Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité
27 janvier 2014
I. Variables aléatoires à densité
II. Loi uniforme
III. Loi exponentielle
IV. Savoir-faire
I. Variables aléatoires à densité
Définition
Une variable aléatoire qui peut prendre comme valeur tous les nombres réels d’un
intervalle I de R est dite continue.
Définition
Une variable aléatoire qui peut prendre comme valeur tous les nombres réels d’un
intervalle I de R est dite continue.
Exemple
Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie, en heures, d’une ampoule fabriquée par une entreprise.
Définition
Une variable aléatoire qui peut prendre comme valeur tous les nombres réels d’un
intervalle I de R est dite continue.
Exemple
Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie, en heures, d’une ampoule fabriquée par une entreprise.
Cette durée n’est pas nécessairement un nombre entier d’heures
Définition
Une variable aléatoire qui peut prendre comme valeur tous les nombres réels d’un
intervalle I de R est dite continue.
Exemple
Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie, en heures, d’une ampoule fabriquée par une entreprise.
Cette durée n’est pas nécessairement un nombre entier d’heures et on ne connaı̂t
pas la durée maximale de vie d’une telle ampoule.
Définition
Une variable aléatoire qui peut prendre comme valeur tous les nombres réels d’un
intervalle I de R est dite continue.
Exemple
Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie, en heures, d’une ampoule fabriquée par une entreprise.
Cette durée n’est pas nécessairement un nombre entier d’heures et on ne connaı̂t
pas la durée maximale de vie d’une telle ampoule.
X est une variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle [0; +∞[.
Définition
Une fonction densité de probabilité sur un intervalle I est une fonction f
Définition
Une fonction densité de probabilité sur un intervalle I est une fonction f
continue sur I
Définition
Une fonction densité de probabilité sur un intervalle I est une fonction f
continue sur I
positive sur I
Définition
Une fonction densité de probabilité sur un intervalle I est une fonction f
continue sur I
positive sur I
d’intégrale sur I égale à 1
Exercice no 1
Montrer que la fonction f définie sur [0; 1] par f (x) = 3x2 est une fonction densité.
Solution
La fonction f est
Solution
La fonction f est
continue sur [0; 1]
Solution
La fonction f est
continue sur [0; 1]
positive sur [0; 1]
Solution
La fonction f est
continue sur [0; 1]
positive sur [0; 1]
et
Solution
La fonction f est
continue sur [0; 1]
positive sur [0; 1]
et
Z
0
1
f (x) dx =
Solution
La fonction f est
continue sur [0; 1]
positive sur [0; 1]
et
Z
0
1
f (x) dx =
Z
1
0
3x2 dx
Solution
La fonction f est
continue sur [0; 1]
positive sur [0; 1]
et
Z
1
Z
1
f (x) dx =
0
0
Z
1
3x2 dx
0
h i1
f (x) dx = x3
0
Solution
La fonction f est
continue sur [0; 1]
positive sur [0; 1]
et
Z
1
Z
1
Z
1
f (x) dx =
0
1
3x2 dx
0
h i1
f (x) dx = x3
0
0
0
Z
f (x) dx = 1
Solution
La fonction f est
continue sur [0; 1]
positive sur [0; 1]
et
Z
1
Z
1
Z
1
f (x) dx =
0
Z
1
3x2 dx
0
h i1
f (x) dx = x3
0
0
f (x) dx = 1
0
y
3
2
1
O
x
1
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
0
x
e−t dt =
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
0
x
h
ix
e−t dt = − e−t
0
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
0
0
donc
0
h
ix
e−t dt = − e−t
e−t dt =
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
0
0
donc
0
h
ix
e−t dt = − e−t
h
i0
e−t dt = e−t
x
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
Z
x
0
0
donc
h
i0
e−t dt = e−t
x
0
0
h
ix
e−t dt = − e−t
e−t dt =
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
Z
x
0
0
donc
h
i0
e−t dt = e−t
x
0
0
h
ix
e−t dt = − e−t
e−t dt = 1 − e−x
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
Z
x
0
0
donc
h
ix
e−t dt = − e−t
h
i0
e−t dt = e−t
x
0
e−t dt = 1 − e−x
0
or
lim e−x = 0
x→+∞
f (x) = e−x
Remarque
Une densité peut être définie sur un intervalle non borné.
