Université Paris Diderot Année 2009

Universit´e Paris Diderot Ann´ee 2009-2010
M2 de Logique, Jeux infinis et d´etermination Semaine n◦1
1 Introduction
Notions de bases :
– topologie g´en´erale, espaces m´etrisables, espaces compacts et localement compacts ;
– th´eorie de la mesure ;
– ensembles bor´eliens ;
– ensembles projectifs : analytiques et co-analytiques ;
– jeux infinis.
Le cours est articul´e en deux parties : dans la premi`ere partie on introduit la th´eorie
descriptive des ensembles ; dans la deuxi`eme on ´etudie les jeux.
Pourquoi on parle de la th´eorie descriptive ?
Si on parle d’un ensemble, on a deux possibilit´es pour le voir : on peut le voir comme
un ensemble de points, ou on peut en donner une description. Par exemple, nous
pouvons voir [0,1] comme ensemble des points ou nous pouvons le voir comme {x∈
R|0≤x≤1}. La distinction est plus nette en fonction de l’univers de la th´eorie des
ensembles dans lequel nous travaillons. Par exemple, si nous sommes dans un univers
non standard, nous pouvons prendre la mˆeme d´efinition pour [0,1] mais cet ensemble
sera diff´erent de [0,1] interpr´et´e dans le ”vrai” univers, car dans celui-ci nous aurons,
par exemple, les infinit´esimaux.
La th´eorie descriptive s’int´eresse aux propri´et´es de r´egularit´e. L’axiome du choix (AC)
implique l’existence des objets pathologiques : par exemple, AC implique le paradoxe
de Banach-Tarski : il est possible de d´ecomposer la boule unit´e de Rn,n≥3, en un
nombre fini de morceaux et de rassembler ces morceaux pour en former deux boules
identiques `a la premi`ere. L’explication du paradoxe est que les morceaux que nous
construisons ne sont pas mesurables.
Les Jeux
Nous nous int´eressons seulement aux jeux de deux joueurs `a information parfaite et
nous n’admettons pas de match nul, mais nous admettons que les jeux peuvent avoir
un nombre infini de coups.
Intuitivement, nous pouvons voir un jeu comme `a un arbre Tavec un nombre infini de
niveaux index´es par les entiers, o`u les niveaux pair r´epresentent les choix du premier
joueur et les niveaux impairs les choix du deuxi`eme joueur. Soit [T] l’ensemble de
toutes les branches de T. On fixe A⊆[T] et on consid`ere le jeu GT(A) suivant. A la
premi`ere ´etape, le joueur I choisit un ´el´ement a0∈Tde niveau 1. A la deuxi`eme ´etape,
le joueur II choisit un ´el´ement a1∈Tde niveau 2 qui prolonge a0et ainsi de suite. Si
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la branche α= (a0, a1, . . .)∈A, le joueur I a gagn´e ; si α∈Ac, le joueur II a gagn´e.
On veut trouver des strat´egies gagnantes pour l’un des joueurs.
Pour nous, les jeux de longueur finie sont triviaux.
Proposition 1.1 Dans un jeu de longueur fini l’un des deux joueurs a une strat´egie
gagnante.
PREUVE. C’est une cons´equence de la loi de De Morgan : l’existence d’une strat´egie
gagnante pour I s’exprime par :
φ=∃a0∀a1∃a2. . . Qan−1(a0, . . . , an−1)∈A
Si l’´enonc´e φest vrai alors I a une strat´egie gagnantes. Si φest faux, alors par la loi
de De Morgan nous avons :
∀a0∃a1∀a2...Qan−1(a0, . . . , an−1)/∈A
ce qui exprime l’existence d’une strat´egie gagnante pour II.
2
Pour les jeux infinis, cela n’est pas vrai : nous ne pouvons pas utiliser la loi de De
Morgan car nous avons une infinit´e de quantificateurs. On peut d´emontrer que AC
implique qu’il y a des jeux sans strat´egie gagnante. Nous avons deux choix :
1. Nous pouvons prendre un axiome qui assure l’existence de strat´egies gagnantes.
Cet axiome s’appelle l’Axiome de D´etermination (AD) et il a des cons´equences
int´eressantes, mais AD contredit l’Axiome du Choix (AC), et AC est n´ecessaire
pour prouver de nombreux th´eor`emes importants.
2. Nous ne demandons pas la d´etermination de tous les jeux, mais nous recher-
chons la plus grande classe de jeux pour lesquels nous pouvons d´emontrer la
d´etermination. Par exemple, nous pouvons d´emontrer la d´etermination des jeux
bor´eliens dans ZFC. Si nous acceptons l’existence des grands cardinaux nous
pouvons d´emontrer la d´etermination des jeux analytiques et co-analytiques et
plus g´en´eralement les jeux projectifs.
Nous suivons la deuxi`eme choix.
2 Espaces Polonais
Soit un Xespace topologique.
D´efinition 2.1 1. Xest m´etrisable s’il existe une distance dqui induit la topologie
sur X.
2. Xest s´eparable s’il existe un sous ensemble dense d´enombrable.
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3. Xest compl`etement m´etrisable s’il existe une distance compl`ete qui induit la
topologie sur X.
4. Xest Polonais s’il est complet`ement m´etrisable et s´eparable.
Exemple 2.2 Les espaces suivants sont Polonais : R,[0,1],T,C[0,1] = {f:f:
[0,1] →R, f est continue}.
Exercice 2.3 R\ {0}est-il compl`etement m´etrisable ?
