Jeu de Marienbab simplifié

EA3
TD8
L2 INFO
2015–2016
Jeu de Marienbab simplifi´e
Deux joueurs disposent de nallumettes. ` A tour de rˆole ils doivent enlever une, deux ou trois
allumettes. Le joueurs enlevant la derni`ere allumette a perdu.
1. Construire l’arbre des solutions : les cellules auront deux informations : c->Nbr, le nombre
d’allumette en jeu, c->Joueur, le joueur qui doit jouer ensuite. Elles pointeront aussi
vers trois autres cellules, en fonction des trois coups possibles du joueurs c->joueur
(enlever une, deux ou trois allumettes).
(a) ´ecrivez cet arbre pour n= 5
(b) ´ Ecrivez un algorithme construisant cet arbre pour un ndonn´e.
2. Si les joueurs jouent al´eatoirement, lequel a le plus de chance de gagner ? R´epondez `a
cette question avec les aides suivantes :
(a) Un chemin de la racine de l’arbre `a une feuille repr´esente une partie. Comment
peut-on voir qui l’a gagn´ee ?
(b) Qui a le plus de chance de gagner quand n= 5 ?
(c) ´ Ecrivez un algorithme de parcours de l’arbre et affichant toutes les diff´erentes fins
possibles des parties.
(d) ´ Ecrivez un algorithme donnant la probabilit´e que le joueur agagne.
3. On dit que le joueur Aa une strat´egie gagnante s’il peut jouer de telle sorte que, quelque
soit la fa¸con dont joue le joueur B,Agagne.
(a) Le joueur Aa-t-il une strat´egie gagnante pour n= 5 ?
(b) ´ Ecrire un algorithme qui dit si Aa une strat´egie gagnante pour nquelconque.
(c) Au d´ebut de la partie, le joueur An’a sans doute pas de strat´egie gagnante. Plus
on avance dans la partie, plus la strat´egie devient claire. ´ Ecrivez un algorithme
attendant en entr´ee c, une cellule de l’arbre des solutions du jeu de Marienbab `a n
allumettes et rendant true si une partie s’´etant d´eroul´ee jusqu’`a ca une strat´egie
gagnante pour A.
4. Vous cherchez des jeux amusants `a faire seuls ? ´ Ecrivez une intelligence artificielle qui
jouera `a la place de A.
(a) Vous cherchez `a d´efinir la strat´egie que Apeut adopter `a la cellule c. Si Aa une
strat´egie gagnante, alors appliquez la.
(b) Sinon, regardez parmi ses descendants lequel a une strat´egie gagnante. S’il n’y en a
qu’un, allez y.
(c) S’il y en a plusieurs, vous devez faire des choix de strat´egie :
— Vous pouvez aller vers la strat´egie gagnante arrivant le plus vite
— Vous pouvez aller au fils qui a la plus grande probabilit´e de gagner
— Vous pouvez aller au fils o`u l’adversaire n’a pas de strat´egie gagnante, mais vous
si.
(d) Pour optimiser votre IA, apr`es avoir cr´eer l’arbre des solutions, vous pouvez l’´eti-
queter. Mettez `a chaque noeud une note. L’IA choisira ensuite le noeud ayant la
plus haute note. Par exemple la note peut ˆetre la probabilit´e que le joueur Agagne
si les deux joueurs jouent al´eatoirement.
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