Exemple
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
Z
x
0
0
donc
h
ix
e−t dt = − e−t
h
i0
e−t dt = e−t
x
0
e−t dt = 1 − e−x
0
lim e−x = 0
or
donc
x→+∞
Z
+∞
e−t dt = 1
0
f (x) = e−x
y
1
O
1
2
3
4
5
x
Définition
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I.
Définition
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I.
On dit que X suit une loi de probabilité de densité f si pour tous a et b dans I
Définition
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I.
On dit que X suit une loi de probabilité de densité f si pour tous a et b dans I
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
a
f (x) dx
Définition
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I.
On dit que X suit une loi de probabilité de densité f si pour tous a et b dans I
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
f (x) dx
a
y
3
2
1
O
a
b
x
1
Exercice no 2
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [0; 1] dont la loi de probabilité a pour
densité la fonction f définie par f (x) = 4x3
Calculer la probabilité que X appartienne à l’intervalle [0, 2 ; 0, 5]
Calcul d’une probabilité
Calcul d’une probabilité
on a
P (0, 2 6 X 6 0, 5) =
Calcul d’une probabilité
on a
P (0, 2 6 X 6 0, 5) =
Z
0,5
0,2
4x3 dx
Calcul d’une probabilité
on a
P (0, 2 6 X 6 0, 5) =
Z
0,5
4x3 dx
0,2
h i0,5
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = x4
0,2
Calcul d’une probabilité
on a
P (0, 2 6 X 6 0, 5) =
Z
0,5
4x3 dx
0,2
h i0,5
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = x4
0,2
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = 0, 54 − 0, 24
Calcul d’une probabilité
on a
P (0, 2 6 X 6 0, 5) =
Z
0,5
4x3 dx
0,2
h i0,5
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = x4
0,2
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = 0, 54 − 0, 24
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = 0, 0625 − 0, 0016
Calcul d’une probabilité
on a
P (0, 2 6 X 6 0, 5) =
Z
0,5
4x3 dx
0,2
h i0,5
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = x4
0,2
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = 0, 54 − 0, 24
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = 0, 0625 − 0, 0016
d’où
P (0, 2 6 X 6 0, 5) = 0, 0609
Propriétés
P (X = a) = 0
Propriétés
P (X = a) = 0
P (a 6 X 6 b) = P (a < X 6 b)
Propriétés
P (X = a) = 0
P (a 6 X 6 b) = P (a < X 6 b)
P (a 6 X 6 b) = P (a 6 X < b)
Propriétés
P (X = a) = 0
P (a 6 X 6 b) = P (a < X 6 b)
P (a 6 X 6 b) = P (a 6 X < b)
P (a 6 X 6 b) = P (a < X < b)
Propriétés
P (X = a) = 0
P (a 6 X 6 b) = P (a < X 6 b)
P (a 6 X 6 b) = P (a 6 X < b)
P (a 6 X 6 b) = P (a < X < b)
Remarque
Les propriétés des probabilités rencontrées dans le cas discret s’étendent au cas
des variables aléatoires à densité.
Exercice no 3
Une usine fabrique des pièces dont la taille varie entre 1 et 3 cm.
On choisit une pièce au hasard dans la production. On appelle X la taille de cette
pièce et on suppose que X suit une loi de probabilité de densité f définie sur [1; 3]
3
.
par f (x) =
2x2
1
Vérifier que f est bien une densité.
2
Calculer la probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm.
3
Calculer la probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm
sachant qu’elle est supérieure à 1, 5 cm.
Les événements X > 2 et X > 1, 5 sont-ils indépendants ?
