Recueil d`exercices

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Licence Pluridisciplinaire, Culture et Formation
Scientifique
Universit´e de Provence
Ann´ee 2004-05
UE1, Culture G´en´erale de Math´ematiques 1
Recueil d’exercices
Arithm´etique.

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Pythagore de Samos (environ 569-475 avant notre `ere)
Euclide d’Alexandrie (environ 325-265 avant notre `ere)
Archimede de Syracuse (287-212 avant notre `ere)
Eratosthene de Syr`ene (276-194 avant notre `ere)
Ren´e Descartes (1596-1650)
Pierre de Fermat (1601-1665)
Blaise Pascal (1623-1662)
Isaac Newton (1643-1717)
Abraham De Moivre (1667-1754)
Leonhard Euler (1707-1783)

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I. Num´ eration
A. Exercices
1. Donner l’´ecriture en base dix des nombres dont
l’´ecriture binaire (en base deux) est
a. (100111)2b. (100101111)2
c. (1001001111)2d. (10010001111)2
2. Donner l’´ecriture en base dix des nombres dont
l’´ecriture en base quatre est
a. (23)4b. (123)4
c. (3333)4d. (1230)4
3. Ecrire les nombres propos´es
a. 100 en base six b. 423 en base trois
c. 256 en base cinq d. (11244)5en base dix
e. (23)5en base sept
On utilisera les deux m´ethodes pour passer du syst`eme
d´ecimal `a une autre base.
4. Pour ´ecrire un nombre en base douze, on utilise les
chiffres usuels, auxquels on adjoint deux caract`eres,
par exemple Dpour dix et Zpour onze.
a. Ecrire en base dix les nombres (2Z8)12 et
(2D2)12.
b. Ecrire en base douze les nombres 17 et 166.
5. Exercices :
a. Construire la table d’addition en base sept
b. Calculer (24)7+ (12)7.
c. Calculer (45)6+ (23)6et (53)8+ (67)8
6. Exercice :
a. Construire la table de multiplication en base
quatre
b. Poser la multiplication et calculer le produit
(31)4×(23)4
c. V´erifier le r´esultat en convertissant chaque fac-
teur et le produit en base dix.
7. Soit bun entier positif, donner l’´ecriture de (b+1)3
dans la base b.
8. Donner les tables d’addition et de multiplication en
base 5 et effectuer les op´erations suivantes :
a. (3042)5+ (123)5b. (142)5×(23)5.
9. Sachant que l’on a (58)b+ (72)b= (141)b,
d´eterminer bpuis calculer (58)b×(72)b.
10. Quel est le plus grand nombre d´ecimal que l’on
peut ´ecrire en binaire `a l’aide de 3 chiffres ? 6 chiffres ?
7 chiffres ? 10 chiffres ?
11. Quel est le plus grand nombre d´ecimal que l’on
peut ´ecrire en base 16 `a l’aide de 2 chiffres ? 5 chiffres ?
10 chiffres ?
12. Sachant que l’on a (341)10 = (2331)b, donner un
encadrement de b3et en d´eduire b.
13. Quels sont les nombres de 3 chiffres qui s’´ecrivent
xyz en base 7 et zyx en base 11 ?
14. Quels sont les nombres de 3 chiffres qui s’´ecrivent
xyz en base 5 et zyx en base 7 ?
15. Existe-t-il des nombres de 3 chiffres s’´ecrivant xyz
en base 4, et yzx en base 6 ?
16. Le but de cet exercice est de d´eterminer un
nombre entier a. Ce nombre s’´ecrit avec 4 chiffres,
il est sup´erieur `a 7 000, il est multiple de 45, il est
impair et le chiffre des milliers est le double de celui
des centaines. Quel est ce nombre ?
17. Expliciter le syst`eme que nous utilisons pour
compter les jours, heures, minutes, secondes sous
forme d’une formule. Mˆeme question pour le syst`eme
de mesure des angles : degr´e, minute d’arc, seconde
d’arc.
B. Le code bibinaire
Le chanteur Boby Lapointe ´etait aussi un
math´ematicien et a propos´e son syst`eme de
num´eration. Il s’agit du syst`eme BIBINAIRE, car
comme beaucoup de r´eformateurs des syst`emes de
num´eration Lapointe rejettait le syst`eme d´ecimal
actuel notamment cause des expressions du genre
soixante-seize ou quatre-vingt-dix-sept.
Il existe le BIBI parl´e, le BIBI ´ecrit que quelques
exemples vont vous faire d´ecouvrir :
Les naturels de z´ero `a quinze sont ´ecrits en base
deux : 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001,
1010, 1011, 1100, 1101, 1110, et 1111 ; Soit en ´ecrivant
des z´eros inutiles : 0000, 0001, 0010, 0011, 0100...
D´ecoupant l’´ecriture de ces naturels en tranches de
deux chiffres, on obtient quatre groupements possibles
(00, 01, 10, et 11).
Pour les groupes de deux chiffres terminant
l’´ecriture d’un naturel, on choisit quatre voyelles : on
associe 00 `a O; 01 `a A; 10 `a E; 11 `a I.
pour le premier groupe de deux chiffres, on choisit
quatre consonnes : on associe 00 `a H; 01 `a B; 10 `a
Ket 11 `a D
Utilisant ce code, voici l’´ecriture des seize premiers
naturels : HO,HA,HE,HI,BO,BA,BE,BI,KO,
KA,KE,KI,DO,DA,DE et DI.

