Asie 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (6 points) (commun à tous les candidats)
On considère les fonctions fet gdéfinies pour tout réel xpar :
f(x)=exet g(x)=1ex.
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement Cfet Cg,
sont fournies en annexe.
Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l’annexe.
Partie B
Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes.
On note Dl’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe Cfau point Ad’abscisse aet tangente à
la courbe Cgau point Bd’abscisse b.
1) a) Exprimer en fonction de ale coecient directeur de la tangente à la courbe Cfau point A.
b) Exprimer en fonction de ble coecient directeur de la tangente à la courbe Cgau point B.
c) En déduire que b=a.
2) Démontrer que le réel aest solution de l’équation
2(x1)ex+1=0.
Partie C
On considère la fonction ϕdéfinie sur Rpar
ϕ(x)=2(x1)ex+1.
1) a) Calculer les limites de la fonction ϕen et +.
b) Calculer la dérivée de la fonction ϕ,puitudiersonsigne.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction ϕsur R.Préciserlavaleurdeϕ(0).
2) a) Démontrer que l’équation ϕ(x)=0admet exactement deux solutions dans R.
b) On note αla solution négative de l’équation ϕ(x)=0et βla solution positive de cette équation.
Àlaidedunecalculatrice,donnerlesvaleursdeαet βarrondies au centième.
Partie D
Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B.
On note Ele point de la courbe Cfd’abscisse aet Fle point de la courbe Cgd’abscisse a(aest le nombre réel
défini dans la partie C).
1) Démontrer que la droite (EF)est tangente à la courbe Cfau point E.
2) Démontrer que (EF)est tangente à Cgau point F.
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ANNEXE
Arendreaveclacopie
Exercice 2
123412345O
1
2
3
4
5
1
2
3
Cg
Cf
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EXERCICE 2
Partie A
123412345O
1
2
3
4
5
1
2
3
Cg
Cf
Partie B
1) a) Soit aun réel. Le coecient directeur de la tangente à Cfau point d’abscisse aest f(a)ou encore ea.
b) Soit bun réel. Pour tout réel x,g(x)=ex.Donc,lecoecientdirecteurdelatangentCgau point d’abscisse
best g(b)ou encore eb.
c) Soient aet bdeux réels. Si la tangente à Cfau point d’abscisse aest aussi la tangente à Cgau point d’abscisse b,
alors ces deux tangentes ont en particulier même coecient directeur. On en déduit que ea=ebpuis que a=b
ou enfin que b=a.
2) Soit aun réel. Une équation de la tangente à Cfau point d’abscisse aest y=f(a)(xa)+f(a)ou encore
y=ea(xa)+eaou enfin
y=eaxaea+ea.
Une équation de la tangente à Cgau point d’abscisse aest y=g(a)(x+a)+g(a)ou encore y=ea(x+a)+1ea
ou enfin
y=eax+aea+1ea.
Si ces deux droites sont confondues, alors leurs ordonnées à l’origine sont égales. Par suite, aea+ea=aea+1ea
ou encore 2aea2ea+1=0ou enfin 2(a1)ea+1=0.
On a montré que le réel aest solution de l’équation 2(x1)ex+1=0.
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Partie C
1) a) Limite de ϕen +.lim
x+
2(x1)=+et lim
x+
ex=+.Enmultipliant,onobtient lim
x+
2(x1)ex=+
puis
lim
x+
ϕ(x)=+.
Limite de ϕen .Pour tout réel x,ϕ(x)=2xex2ex+1.
lim
x
ex=0et d’autre part, lim
x
xex=0d’après un théorème de croissances comparées. On en déduit que
lim
x
ϕ(x)=2×02×0+1=1.
lim
x
ϕ(x)=1.
b) La fonction ϕest dérivable sur Ret pour tout réel x,
ϕ(x)=2(1×ex+(x1)×ex)+0=2(1+x1)ex=2xex.
Pour tout réel x,ex>0et d’autre part, 2>0.Donc,pourtoutréelx,ϕ(x)est du signe de x.Onendéduitquela
fonction ϕest strictement négative sur ],0[,strictementpositivesur]0, +[et s’annule en 0.
c) ϕ(0)=2(01)e0+1=2+1=1.
On en déduit le tableau de variation de la fonction ϕsur R.
x0+
f(x)0+
1+
f
1
2) a) La fonction ϕest continue et strictement décroissante sur ],0].Onsaitalorsquepourtoutréelkde
l’intervalle !ϕ(0),lim
x
ϕ(x)!= [1, 1[,léquationϕ(x)=kadmet une solution et une seule dans ],0].Comme
le nombre 0appartient à l’intervalle [1, 1[,onamontréqueléquationϕ(x)=0admet une solution et une seule dans
l’intervalle ],0].Onnoteαcette solution. Comme ϕ(0)̸=0,onaα̸=0et donc α<0.
De même, la fonction ϕest continue et strictement croissante sur [0, +[.Donc,pourtoutréelkde l’intervalle
!ϕ(0),lim
x+
ϕ(x)!= [1, +[,léquationϕ(x)=kadmet une solution et une seule dans [0, +[.Commelenombre
0appartient à l’intervalle [1, +[,onamontréqueléquationϕ(x)=0admet une solution et une seule dans
l’intervalle [0, +[.Onnoteβcette solution. Comme ϕ(0)̸=0,onaβ̸=0et donc β>0.
On a montré que l’équation ϕ(x)=0admet exactement deux solutions dans R,lunestrictementnégativeetlautre
strictement positive.
b) La calculatrice fournit ϕ(1, 68)=0, 001 . . . et ϕ(1, 675)=0, 002 . . ..Doncϕ(1, 68)>0et ϕ(1, 675)<0ou
encore ϕ(1, 675)<ϕ(α)<ϕ(1, 68).Puisquelafonctionϕest strictement décroissante sur ],0],onendéduit
que 1, 68 < α<1, 675.Enparticulier,
α=1, 68 arrondi au centième.
La calculatrice fournit ϕ(0, 765)=0, 01 . . . et ϕ(0, 77)=0, 006 . . ..Doncϕ(0, 765)<ϕ(β)<ϕ(0, 77).Puisquela
fonction ϕest strictement croissante sur ],0],onendéduitque0, 765 < α< 0, 77.Enparticulier,
β=0, 77 arrondi au centième.
Partie D
adésigne l’un des deux réels αou β.Enparticulier,leréelan’est pas nul.
Le point Eapourcoordonnées(a, ea)et le point Fapourcoordonnées(a, 1 ea).
Le coecient directeur de la droite (EF)est
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yFyE
xFxE
=1eaea
aa=2ea1
2a .
Puisque ϕ(a)=0,ona2(a1)ea+1=0et donc 2aea2ea+1=0ou encore 2ea1=2aea.Parsuite,
2ea1
2a =2aea
2a =ea.
Une équation de la droite (EF)est donc y=ea(xxE)+yEou encore y=ea(xa)+eaou enfin y=eaxaea+ea.
1) D’après la question 2) de la partie B, la tangente à la courbe Cfau point Eaaussipouquationcartésienne
y=eaxaea+ea.Donc,ladroite(EF)est la tangente à Cfau point E.
2) D’après les calculs eectués à la fin de la partie B, l’égalité ϕ(a)=0est équivalente à l’égalité aea+ea=
aea+1ea.Donc,unquationcartésiennedeladroite(EF)est aussi y=eax+aea+1ea.
Ceci montre que la droite (EF)est la tangente à Cgau point F.
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