4
Solution
1
La fonction f est
Solution
1
La fonction f est continue,
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
Z
1
3
f (x) dx =
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
Z
1
3
3 3
f (x) dx = −
2x 1
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
Z
3
Z
3
1
1
3 3
f (x) dx = −
2x 1
f (x) dx =
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z
3
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
1
3
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
3
1
2
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm est
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
3
1
2
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm est
P (X > 2) =
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
3
1
2
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm est
Z 3
f (x) dx
P (X > 2) =
2
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
3
1
2
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm est
Z 3
f (x) dx
P (X > 2) =
2
P (X > 2) =
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
3
1
2
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm est
Z 3
f (x) dx
P (X > 2) =
2
3 3
P (X > 2) = −
2x 2
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
3
1
2
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm est
Z 3
f (x) dx
P (X > 2) =
2
3 3
P (X > 2) = −
2x 2
P (X > 2) =
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
3
1
2
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm est
Z 3
f (x) dx
P (X > 2) =
2
3 3
P (X > 2) = −
2x 2
2
3 1
P (X > 2) =
2 x 3
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
3
1
2
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm est
Z 3
f (x) dx
P (X > 2) =
2
3 3
P (X > 2) = −
2x 2
2
3 1
P (X > 2) =
2 x 3
P (X > 2) =
1
4
Solution
1
La fonction f est continue, positive sur [1; 3] et
3 3
f (x) dx = −
2x 1
1
1
Z 3
3 1
f (x) dx =
2 x 3
1
Z 3
f (x) dx = 1
Z
3
1
2
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm est
Z 3
f (x) dx
P (X > 2) =
2
3 3
P (X > 2) = −
2x 2
2
3 1
P (X > 2) =
2 x 3
P (X > 2) =
1
4
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(X>1,5) X > 2 =
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P (X > 1, 5) ∩ (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P (X > 1, 5) ∩ (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
P (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P (X > 1, 5) ∩ (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
or
P (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
P (X > 1, 5) =
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P (X > 1, 5) ∩ (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
or
P (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
P (X > 1, 5) =
Z
3
f (x) dx
1,5
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P (X > 1, 5) ∩ (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
or
P (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
P (X > 1, 5) =
P (X > 1, 5) =
Z
1
2
3
f (x) dx
1,5
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P (X > 1, 5) ∩ (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
or
P (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
P (X > 1, 5) =
P (X > 1, 5) =
donc
Z
3
f (x) dx
1,5
1
2
P(X>1,5) X > 2 =
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P (X > 1, 5) ∩ (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
or
P (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
P (X > 1, 5) =
P (X > 1, 5) =
donc
Z
3
f (x) dx
1,5
1
2
1
P(X>1,5) X > 2 = × 2
4
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P (X > 1, 5) ∩ (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
or
P (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
P (X > 1, 5) =
P (X > 1, 5) =
donc
Z
3
f (x) dx
1,5
1
2
1
P(X>1,5) X > 2 = × 2
4
1
P(X>1,5) X > 2 =
2
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P (X > 1, 5) ∩ (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
or
P (X > 2)
P(X>1,5) X > 2 =
P (X > 1, 5)
P (X > 1, 5) =
P (X > 1, 5) =
donc
Z
3
f (x) dx
1,5
1
2
1
P(X>1,5) X > 2 = × 2
4
1
P(X>1,5) X > 2 =
2
Conclusion
La probabilité pour que la taille de la pièce soit supérieure à 2 cm sachant qu’elle
1
.
2
est supérieure à 1, 5 cm est donc de
Indépendance
4
d’après ce qui précède
P(X>1,5) X > 2
Indépendance
4
d’après ce qui précède
P(X>1,5) X > 2 6= P (X > 2)
Indépendance
4
d’après ce qui précède
P(X>1,5) X > 2 6= P (X > 2)
Conclusion
Les événements (X > 1, 5) et (X > 2) ne sont donc pas indépendants.
Définition
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I ayant pour
densité la fonction f .
Définition
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I ayant pour
densité la fonction f .
On appelle espérance de X le nombre
Définition
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I ayant pour
densité la fonction f .
On appelle espérance de X le nombre
E(X) =
Z
xf (x) dx
I
Exercice no 4
Soit X la variable aléatoire à valeurs dans [0; 2] dont la loi de probabilité a pour
densité la fonction définie par

x
pour x ∈ [0; 1]
f (x) =
−x + 2
pour x ∈ [1; 2]
1
Représenter la foncton densité.
