Cours+TD+corrigé d`algèbre linéaire

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MATHEMATIQUES GENERALES 2
Algebre linaire

Chapitre 1
Espace vectoriel
1 Premières définitions
Définition 1.on appelle espace vectoriel sur Rou R-espace vectoriel un en-
semble Esur lequel on a défini deux lois de composition :
– Une loi interne dite addition, notée + (i.e. une application + : E∗E→E)
vérifiant :
–(x+y) + z=x+ (y+z)pour tout x, y, z ∈E
–x+y=y+xpour tout x, y ∈E
– il existe un élément de E, noté 0E, dit neutre, tel que pour tout x∈E x+0E=x
– soit x∈E; il existe (−x)élément de E dit opposé de x tel que x+ (−x) = 0E
– une loi externe de domaine R(i.e. une application .:R∗E→E,(λ, x)→λx)
vérifiant :
–λ(µx)=(λµ)xpour tout λ, µ ∈Ret x∈E
–(λ+µ)x=λx +µx
–λ(x+y) = λx +λy
–1.x =x
Les éléments de E sont appelés vecteurs et ceux de Rscalaire.
Remarque : On peut remplacer dans la définition Rpar un corps quelconque. Dans
ce cours on notera Kun tel corps et on pensera à K=R,C.
Exemple 1 : Modèle fondamental :
E=Rn=R×... ×R
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4Calcul matriciel
Exemple : n= 2. Alors E=R×R={(x, y) : x∈Ry∈R}est un R-espace
vectoriel :
on prend les applications :
E×E−→ E
((x1, y1),(x2, y2)) −→ (x1+x2, y1+y2)
comme addition et
R×E−→ E
(λ, (x, y)) −→ (λx, λy)
come multiplication par un scalaire.
On a alors (0,0) comme neutre et −(x, y)=(−x, −y).
Ici les 2-uplets sont les vecteurs et les réels les scalaires.
Exercice : vérifier les axiomes de la définition.
Interprétation géométrique :
Soit P={vecteursdansleplan}:
Définition 2.•Une flèche dans le plan est un segment entre deux points Aet B
orientés.
•Deux flèches sont équivalentes si elles ont mêmes direction, sens et longueurs.
•Les vecteurs du plan sont les classes d’équivalences des flèches.
Addition de vecteurs :
Multiplication par un scalaire :λ~ AB =~ AD où ~ AD a le même sens et la même
direction que AB et la longueur multipliée par λ(si λest positif).
Exemple 2 :
Soit E=Rn[X] = {fonctionspolynomescoefficientdansRdedegr 6n}={P(X) =
a0+a1X+... +anxnai∈R}est un espace vectoriel sur Rmuni des lois :
(a0+a1X+... +anxn)+(b0+b1X+... +bnxn) := ((a0+b0)+(a1+b1)X+... + (an+bn)xn)
λ.(a0+a1X+... +anxn) := (λa0+λa1X+... +λanxn)

Chapitre 1. Espace vectoriel 5
Fig. 1 – Addition de deux vecteurs
Plus généralement E=R[X]qui est l’ensemble des polynomes de tout degré à
coefficient dans Rest un espace vectoriel sur Ravec les lois :
X
k
akxk+X
k
bkxk:= X
k
(ak+bk)xk
λX
k
akxk:= X
k
λakxk
(Les sommes sont finies.)
Exemple 3 :
Soit F(R,R)ensemble des fonctions de Rdans R. On munit cet ensembles des lois
suivantes :
–(f+g)(x) := f(x) + g(x)
–λ(f(x)) := λf(x)
Proposition 1.1. Soit E un espace vectoriel. Alors :
1. 0.x = 0Epour tout x∈E
2. λ.0E= 0E
3. λ.x = 0Eimplique λ= 0 ou x= 0E
4. (−1).x =−xpour tout x∈E
Démonstration. (1)
0.x = 0.x + 0E0Eest le neutre de +
= 0.x+x+(-x) définition de l’opposé