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On consid`ere alors une num´eration de position de
base seize, et on obtient par exemple les codes sui-
vants :
31 = (1 ∗16) + 15 = HADI
16 = (1 ∗16) + 0 = HAHO
181 = (11 ∗16) + 5 = KIBA
1000 = (3 ∗162) + (14 ∗16) + 8 = HIDEKO
a. Ecrire en base dix les naturels suivants :
DOKODA,KIDOBEHA,HABIHABOBO et
BOBO.
b. Traduire en syst`eme BIBI : dix-mille ; mille-
neuf-cent-quatre-vingt-dix-neuf.
c. Effectuer les op´erations suivantes : HABI ×
HABI et HABI +HABI.
d. Ecrire et apprendre par coeur la table de mul-
tiplication par BA.
C. Le syst`eme de num´eration Maya
Le syst`eme de num´eration utilis´e par les prˆetres as-
tronomes Mayas est un syst`eme de num´eration de
position en base 20, dans lequel les nombres sont
constitu´es de haut en bas (au lieu de l’ˆetre de gauche
`a droite comme dans le syst`eme arabe que nous uti-
lisons), bas´e sur les symboles de la Table I, qui
tiennent lieu de chiffres.
1. Comment s’´ecrit le nombre 20 dans le syst`eme de
num´eration Maya ?
2. Quels sont les nombres repr´esent´es par les symboles
suivants :
••••
•••
3. La construction des symboles tenant lieu de chiffres
repose elle aussi sur un syst`eme de num´eration ;
que peut-on dire de ce dernier ? Justifier l’expression
“syst`eme de num´eration hybride”
D. Correction d’erreurs
Comme tous les supports physiques (comme par
exemple les CDs) ne sont pas parfaits, on utilise pour
stocker des donn´ees des techniques permettant de cor-
riger des erreurs, que l’on appelle “codes correcteurs
un •onze •
deux •• douze ••
trois • • • treize •••
quatre • • •• quatorze • • ••
cinq quinze
six •seize •
sept •• dix-sept ••
huit • • • dix-huit •••
neuf • • •• dix-neuf • • ••
dix z´ero
TABLE I
Symboles utilis´ es dans le syst` eme de num´ eration
Maya
d’erreurs”. Un code correcteur d’erreurs associe `a des
mots binaires d’une longueur fix´ee des mots plus longs,
dans lesquels une redondance a ´et´e introduite afin de
pouvoir corriger un bit qui aurait ´et´e entˆach´e d’erreur.
On consid`ere ici l’un des plus simples de ces codes,
le code de Hamming (7,4), qui associe un mot binaire
de 7 bits `a tout mot binaire de 4 bits. Cette op´eration
se fait en ´ecrivant les mots sous forme de vecteurs
colonne (`a 4 ou 7 lignes), et en appliquant aux vecteurs