2
Calculer l’espérance de la variable aléatoire X.
Représentation graphique
y
1
O
1
2
x
Représentation graphique
y
1
Cf
O
1
2
x
Espérance
on a
Espérance
on a
E(X) =
Espérance
on a
E(X) =
Z
0
2
xf (x) dx
Espérance
on a
E(X) =
Z
2
Z
1
xf (x) dx
0
donc
E(X) =
0
xf (x) dx +
Z
2
xf (x) dx
1
d’après la relation de Chasles
Espérance
on a
E(X) =
Z
2
Z
1
Z
1
xf (x) dx
0
donc
E(X) =
xf (x) dx +
0
E(X) =
0
x × x dx +
Z
Z
2
xf (x) dx
1
1
2
x(−x + 2) dx
d’après la relation de Chasles
Espérance
on a
E(X) =
Z
2
Z
1
Z
1
Z
1
xf (x) dx
0
donc
E(X) =
xf (x) dx +
0
E(X) =
x × x dx +
0
Z
2
xf (x) dx
1
2
x(−x + 2) dx
1
0
E(X) =
Z
x2 dx +
Z
1
2
−x2 + 2x dx
d’après la relation de Chasles
Espérance
on a
E(X) =
Z
2
Z
1
Z
1
Z
1
xf (x) dx
0
donc
E(X) =
xf (x) dx +
0
E(X) =
x × x dx +
x2 dx +
E(X) =
xf (x) dx
1
2
x(−x + 2) dx
1 3
x
3
Z
2
−x2 + 2x dx
1
0
"
Z
2
1
0
E(X) =
Z
#1
0
+
"
1
− x3 + x2
3
#2
1
d’après la relation de Chasles
Espérance
on a
E(X) =
Z
2
Z
1
Z
1
Z
1
xf (x) dx
0
donc
E(X) =
xf (x) dx +
0
E(X) =
x × x dx +
x2 dx +
E(X) =
E(X) =
xf (x) dx
1
2
x(−x + 2) dx
1 3
x
3
1
+
3
Z
2
−x2 + 2x dx
1
0
"
Z
2
1
0
E(X) =
Z
#1
0
+
"
1
− x3 + x2
3
8
1
− +4+ −1
3
3
#2
1
d’après la relation de Chasles
Espérance
on a
E(X) =
Z
2
Z
1
Z
1
Z
1
xf (x) dx
0
donc
E(X) =
xf (x) dx +
0
E(X) =
x × x dx +
x2 dx +
E(X) =
E(X) =
d’où
1 3
x
3
1
+
3
E(X) = 1
xf (x) dx
1
2
x(−x + 2) dx
Z
2
−x2 + 2x dx
1
0
"
Z
2
1
0
E(X) =
Z
#1
0
+
"
1
− x3 + x2
3
8
1
− +4+ −1
3
3
#2
1
d’après la relation de Chasles
II. Loi uniforme
Définition
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
Définition
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a; b]
Définition
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a; b] lorsque sa fonction densité
est la fonction constante définie sur [a; b] par
Définition
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a; b] lorsque sa fonction densité
est la fonction constante définie sur [a; b] par
f (x) =
1
b−a
Définition
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a; b] lorsque sa fonction densité
est la fonction constante définie sur [a; b] par
f (x) =
1
b−a
Remarque
Cette fonction est bien continue, positive et
Z
b
a
f (x) dx = 1.
Exemple
La densité de la loi uniforme sur [1; 5]
Exemple
La densité de la loi uniforme sur [1; 5] est la fonction définie par f (x) =
1
.
4
Exemple
La densité de la loi uniforme sur [1; 5] est la fonction définie par f (x) =
y
0,5
Cf
O
1
2
3
4
5
x
1
.
4
Exemple
La densité de la loi uniforme sur [1; 5] est la fonction définie par f (x) =
y
0,5
Cf
O
1
2
3
4
Remarque
Choisir un nombre au hasard dans un intervalle [a; b],
5
x
1
.
