1/23 Algèbre linéaire Espaces vectoriels

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Algèbre linéaire Espaces vectoriels
Dans Rn, nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V, l’ensemble des fonctions de I(un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de Idans
R, c’est-à-dire un élément de V; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V.
De manière générale, si fet gsont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf+βg(où α, β ∈R) est encore dans V.
Exemple
L’ensemble Vdes points de la forme (x,2x)pour x∈R(c’est-à-dire la
droite d’équation y=2xdans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x,2x)et (x0,2x0)est (x+x0,2(x+x0)), donc appartient
encore à V, et le produit de (x,2x)avec un réel λest (λx,2λx), donc
également élément de V.

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Dans Rn, nous pouvons additionner des éléments
, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V, l’ensemble des fonctions de I(un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de Idans
R, c’est-à-dire un élément de V; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V.
De manière générale, si fet gsont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf+βg(où α, β ∈R) est encore dans V.
Exemple
L’ensemble Vdes points de la forme (x,2x)pour x∈R(c’est-à-dire la
droite d’équation y=2xdans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x,2x)et (x0,2x0)est (x+x0,2(x+x0)), donc appartient
encore à V, et le produit de (x,2x)avec un réel λest (λx,2λx), donc
également élément de V.

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Dans Rn, nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V, l’ensemble des fonctions de I(un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de Idans
R, c’est-à-dire un élément de V; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V.
De manière générale, si fet gsont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf+βg(où α, β ∈R) est encore dans V.
Exemple
L’ensemble Vdes points de la forme (x,2x)pour x∈R(c’est-à-dire la
droite d’équation y=2xdans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x,2x)et (x0,2x0)est (x+x0,2(x+x0)), donc appartient
encore à V, et le produit de (x,2x)avec un réel λest (λx,2λx), donc
également élément de V.

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Dans Rn, nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V, l’ensemble des fonctions de I(un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de Idans
R, c’est-à-dire un élément de V; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V.
De manière générale, si fet gsont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf+βg(où α, β ∈R) est encore dans V.
Exemple
L’ensemble Vdes points de la forme (x,2x)pour x∈R(c’est-à-dire la
droite d’équation y=2xdans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x,2x)et (x0,2x0)est (x+x0,2(x+x0)), donc appartient
encore à V, et le produit de (x,2x)avec un réel λest (λx,2λx), donc
également élément de V.

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Algèbre linéaire Espaces vectoriels
Dans Rn, nous pouvons additionner des éléments, et les multiplier par des
nombres réels.
Ces opérations sont également disponibles sur d’autres ensembles.
Exemple
Si on considère V
, l’ensemble des fonctions de I(un intervalle) dans R,
alors la somme de deux telles fonctions est encore une fonction de Idans
R, c’est-à-dire un élément de V; le produit d’une telle fonction par un
nombre réel est encore élément de V.
De manière générale, si fet gsont deux telles fonctions, alors toute
combinaison linéaire αf+βg(où α, β ∈R) est encore dans V.
Exemple
L’ensemble Vdes points de la forme (x,2x)pour x∈R(c’est-à-dire la
droite d’équation y=2xdans le plan) vérifie également cette propriété :
la somme de (x,2x)et (x0,2x0)est (x+x0,2(x+x0)), donc appartient
encore à V, et le produit de (x,2x)avec un réel λest (λx,2λx), donc
également élément de V.