Solution. Oui. Le fonction f(x) = (x, 1/x) est un hom´eomorphisme de R\ {0}et
{(x, y)∈R2:y= 1/x}, et, si dest la distance usuelle sur R2, nous pouvons d´efinir
la distance ¯ dsur R\ {0}par ¯ d(x, y) = d(f(x), f(y)). Clairement, cette distance est
compl`ete et induit la mˆeme topologie sur R\ {0}.
2
Proposition 2.4 Si Xest Polonais et discret alors Xest d´enombrable.
PREUVE. Soir Dun sous ensemble dense d´enombrable de X. Si D6=X, fixons un
point xde X\D. Mais Xest discret, alors {x}est ouvert, et ¯ D⊆X\{x}, contradiction.
Il en suit que D=X, donc Xest d´enombrable.
2
Remarque 2.5 Nous n’avons pas utilis´e la m´etrique.
Exercice 2.6 L’espace Qest-il Polonais ?
Solution. Non. Le th´eor`eme de Baire dit que dans un espace compl`etement m´etrisable
l’intersection d´enombrable d’ouverts denses est dense. Mais {Q\ {q}:q∈Q}est une
famille d´enombrable d’ouverts, et T{Q\ {q}:q∈Q}=∅, donc Qn’est pas Polonais.
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Remarque 2.7 Si on a une distance dsur X, nous pouvons d´efinir
¯
d(x, y) = d(x,y)
1+d(x,y)
¯
dest une distance, born´ee par 1, que engendre la mˆeme topologie que det, si dest
compl`ete, alors ¯ dl’est aussi.
Proposition 2.8 Le produit d’une famille d´enombrable d’espaces Polonais est Polo-
nais.
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PREUVE. Soit {Xn}nune famille d’espaces Polonais, et X=QnXn. Pour tout n,
soit dnune m´etrique compl`ete born´ee par 1 sur Xn. On d´efinit une distance dsur X
par
d(x, y) = X
n
1
2n+1 dn(x(n), y(n))
On voit facilement que dest une distance born´ee par 1 et quelle est compl`ete.
Fait 2.9 dengendre la topologie produit sur X.
PREUVE. Supposons d’abord que
U=U0×. . . ×Un−1×Xn×Xn+1 ×. . .
est un ouvert de base dans la topologie produit et x∈U. On doit trouver  > 0 tel
que Bd
(x)⊆U, o`u Bd (x) est la boule de rayon au sens de dautour de x. Comme Ui
est un ouvert de Xiil existe i>0 tel que Bdi
i(x(i)) ⊆Ui. Soit
= min{i
2i+1 :i<n}.
On voit facilement que Bd
(x)⊆U.
Supposons maintenant x∈Xet  > 0 sont donn´es. Soit Ntel que 2−N< /2. Pour
i<N soit Ui=Bdi
/2(x(i)). Il en suit que U=U0×. . . UN−1×XN×. . . est un ouvert
de base qui contient xet qui est inclu dans Bd
(x).
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Fait 2.10 Xest s´eparable.
PREUVE. Soit Dnun sous ensemble dense d´enombrable de Xn, pour tout n. On fixe
un point pndans chaque Xn. Soit
D={f∈Y
n
Dn: il existe ntel que x(k) = pk,pour tout k≥n}.
On voit facilement que Dest d´enombrable et dense dans X.
2
2
Donc, les espaces de Cantor {0,1}ω, de Baire ωω, et le cube de Hilbert [0,1]ωsont
Polonais. Le dernier est particuli`erement int´eressant.
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Proposition 2.11 Tout espace Polonais est hom´eomorphe `a un sous ensemble de
[0,1]ω.
PREUVE. Soit Xun espace Polonais. On fixe une distance compl`ete dsur Xborn´ee par
1. On fixe aussi un sous ensemble Dd´enombrable et dense dans X. Soit {pn:n<ω}
une ´enumeration de D. On d´efinit la fonction f:X→[0,1]ωpar f(x)=(d(x, pn))n.
Nous allons montrer que fest l’hom´eomorphisme recherch´e.
Fait 2.12 fest injective.
PREUVE. Comme Dest dense, si x6=yil existe ntel que d(x, pn)< d(x, y)/2. Il en
suit que d(x, pn)< d(y, pn) donc f(x)6=f(y).
2
Fait 2.13 fest continue.
PREUVE. Soit ρla distance canonique dans [0,1]ω. Soit x, y ∈X. Comme
|d(x, pn)−d(y, pn)| ≤ d(x, y)
pour tout n, il en suit que
ρ(f(x), f(y)) = X
n
1
2n+1 |d(x, pn)−d(y, pn)| ≤ d(x, y)
et par cons´equant la fonction fest lipschitzienne et donc continue.
2
Fait 2.14 f−1est continue.
PREUVE. Il faut montrer que l’image direct d’un ouvert est un ouvert relatif dans
f[X]. On fixe un ouvert Udans X. Si x∈U, on doit montrer qu’il existe δ > 0 tel
que Bρ
δ(f(x)) ∩f[X]⊆f[U]. Comme Uest ouvert il existe  > 0 tel que Bd
(x)⊆U.
L’ensemble {pn}est dense, donc il existe ntel que d(x, pn)< /3. On va montrer que :
Bρ
/3·2n+1 (f(x)) ∩f[X]⊆f[U].
Soit donc y∈Xtel que ρ(f(y), f(x)) <
3·2n+1 . Alors |d(x, pn)−d(y, pn)|< /3 et donc
d(y, pn)<2/3. Par l’in´egalit´e de triangle on a
d(x, y)≤d(x, pn) + d(y, pn)< /3+2/3 = .
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