4
Exemple
La densité de la loi uniforme sur [1; 5] est la fonction définie par f (x) =
1
.
4
y
0,5
Cf
O
1
2
3
4
5
x
Remarque
Choisir un nombre au hasard dans un intervalle [a; b], c’est le choisir selon la loi
uniforme sur [a; b].
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
P (c 6 X 6 d) =
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
P (c 6 X 6 d) =
d−c
b−a
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
P (c 6 X 6 d) =
Démonstration
on a
P (c 6 X 6 d) =
d−c
b−a
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
P (c 6 X 6 d) =
Démonstration
on a
P (c 6 X 6 d) =
Z
d
c
1
dx
b−a
d−c
b−a
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
P (c 6 X 6 d) =
Démonstration
on a
P (c 6 X 6 d) =
P (c 6 X 6 d) =
Z
d
c
1
dx
b−a
d−c
b−a
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
P (c 6 X 6 d) =
Démonstration
on a
d
1
dx
b−a
Z d
1
P (c 6 X 6 d) =
1 dx
b−a c
P (c 6 X 6 d) =
Z
c
d−c
b−a
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
P (c 6 X 6 d) =
Démonstration
on a
donc
d
1
dx
b−a
Z d
1
P (c 6 X 6 d) =
1 dx
b−a c
1 h id
x
P (c 6 X 6 d) =
c
b−a
P (c 6 X 6 d) =
Z
c
d−c
b−a
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
P (c 6 X 6 d) =
Démonstration
on a
donc
d
1
dx
b−a
Z d
1
P (c 6 X 6 d) =
1 dx
b−a c
1 h id
x
P (c 6 X 6 d) =
c
b−a
1 P (c 6 X 6 d) =
d−c
b−a
P (c 6 X 6 d) =
Z
c
d−c
b−a
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Soient c et d deux réels de [a; b] tels que c 6 d
P (c 6 X 6 d) =
Démonstration
on a
donc
d’où
d
1
dx
b−a
Z d
1
P (c 6 X 6 d) =
1 dx
b−a c
1 h id
x
P (c 6 X 6 d) =
c
b−a
1 P (c 6 X 6 d) =
d−c
b−a
P (c 6 X 6 d) =
P (c 6 X 6 d) =
Z
c
d−c
b−a
d−c
b−a
Exercice no 5
On choisit au hasard un réel entre 0 et 2.
1
Quelle est la probabilité qu’il soit supérieur au égal à 0, 8 ?
2
Quelle est la probabilité qu’il soit compris entre 0, 3 et 0, 7 ?
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Z
2
0,8
1
dx
2−0
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Z
2
0,8
P (X > 0, 8) =
1
dx
2−0
2 − 0, 8
2
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Z
2
0,8
1
dx
2−0
P (X > 0, 8) =
2 − 0, 8
2
P (X > 0, 8) =
1, 2
2
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Z
2
0,8
d’où
1
dx
2−0
P (X > 0, 8) =
2 − 0, 8
2
P (X > 0, 8) =
1, 2
2
P (X > 0, 8) =
3
5
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Z
2
0,8
d’où
1
dx
2−0
P (X > 0, 8) =
2 − 0, 8
2
P (X > 0, 8) =
1, 2
2
P (X > 0, 8) =
3
5
et
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Z
2
0,8
d’où
1
dx
2−0
P (X > 0, 8) =
2 − 0, 8
2
P (X > 0, 8) =
1, 2
2
P (X > 0, 8) =
3
5
et
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
Z
0,7
0,3
1
dx
2−0
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Z
2
0,8
d’où
1
dx
2−0
P (X > 0, 8) =
2 − 0, 8
2
P (X > 0, 8) =
1, 2
2
P (X > 0, 8) =
3
5
et
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
Z
0,7
0,3
1
dx
2−0
0, 7 − 0, 3
2
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Z
2
0,8
d’où
1
dx
2−0
et
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
Z
0,7
0,3
1
dx
2−0
P (X > 0, 8) =
2 − 0, 8
2
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
0, 7 − 0, 3
2
P (X > 0, 8) =
1, 2
2
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
0, 4
2
P (X > 0, 8) =
3
5
Solution
Soit X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
X suit la loi uniforme sur [0; 2].
