algebre classes preparatoires et universitee tome 2

ALGEBRE
CLASSES
PREPARATOIRES ET
UNIVERSITEE
TOME 2
EXERCICES AVEC
SOLUTION
J. RIVAUD
TABLE DES MATIERES
TOME I
CHAPITRE UN ENSEMBLES. APPLICATIONS. RELATIONS DENOMBREMENT
Algèbre des ensembles
I Inclusion. Réunion. Intersection 11
II Différence de deux ensembles 14
III Emploi d'un référentiel. Calculs booléens 17
IV Ensemble P(P(E)). Familles de parties 24
V Fonction caractéristique d'une partie de E 26
Applications
VI Image directe et image réciproque d'une partie 29
VII Composition des applications 32
VIII Application de E dans E. Parties stables 35
IX Famille de Moore. Application associée dans P(E) 37
Correspondances. Relations binaires. RelatIons d'équivalence
X Correspondance de E vers F 43
XI Relation binaire sur un ensemble 46
XII Relation d’équivalence 47
XIII Equivalence associée à une application. Décomposition canonique 49
Relation d'ordre
XIV Exemples d'ensembles ordonnés 52
XV Borne supérieure, borne inférieure d'une partie de E 57
XVI Demi-treillis. Treillis 61
Problèmes de dénombrement
XVII Formule des quatre cardinaux. Applications 64
XVIII Combinaisons. Formule du binôme 67
XIX Combinaisons avec répétition 71
XX Formules sommatoires. Récurrences 75
CHAPITRE DEUX LOI DE COMPOSITION SUR UN ENSEMBLE
loi interne. Propriétés générales
I Exemples de lois. Isomorphisme. Centre d'une loi 84
II Propriétés des éléments. Éléments remarquables 90

II Propriétés des éléments. Éléments remarquables 90
III Extension d'une loi à l'ensemble des parties 94
IV Parties stables d'une loi. Loi induite 97
V Équivalence compatible avec une loi. Structure quotient 103
VI Homomorphisme de (E,*) dans (E',*’) 104
Associativité. Monoïde
VII Loi associative 108
VIII Sous-monoide 113
Ensemble muni de deux lois. Distributivité
IX Distributivité 118
X Distributivité dans un treillis 122
CHAPITRE TROIS STRUCTURE DE GROUPE
Propriétés générales. Exemples
I Axiomes de groupe 127
II Calcul sur un groupe 129
III Extension de la loi aux parties de G. Groupe ordonne 132
IV Table d'un groupe fini. Eléments générateurs 135
V Groupe symétrique fn141
Etude des sous-groupes
VI Sous-groupes: propriétés caractéristiques. Exemples 146
VII Parties stables et sous-groupes. Sous-groupe engendré par une partie 151
VIII Partitions de G associées à un sous-groupe. Classes latérales 155
IX Application aux groupes finis 159
Sous-groupes invariants. Automorphismes. Homomorphismes
X Sous-groupe invariant 162
XI Groupe des automorphismes. Automorphismes internes 165
XII Groupe-quotient GIS. Homomorphisme canonique 169
XIII Homomorphisme 172
XIV Groupe libre. Groupe-quotient vérifiant des relations de définition 176
CHAPITRE QUATRE STRUCTURE D'ANNEAU. STRUCTURE DE CORPS
Anneau
I Calculs dans un anneau 180
II Exemples d'anneaux 183
III Caractéristique d'un anneau 191
IV Divisibilité. Eléments irréductibles. Anneau factoriel. Anneau euclidien 195
Sous-anneau. Extension simple
V Sous-anneau 200
VI Extension simple A[e] 202
Idéaux. Homomorphisme
VII Treillis des idéaux. Exemples d'idéaux 209
Vin Idéaux et divisibilité. Anneaux principaux 214
IX Anneaux-quotient 217
X Homomorphisme d'anneaux 219
Corps. Sous-corps
XI. - Calculs sur un corps. Exemples de corps 224
XII. - Sous-corps. Extension simple 227
TOMEIl
CHAPITRE CINQ LE CORPS DES COMPLEXES
Complexes sous forme cartésienne
I Calculs dans C 233
II Complexes conjugués. Module 238
III Les complexes en géométrie du plan euclidien 243
Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe
IV Argument. Relations angulaires 249
V Racines niémes d'un nombre complexe. Racines de l'unité 257
VI Calculs trigonométriques 261
Bijections affines. Homographies
VII Groupe des transformations affines de C 267
VIII Groupes des homographies 270
CHAPITRE SIX ANNEAUX DE POL YNOMES
Anneau A[X]
I Calculs sur A[X] 278
II Fonction polynôme. Divisibilité par X – a 281
III Composition des polynômes 286
Anneau euclidien K[X]

Anneau euclidien K[X]
IV Division euclidienne 289
V Éléments premiers entre eux. P.g.c.d. P.p.c.m 294
VI Polynômes irréductibles. Décomposition en facteurs premiers 298
VII Dérivation. Racines multiples 306
Structure vectorielle des polynômes sur un corps
VIII Sous-espaces. Bases. Formule de Taylor 312
IX Formes linéaires. Dualité 319
X Endomorphismes dans l'espace des polynômes 322
Anneau A[X1, X2, ..., Xn]
XI Calculs dans A[X1, X2, . . ., Xn] 334
XII Polynômes symétriques 338
XIII Dérivation dans K[X1, X2, . . ., Xn,] 343
CHAPITRE SEPT. - FRACTIONS RATIONNELLES
Corps K[X] et K[X1, X2, ...,Xn]
I Calculs dans K[X] et dans K[X1, X2, . . ., Xn]348
II Dérivation d'une fraction rationnelle 351
Décomposition en éléments simples
III Éléments de première espèce. Cas du corps C 353
IV Corps R(X). Eléments de seconde espèce 360
V Autres corps 364
Applications de la décomposition
VI Formules sommatoires 365
VII Exercices divers 368
CHAPITRE HUIT. EOUATIONS ALGEBRIQUES
Relations entre les coefficients et les racines
I Coefficients et racines 373
II Valeur d'un polynôme symétrique 378
Elimination Transformation des équations
III Elimination 382
IV Transformation des équations 385
V Exercices de révision 390
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