TD numéro 2

Algèbre 2 Université Pierre et Marie Curie
LM 372 Jeudi 30 Janvier 2014
TD numéro 2
Exercice 1. Soit Aun anneau commutatif. Montrer que l’ensemble N(A)des éléments nilpotents
de Aest un idéal. Déterminer N(Z/72Z).
Exercice 2. Soient a,bet ctrois idéaux d’un anneau commutatif A. Montrer que si aest contenu
dans b∪c, alors on a a⊆bou a⊆c.
Exercice 3. Soit Run anneau fini commutatif réduit, i.e. sans nilpotents non nuls.
1. Soit pun idéal minimal non nul de R. Montrer que pest principal. (Indication : montrer que si
x∈pest non nul, alors p=xR.)
2. Montrer que si un idéal ade Rne contient pas palors on a l’identité a∩p= 0.
3. Montrer qu’il existe un élément e∈ptel que ex =xpour tout x∈p.
4. Montrer que pmuni des opérations de somme et de produit définies sur Rest un corps ayant e
comme élément neutre pour le produit.
5. Montrer qu’il existe un homomorphisme canonique R→p. (Indication : considérer la multipli-
cation par e.)
6. Soient p1,...,pnles idéaux minimaux non nuls de Ret indiquons par e1, . . . , enleurs éléments
neutres respectifs. Montrer que e1+. . . +en= 1.
7. En déduire qu’il existe un isomorphisme canonique entre Ret p1× · · · × pn. En résumé tout
anneau fini sans nilpotents est un produit de corps.
Exercice 4. Etant donnés deux idéaux aet bd’un anneau A, on pose
a+b={a+b|a∈a, b ∈b}et ab ={a1b1+· · · +anbn|n∈N, a1, . . . , an∈a, b1, . . . , bn∈b}.
1. Montrer que les sous ensembles ab,a∩bet a+bsont des idéaux de A.
2. Montrer que a∩best le plus grand idéal de Acontenu dans aet dans bet que a+best le plus
petit idéal contenant aet b.
3. Montrer que l’on a l’inclusion ab ⊆a∩b, et que c’est une égalité si a+b=A.
4. Montrer que A/a∩best isomorphe à A/a×A/bsi et seulement si a+b=A.
5. Montrer que si aet bsont premiers entre eux (i.e. si a+b=A) alors il en est de même pour les
idéaux anet bmpour tout couple d’entiers n, m > 0.
6. Soient n > 1un entier et a,bdeux idéaux d’un anneau A. On suppose que aet bsont premiers
entre eux. Montrer que si l’intersection a∩best une puissance n-ième d’un idéal, alors il en est
de même pour aet b.
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Exercice 5. Soit Aun anneau. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
1. Aest un corps.
2. A[X]est principal.
Exercice 6. Soit Aun anneau. Une application f:A→Aest polynomiale s’il existe un
polynôme g∈A[X]tel que f(x) = g(x)pour tout x∈A. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. Aest un corps fini.
2. Toute application f:A→Aest polynomiale.
Exercice 7. Soit Aun anneau.
1. Montrer qu’un idéal ade Aest premier (resp. maximal) si et seulement si le quotient A/aest
intègre (resp. un corps). En déduire que tout idéal maximal est premier.
2. Soit f:A→Bun homomorphisme d’anneaux. Montrer que si best un idéal premier de B,
alors l’image réciproque a=f−1(n)est un idéal premier de A. Si Spec(A)désigne l’ensemble
des idéaux premiers de A(un tel ensemble est appelé spectre premier de A), on obtient donc
une application f∗: Spec(B)→Spec(A). Montrer que si fest surjective, alors f∗est injective.
Exercice 8. Soit Aun anneau commutatif (unitaire). Posons
c(A) = {n∈Z|na = 0,∀a∈A}.
1. Montrer que c(A)est un idéal de Z. L’unique générateur car(A)≥0de c(A)est la caractéris-
tique de A.
2. Montrer que si Aest intègre, alors c(A)est un idéal premier. Que peut-on alors dire de car(A)?
Exercice 9. Soit Aun anneau et indiquons pas A×le groupe de ses éléments inversibles. On
dit que Aest local s’il possède un unique idéal maximal. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. L’anneau Aest local.
2. L’ensemble A\A×des éléments non inversibles est un sous-groupe de A.
3. L’ensemble mci-dessus est un idéal de A.
Exercice 10. On note A=Z[i]l’anneau des entiers de Gauss. On définit la norme d’un élément
x=a+ib ∈Apar la relation N(x) = a2+b2. Montrer que Aest euclidien par rapport à la norme :
étant données x, y ∈Aavec x6= 0, il existe q, r ∈Aavec N(r)< N (x)vérifiant l’identité
y=qx +r.
En déduire que Aest principal.
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