Algèbre d`opérateurs intégraux singuliers dans le cas 0

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
G ÉRARD D ETOURBET
Algèbre d’opérateurs intégraux singuliers dans le cas β ≥ 0
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 7, no 1 (1967-1968), exp. no A8, p. A1-A7
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Séminaire CHOQUET
(Initiation
à
année, 1967/68,
7e
A8-01
l’analyse)
n° A.8
ALGÈBRE D’OPÉRATEURS INTÉGRAUX SINGULIERS
DANS LE
CAS 03B2 ~
0
par Gérard DETOURBET
Dans
l ’exposé précédent,
Notre but ici est de
CZ~ .
CZ~
dans
une
Dans le
sous-algèbre
cas p
>
1~
envoyait continûment
alors que
pact. On
ZYGMUND dans le
le à
ne
il
avions
trouver,
L2
pour le
cas
dans le
>
~3
cas
général ~ >, 0 ,
1~
été démontré que
dans
sera
cas
l’opérateur
Le théorème de Rellich
particulier $
question
de
plongement
un
([l]
et
[2])
ici que
affirme
à support
cas
essentiellement le même que celui suivi par
sera
algèbres
les
L).
de
a
introduit,
l’opérateur ~K est compact pour tout élément ~ de L~
s’appliquera, dans cet exposé, à étendre cette propriété au
0 . Le plan suivi
(Il
nous
com-
général
CALDERON
et
> 1 .
d’espaces
euclidiens de dimension
supérieure
ou
éga-
2 .)
Notations
C03B2b ; f C03B2 ;
C~ : ensemble
E
c
h :
h :
°°°-°E
~f
E
~f~~
~};
des fonctions uniformément continues et
compact) ;
supp f =
opérateur intégral défini
par le noyau
opérateur intégral défini
téristique
§
1. Une
1. - Pour tout
suite de fonctions de
C-’
h(x)
propriété
u
E
où
03C6~
E
est la fonction
E
C03B2b
(03B2 0)
C03B2bpour03B2 1,
1) qui
carac-
c~
de l’ensemble
dans
(0 y
h ;
par le noyau
(ainsi
de
bornées ;
converge uniformément
il existe
vers
u.
une
Démonstration.
Si
L~ ,
U
On a
*
à
0
dans
e
C§
C# .
Ecrivons maintenant que
soit,
en
notant
e
[supp 6~
la
grale égale à
03B8~(x)
1).
mètre
supp 8 ,
(a)
w
de
u E
Choisissons
C:
E
mesure
uniforme de
la fonction
Alors le
Ecrivons que
tel que
~cu
du
ce
support
de
~ p
u *
0
de
8
compact, alors,
u,
diamètre
£
quand
( 1.1 ~
de
devient
tend
E
vers
Zéro.
choisie parce que d’inté-
égal à
est uniformément continue :
alors
u
9 ,
(ainsi
a un
pour tout
qui donne
vers
~-n|03B8(x ~) ~03B8-1
support
u
est
C,
est de classe
2e étape : Convergence
Notons par
(supp 0)
et si
e
fois le dia-
appliquons
mais si
à ~ 1.1 ~ ,
z E x +
(c) Approximation
sent,
0
nous
assure
et prenons
u *
que
donc
03B8~ ~
6
C’
CL
ou
~ .
Les
u e
si
u ~
avons
avec 0yl : Jusqu’à prégrandeur de y . Fixons donc
compte de l’ordre de
à support compact et
si
nous
C03B3b
par des fonctions de classe
n’avons pas tenu
1y
y
, alorsZ --
supp 8 E
0
~
0’ ~
ce
pour
(l.2)
et
alors la
03B2 1 , puisque
(l.3)
condition pour cela est
~u~~
la convergence
donc le t:héorème est entièrement démontre.
uniforme,
§
lignes
première étape
la seule
affirment à leur tour
2.
de deux opérateurs de Calderón-Zygmund
Cette relation montre que
où b E
firme
C~
(0
l’ approximation
appliquons
y
~R
1) ,
en norme
est
approchable
puisque, pour p
uniforme de
le théorème suivant :
a
dans
=
0
E(L2, L )
ou
1,
par des
opérateurs
le théorème 1 af-
par de telles fonctions
b. Si
nous
Toute limite
nous
E(L ~ L’") )
(dans
d’opérateurs compacts
pourrons facilement affirmer que
Nous
nous
C
compact
(fonction
de
H , 03C8 , a )
opérateur compact ;
un
pour tout
a ~
C~
(p ~0).
