Topologies et compactologies

PUBLICATIONS DU DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE LYON
HENRI BUCHWALTER
Topologies et compactologies
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1969, tome 6, fascicule 2
p. 1-74
<http://www.numdam.org/item?id=PDML_1969__6_2_1_0>
© Université de Lyon, 1969, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la série « Publications du Département de mathéma-
tiques de Lyon » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation
(http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression
systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression
de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/

Publications du
Département de 1
Mathématiques
Lyon 1969 t. 6-2
TDPOLOGIES ET COrPACTDLOGIES
par Henri BUCHWALTER
On étudie une nouvelle structure, celle des espaces compactelogiques, qui
sont des ensembles munis d'une famille de parties K sur lesquelles existent des
topologies compactes. Introduite pour la première fois par L. Waelbroeck (Wl et
W2) dans un cadre vectoriel pour établir un théorème de dualité en caractérisant
la catégorie duale de celle des ele complets, cette structure est en réalité
susceptible d'une extension assez large. En fait la dualité échange objets topo-
logiques (espaces topologiques» ele, algèbres localement convexes) et objets
compactologiques (espaces compactologiques, espaces compactologlques convexes,
algèbrei compactologiques).
Dans le chapitre 1 on associe à chaque espace compactologique X l'algèbre
localement convexe complète C(X) de ses fonctions ••continues* (c'est-à-dire
continues sur chaque "compact" de X) et à chaque algèbre localement convexe
commutative et unitaire A l'espace compactologique G(A) de ses caractères. Le
point nouveau ici est précisément atteint lorsqu'on structure le spectre de A
en espace compactologique et non pas, comme d'habitude, en espace topologique.
Dans cet esprit on caractérise les espaces conrpactologiques (réguliers) et les
algèbres localement convexes (limites projectives de C*-algèbres commutatives
unitaires) qui sont des objets duaux.
Dans le chapitre 2 on examine les relations directes (sans l'intermédiaire
de la dualité) qui existent entre espaces topologiques et espaces compactologiques.

Topologies et compactologies
2
On met en place, entre la catégorie X des espaces topologiques fonctionnellement
séparés et la catégorie £ £ des espaces compactologiques réguliers, deux foncteurs
c : Ç R-»T S et y s T S-> Ç R adjoints l'un de l'autre et tels que cyc » c et
ycy » y. Ce qui permet de retrouver la définition d'une classe particulière d'espaces
topologiques : les espaces de Kelley ou k-espaces, largement étudiée dans la litté-
rature.
L'introduction des structures vectorielles se fait au chapitre 3 de façon
sommaire. On retrouve là aussi deux aspects complémentaires. D'une part l'étude
des questions de dualité nous ramène évidemment au théorème de BanachrGrothendieck -
Waelbroeck % nous montrons donc essentiellement que ce résultat s'insère parfai-
tement dans la théorie générale esquissée ici. D'autre part une étude directe,
sous-tendue par l'introduction des foncteurs c et y , nous permet d'introduire,
parallèlement à la situation topologique, une classe nouvelle d'espaces loca-
lement convexes : les espaces de Kelley. La partie 3-4 du chapitre est intégra-
lement consacrée aux propriétés de ces espaces de Kelley. Oh montre en particulier
qu'ils sont stables par passage aux limites inductives séparées quelconques et
par passage aux produits quelconques. Ils ont donc un comportement analogue à
celui des espaces tonnelés ou infratonnelés et meilleur que celui des espaces
bornologiques. D'ailleurs tout espace ultrabornologique est un espace de Kelley
puisqu'il en est de même de tout espace de Banach. Il ne semble pas, à première
vue, que tout espace norme soit un espace de Kelley.
Le chapitre 4 est véritablement le plus importante En dégageant la notion
d'algèbre conpactologique convexe (acc) A, dont le spectre G(A) (espace des
caractères compactologiques de À) est structuré en espace topologique complètement
régulier complet pour une structure uniforme compatible avec sa dualité,on
aborde effectivement le coeur du sujet. Car il est loisible de structurer

