/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas. La fonction f définie par f (x ) = π sin(x ) − cos(x ) est une combinaison linéaire de sin et cos. La fonction g définie par g(x ) = π sin(x ) − cos(2x ) = 19/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas. La fonction f définie par f (x ) = π sin(x ) − cos(x ) est une combinaison linéaire de sin et cos. La fonction g définie par g(x ) = π sin(x ) − cos(2x ) = π sin(x ) − cos(x ) cos(x ) + sin(x ) sin(x ) 19/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Exemple Soit V l’ensemble des fonctions périodiques de période 2π définie sur R à valeurs dans R. Les fonctions cos et sin sont dans V , mais tan n’y est pas. La fonction f définie par f (x ) = π sin(x ) − cos(x ) est une combinaison linéaire de sin et cos. La fonction g définie par g(x ) = π sin(x ) − cos(2x ) = π sin(x ) − cos(x ) cos(x ) + sin(x ) sin(x ) n’est pas une combinaison linéaire de sin et cos. 19/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V , on note hAi 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. Remarque En général nous considérons des parties A finies, 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. Remarque En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de considérer des parties infinies. 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. Remarque En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de considérer des parties infinies. Résultat L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A. 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. Remarque En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de considérer des parties infinies. Résultat L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A. De plus, 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. Remarque En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de considérer des parties infinies. Résultat L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A. De plus, si W est un sous-espace vectoriel de V contenant A, 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. Remarque En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de considérer des parties infinies. Résultat L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A. De plus, si W est un sous-espace vectoriel de V contenant A, alors hAi ⊂ W . 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Si A ⊂ V , on note hAi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. Remarque En général nous considérons des parties A finies, mais rien n’empêche de considérer des parties infinies. Résultat L’ensemble hAi est un sous-espace vectoriel de V contenant A. De plus, si W est un sous-espace vectoriel de V contenant A, alors hAi ⊂ W . La preuve est laissée comme exercice. 20/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est 21/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit » sous-espace vectoriel de V contenant A. 21/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit » sous-espace vectoriel de V contenant A. On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V 21/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit » sous-espace vectoriel de V contenant A. On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V engendré par A. 21/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit » sous-espace vectoriel de V contenant A. On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V engendré par A. Comme l’intersection d’espaces vectoriels est encore un espace vectoriel, nous avons : 21/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit » sous-espace vectoriel de V contenant A. On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V engendré par A. Comme l’intersection d’espaces vectoriels est encore un espace vectoriel, nous avons : Résultat hAi est obtenu comme l’intersection de 21/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices La proposition ci-dessus se résume en disant que hAi est « le plus petit » sous-espace vectoriel de V contenant A. On dit aussi que hAi est le sous-espace vectoriel de V engendré par A. Comme l’intersection d’espaces vectoriels est encore un espace vectoriel, nous avons : Résultat hAi est obtenu comme l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de V contenant A. 21/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Lorsque hAi = V 22/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ). Résultat Si A ⊂ V est une partie génératrice, 22/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ). Résultat Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors Toute partie E de V contenant A 22/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ). Résultat Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors Toute partie E de V contenant A est encore génératrice. 22/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ). Résultat Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors Toute partie E de V contenant A est encore génératrice. − − Si → v ∈ A, alors la partie A \ → v 22/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ). Résultat Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors Toute partie E de V contenant A est encore génératrice. − − Si → v ∈ A, alors la partie A \ → v est génératrice si et seulement si 22/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ). Résultat Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors Toute partie E de V contenant A est encore génératrice. − − Si → v ∈ A, alors la partie A \ → v est génératrice si et seulement si → − v est combinaison linéaire des autres éléments de A 22/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Définition Lorsque hAi = V , on dit que A est une partie génératrice (de V ). Résultat Si A ⊂ V est une partie génératrice, alors Toute partie E de V contenant A est encore génératrice. − − Si → v ∈ A, alors la partie A \ → v est génératrice si et seulement si → − v est combinaison linéaire des autres éléments de A, c’est-à-dire → → − − v ∈ hA \ v i. 22/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). Dans un sens 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. Si → w ∈V 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. Si → w ∈ V alors on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. Si → w ∈ V alors on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est génératrice) 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. Si → w ∈ V alors on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est génératrice) : X → → − w = λi − ei i 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. Si → w ∈ V alors on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est génératrice) : X → → − w = λi − ei − et si → v est l’un des ei , i 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. Si → w ∈ V alors on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est génératrice) : X → → − w = λi − ei i − et si → v est l’un des ei , on peut le remplacer par la combinaison linéaire des autres éléments de A. 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. Si → w ∈ V alors on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est génératrice) : X → → − w = λi − ei i − et si → v est l’un des ei , on peut le remplacer par la combinaison linéaire des autres éléments de A. Au total il reste bien une combili des éléments de A 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. Si → w ∈ V alors on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est génératrice) : X → → − w = λi − ei i − et si → v est l’un des ei , on peut le remplacer par la combinaison linéaire des autres éléments de A. Au total il reste bien une combili − v lui-même. des éléments de A sauf → 23/23 Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et Algèbre linéaire génératrices Démonstration. Le premier point est clair : si tout élément est combili des éléments de A, il est en particulier combili des éléments de E (qui contient A). − Dans un sens : si A \ → v est génératrice, il suit de la définition que → − v est combili des autres éléments de A. − − − Dans l’autre sens : supposons que → v ∈ hA \ → v i. Si → w ∈ V alors on peut l’écrire sous forme d’une combili des éléments de A (car A est génératrice) : X → → − w = λi − ei i − et si → v est l’un des ei , on peut le remplacer par la combinaison linéaire des autres éléments de A. Au total il reste bien une combili − v lui-même. des éléments de A sauf → 23/23