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`a 4 lignes la matrice 7 ×4 suivante :
G=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1 0 1 1
(les op´erations se faisant modulo 2). Par exemple,
l’image cod´ee s0=Gs par Gdu mot s= 1010 est
le mot s0= 1010010.
La d´etection d’erreurs s’effectue en appliquant au
mot de 7 bits consid´er´e la matrice
H=
1 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 0 1
Le r´esultat obtenu (un mot de 3 bits) est appel´e syn-
drome. Si le syndrome vaut 000, on conclut qu’il n’y
a pas d’erreur. Sinon, on conclut qu’il y a un bit faux,
dont la position co¨ıncide avec la colonne `a laquelle
apparaˆıt le syndrome dans H.
1. Combien y a t-il de mots de 4 bits diff´erents ? de
mots de 7 bits diff´erents ?
2. Calculer les mots cod´es associ´es `a 1000, 1100, 1001,
et v´erifier le r´esultat en calculant le syndrome.
3. V´erifier et corriger ´eventuellement les mots de 7
bits suivants : 1010110, 1010100, 1001010 et 1001110.
4. Cette technique permet elle de corriger toutes les
erreurs possibles ? si non, donner un exemple d’erreur
non corrig´ee par cette m´ethode.
II. Entiers, nombres premiers, division
Euclidienne
A. Division, divisibilit´e
1. D´eterminer les 20 premiers nombres premiers.
2. D´ecomposer en facteurs premiers les nombres sui-
vants
a. 658 b. 420
c. 8820 d. 10200
e. 65536 f. 384
3. Calculer les pgcd et ppcm des paires d’entiers sui-
vants
a. (31,321) b. (300,408)
c. (13230, 2940) d. (3534,198)
e. (1111,121) f. (8820,420)
4. D´eterminer le plus petit entier ntel que (n×3240)
soit un carr´e parfait
5. Montrer que si 2n−1 est un nombre premier alors
nest premier.
Donner la d´ecomposition en facteurs premiers de 211 −
1.
6. (a) Utiliser l’identit´e
a2−b2= (a+b).(a−b)
pour calculer mentalement le carr´e de 988.
(b) Montrer que pour ´elever au carr´e un nombre
se terminant par 5, il suffit multiplier le nombre
de dizaines qu’il contient par le nombre entier
imm´ediatement sup´erieur, et de “coller” 25 `a la droite
du nombre ainsi obtenu.
(c) Montrer que le produit de deux nombres qui se
terminent par 76 se termine lui aussi par 76.
(d) En d´eduire un nombre de 3 chiffres atel que
tout produit de deux nombres se terminant par ase
termine lui aussi par a.
7. Soient aet bdeux entiers positifs, montrer que
ppcm(a, b)×pgcd(a, b) = ab
8. a) Effectuer la division euclidienne de 1812 par
1572, en d´eduire :
d= pgcd(1812,1572),ppcm(1812,1572)
et deux entiers relatifs uet vtels que d= 1812u+
1572v
b) R´esoudre dans Z×Z:
437x−241y= 1 ,2520x−3960y= 6480
9. Trouvez la solution dans Zdes syst`emes suivant
x+y+z= 100
x+ 8y+ 50z= 156 ,x+y+z= 100
x+ 6y+ 21z= 121
10. D´eterminer le reste de la division Euclidienne de
19711000 par 7.
11. a) Montrer qu’un entier (repr´esent´e en base 10) est
divisible par 11 si et seulement si la diff´erence entre