on a
P (X > 0, 8) =
Z
2
0,8
d’où
1
dx
2−0
et
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
Z
0,7
0,3
1
dx
2−0
P (X > 0, 8) =
2 − 0, 8
2
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
0, 7 − 0, 3
2
P (X > 0, 8) =
1, 2
2
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
0, 4
2
P (X > 0, 8) =
3
5
P (0, 3 6 X 6 0, 7) =
1
5
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Son espérance est
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Son espérance est
E(X) =
a+b
2
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Son espérance est
E(X) =
Démonstration
on sait que
E(X) =
a+b
2
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Son espérance est
E(X) =
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
b
a
x×
1
dx
b−a
a+b
2
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Son espérance est
E(X) =
Démonstration
on sait que
b
1
dx
b−a
1 2 b
1
x
E(X) =
b−a 2
a
E(X) =
Z
a
x×
a+b
2
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Son espérance est
E(X) =
Démonstration
on sait que
b
1
dx
b−a
1 2 b
1
x
E(X) =
b−a 2
a
E(X) =
Z
x×
a
E(X) =
1
b2 − a2
2(b − a)
a+b
2
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Son espérance est
E(X) =
Démonstration
on sait que
b
1
dx
b−a
1 2 b
1
x
E(X) =
b−a 2
a
E(X) =
Z
x×
a
E(X) =
E(X) =
1
b2 − a2
2(b − a)
(b − a)(b + a)
2(b − a)
a+b
2
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b].
Son espérance est
E(X) =
Démonstration
on sait que
b
1
dx
b−a
1 2 b
1
x
E(X) =
b−a 2
a
E(X) =
Z
x×
a
E(X) =
1
b2 − a2
2(b − a)
E(X) =
(b − a)(b + a)
2(b − a)
E(X) =
a+b
2
a+b
2
III. Loi exponentielle
Définition
Soit λ un réel strictement positif.
Définition
Soit λ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ
Définition
Soit λ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ lorsqu’elle admet
pour densité la fonction f définie sur [0; +∞[ par
Définition
Soit λ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ lorsqu’elle admet
pour densité la fonction f définie sur [0; +∞[ par
f (x) = λe−λx
Définition
Soit λ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ lorsqu’elle admet
pour densité la fonction f définie sur [0; +∞[ par
f (x) = λe−λx
y
2
1
O
1
2
3
x
Définition
Soit λ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ lorsqu’elle admet
pour densité la fonction f définie sur [0; +∞[ par
f (x) = λe−λx
y
2
λ
1
O
1
2
3
x
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
0
x
λe−λt dt =
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
0
x
h
ix
λe−λt dt = − e−λt
0
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
0
0
donc
0
h
ix
λe−λt dt = − e−λt
λe−λt dt =
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
0
0
donc
0
h
ix
λe−λt dt = − e−λt
h
λe−λt dt = e−λt
i0
x
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
Z
x
0
0
donc
h
ix
λe−λt dt = − e−λt
h
λe−λt dt = e−λt
0
0
λe−λt dt =
i0
x
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
Z
x
0
0
donc
h
λe−λt dt = e−λt
0
0
h
ix
λe−λt dt = − e−λt
i0
x
λe−λt dt = 1 − e−λx
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
Z
x
0
0
donc
h
ix
λe−λt dt = − e−λt
h
λe−λt dt = e−λt
0
x
λe−λt dt = 1 − e−λx
0
or
i0
lim e−λx = 0
x→+∞
Remarque
La fonction f est bien une fonction densité.
Démonstration
f est continue et positive sur [0 ; +∞[
de plus
Z
x
Z
x
Z
x
0
0
donc
h
ix
λe−λt dt = − e−λt
h
λe−λt dt = e−λt
0
donc
lim e−λx = 0
x→+∞
Z
+∞
λe−λt dt = 1
0
x
λe−λt dt = 1 − e−λx
0
or
i0
Exercice no 6
Calculer P (2 6 X 6 5) où X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle
de paramètre 0, 1.