(ûj3l).
donc maintenant dans le cas
plaçons
2° Il existe
est
est
telle que
~03C8Ra
C~03B2~f~2:
f -
’
Posons
Nous
et
avons
aussi,
Nous
Par
la
majoration
c
avons
de (2.3) et du fait que S 1 , nous
de (2.4) existe (appliquer Cauchy-Schwarz).
application
grale
est la boule unité de
ce
EL,
du fait
qui s’écrit
Rn,
aussi
f
Donc,
~ 03C8Ra
utilisons ( 2. 3),
Appliquons
le théorème de
Young :
f
quand
e
voyons que la deuxième inté-
y) f(y)
E
où
le théorème de
Lebesgue donne
~ 0 . D’autre
part,
B
Cette
inégalité
trer que 03C8Ra~
prouve donc deux choses :
est
E
compact
que 03C8Ra~
Pour démontrer
Ra
pour que
est
compact,
le
soit,
vertu d’un théorème
en
.
allons démontrer que
nous
son
déjà cité.
noyau
N~(x, y)
est de carré sommable.
ceci
vertu des
en
pendamment
est donc
de
inégalités (2. 2) .
Mais
2($ - n)
x , puisque
SI
j )x -
- n .
Donc
est
e
existe indé-
dy
x-y >E
compact.
Le théorème 2
complètement démontré.
Démonstration.
1° Nous avions
(pour
les
démontré,
notations,
se
convergence avait lieu
2°
Multiplions
mais
dans
en nonne
(2.6) par 03C8
-
(composition
ayant
lieu dans
n°
reporter à l’expose
~ ~ ~ ..1~ ~)
compact
l’exposé
que
n°
séminaire
Choquet)~
et que la
d’opérateurs.
~
est
opérateur
E(l~ ,
A.7,
compact,
continu
donc
chaque élément de
avec un
la somme est
opérateur compact).
o
K -KK)
est
La
conver-
compact.
C. Q. F. D.
~
()
On remarquera que c’est seulement en cet endroit de la démonstration
utilise que le support de
est compact.
qu’on
§ 3. Définition et propriétés
de l’algèbre d’opérateurs Kloc
~
DÉFINITION. -
L0
tels que
THEOREME
l’ensemble des
Appelons
leur produit
4. -
avec un
est
élément de
L oo
idéal bilatère de
un
soit
L
continus de
opérateurs
dans
compact.
E(l~ , L~) .
Démonstration.
1~ C’est trivialement
un
2~ Démontrons que c’est
alors
~
Puisque
K
Prenons
-o
donc
donc
nous
~HK
~HK
est
(pK
(p =
1
compact des que
est
compact,
sur un
et
voisinage
V
qu’il
K
et
L . Prenons
est
de
de
compact.
supp $. Dans
ce
cas,
JR ).
est de carré sommable.
avons une
~H(l - CD)
0
e >
CZ
est dans
03C8H03C6K
( d ~ distance euclidienne
l’opérateur ~H(l -~p) est égal à
=
e
~H(l - (p)K .
+
=
on a
telle que
Le noyau de
démontrons
avons
e
~)
supp
nous
H
idéal à gauche : Soient donc
un
Nous devons démontrer que
(p
idéal à droite.
majoration par
est
THEOREME 5. -Si
compact,
H
est
un
ceci prouve donc que
opérateur
de
est
compact.
Calderón-Zygmund appartenant
à
il est nul.
La démonstration de
de
l’exposé
n~ A. 7.
ce
théorème est strictement la même que celle du théorème 3
A8-07
des opérateurs
DEFINITION. - Appelons
CZ ~ l’ensemble
où H est un opérateur de CZ003B2 et K dans Kloc .
THEOREME
(a)
(b)
de la forme
H + K ,
6.
est
CZ
Pour tout
unique.
(c)
CZ~
S
une
S
L’application
dont
sur
algèbre.
la
S
décomposition
=
H
+
H
K
E
CZ
K
est
E
surjectif d’algèbres
homomorphisme
03C3H
est
un
algébrique
S ~
8 :
le noyau
est
(de
.
Démonstration.
(a)
est
vraie, moyennant
le
(b)
est
vraie, moyennant
le théorème 5.
(c)
se
théorème 4.
déduit directement des définitions de
THEOREME
7. - Le centre de
CZ
e
et du
est l’ensemble des
symbole
multiples
du
de
pseudo-produit.
l’opérateur
uni-
té.
La démonstration est celle du théorème 5 de
l’exposé
n° A.7.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
AGMON (Shmuel). - Lectures on elliptic boundary value problems. - Princeton,
Van Nostrand Company, 1965 (Van Nostrand mathemetical Studies, 2).
[2] HÖRMANDER (Lars). Verlag, 1963 (Die
partial differential operators. - Berlin,
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften,
Linear
Springer116).