Topologies et compactologies
3
l'algèbre CCT3 de toutes les fonctions continues sur un espace topologique T,
non pas en algèbre localement convexe dont la topologie est plus ou moins bien
adaptée à celle de Tp mais en algèbre compactologique convexe par la considération
de ses parties "compactes" qui sont les parties équicontinues simplement fermées
et simplement bornées0 II est alors extrêmement tentant de chercher à comparer
l'espace T et l'espace complètement régulier GC(T) des caractères compactologiques
de C(T)0 Ce point de vue (dualité entre topologie et compactologie) justifie une
présentation nouvelle des propriétés des espaces de fonctions continues sur les
espaces complètement réguliers. On sait que jusqu'à maintenant le seul point de
vue assez général est algébrique, et c'est celui choisi par Gillman-Jerison (Gl)
où l'espace C(T) est étudié en tant qu'anneau ordonné, les fonctions étant réelles.
Il conduit d'ailleurs très vite à la théorie de Hewitt des Q-espaces (où "real-
compact spaces" selon la terminologie anglo-saxonne) que nous appelons ici, en
suivant Bourbaki, espaces replets. L'introduction de la compactologie équicon-
tinue sur C(T) amène alors à la considération d'espaces complètement régulieis
dits compactologiquement replets (ou c-replets) pour lesquels T est exactement,
modulo la transformation de 01racP l'espace des caractères compactologiques
de C(T)0 Les propriétés de ces espaces sont extrêmement voisines de celles
des espaces replets» D'ailleurs tout espace replet est c-replet. Néanmoins une
différence subsiste puisque la classe des espaces c-replets est plus stable que
celle des espaces replets : toute limite projectlve d'espaces c-replets est c-
replète de même que toute somme topologique de tels espaces. De plus on démontre
explicitement qu'un espace paracompact quelconque est c-replet alors qu'il
n'est replet que sous certaines conditions exprimées par C0 Wenjen dans (W4).

Topologies et compactologies
4
La comparaison précise entre répletion et répletion compactologique se réalise
au niveau d'une conjecture de la théorie des ensembles0 Car en effet l'existence
d'un espace c-replet qui ne soit pas replet équivaut exactement à l'existence
d'un cardinal mesurable (ou 2-mesurable selon G. Choquet (Cl)h et il paraît
probable actuellement que l'axiome d'existence d'un tel cardinal, lié à l'axiome
d'existence d'un cardinal fortement inaccessible, est indépendant des axiomes
habituels (y compris l'axiome du choix) de la théorie des ensembles. Sur le
plan pratique l'introduction des espaces c—replets et du foncteur 0 de répletion
compactologique autorise bien souvent l'élimination des "conditions cardinales"
qui grèvent habituellement tout résultat sur les espaces replets ou sur le fonc-
teur u de répletion j un exemple intéressant est proposé dans ce sens par
R. Pupier CP3).
Un aspect inattendu de la théorie de la répletion compactologique a été,
dans le même temps, mis en évidence par R, Pupier qui s'est aperçu que, sur un
espace complètement régulier T, la structure uniforme de la convergence "compacte"
sur C(T) (ou pour être plus clair, de la convergence équicontinue) était exactement
la structure uniforme universelle de T. Ce résultat est intéressant à plus d'un
titre« Tout d'abord il réhabilite la structure uniforme universelle et fournit
quelques moyens pour l'étudier grâce à la caractérisation concrète obtenue0 De
plus il montre que les espaces c-replets sont exactement les espaces (universellement)
complets, ce qui illustre le phénomène général rencontré dans tout l'article,
identifiant le "bidual" d'un objet topologique à un complété convenable de cet
objet i il n'est que de comparer les énoncés (4,5.4), (3.2.2) et (1.4.4). Enfin
il permet des analogies (approximatives bien entendu mais fructueuses) entre espaces
complètement réguliers et espaces localement convexes ; analogies que nous commen-
çons de développer au chapitre 5.