Solution
on a
P (2 6 X 6 5) =
Solution
on a
P (2 6 X 6 5) =
Z
2
5
0, 1e−0,1x dx
Solution
on a
P (2 6 X 6 5) =
Z
5
0, 1e−0,1x dx
2
h
i5
P (2 6 X 6 5) = − e−0,1x
2
Solution
on a
P (2 6 X 6 5) =
Z
5
0, 1e−0,1x dx
2
h
i5
P (2 6 X 6 5) = − e−0,1x
2
h
P (2 6 X 6 5) = e−0,1x
i2
5
Solution
on a
P (2 6 X 6 5) =
Z
5
0, 1e−0,1x dx
2
h
i5
P (2 6 X 6 5) = − e−0,1x
2
h
P (2 6 X 6 5) = e−0,1x
P (2 6 X 6 5) = e
−0,2
i2
5
− e−0,5
Solution
on a
P (2 6 X 6 5) =
Z
5
0, 1e−0,1x dx
2
h
i5
P (2 6 X 6 5) = − e−0,1x
2
h
P (2 6 X 6 5) = e−0,1x
P (2 6 X 6 5) = e
d’où
−0,2
i2
5
− e−0,5
P (2 6 X 6 5) ≃ 0, 2122
Solution
on a
P (2 6 X 6 5) =
Z
5
0, 1e−0,1x dx
2
h
i5
P (2 6 X 6 5) = − e−0,1x
2
h
P (2 6 X 6 5) = e−0,1x
P (2 6 X 6 5) = e
d’où
−0,2
i2
5
− e−0,5
P (2 6 X 6 5) ≃ 0, 2122
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Soient a et b deux réels positifs tels que a 6 b.
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Soient a et b deux réels positifs tels que a 6 b.
P (a 6 X 6 b) =
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Soient a et b deux réels positifs tels que a 6 b.
P (a 6 X 6 b) = e−λa − e−λb
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Soient a et b deux réels positifs tels que a 6 b.
P (a 6 X 6 b) = e−λa − e−λb
P (0 6 X 6 a) =
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Soient a et b deux réels positifs tels que a 6 b.
P (a 6 X 6 b) = e−λa − e−λb
P (0 6 X 6 a) = 1 − e−λa
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Soient a et b deux réels positifs tels que a 6 b.
P (a 6 X 6 b) = e−λa − e−λb
P (0 6 X 6 a) = 1 − e−λa
P (X > a) =
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Soient a et b deux réels positifs tels que a 6 b.
P (a 6 X 6 b) = e−λa − e−λb
P (0 6 X 6 a) = 1 − e−λa
P (X > a) = e−λa
Démonstration
on a
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
a
λe−λx dx
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
λe−λx dx
a
ib
h
P (a 6 X 6 b) = − e−λx
a
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
λe−λx dx
a
ib
h
P (a 6 X 6 b) = − e−λx
a
h
P (a 6 X 6 b) = − e
−λx
ia
b
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
λe−λx dx
a
ib
h
P (a 6 X 6 b) = − e−λx
a
h
P (a 6 X 6 b) = − e
P (a 6 X 6 b) = e
−λa
−λx
ia
b
−e
−λb
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
λe−λx dx
a
ib
h
P (a 6 X 6 b) = − e−λx
a
h
P (a 6 X 6 b) = − e
P (a 6 X 6 b) = e
on en déduit que
−λa
−λx
ia
b
−e
P (0 6 X 6 a) = 1 − e−λa
−λb
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
λe−λx dx
a
ib
h
P (a 6 X 6 b) = − e−λx
a
h
P (a 6 X 6 b) = − e
P (a 6 X 6 b) = e
on en déduit que
de plus
−λa
−λx
b
−e
P (0 6 X 6 a) = 1 − e−λa
P (X > a) =
ia
−λb
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
λe−λx dx
a
ib
h
P (a 6 X 6 b) = − e−λx
a
h
P (a 6 X 6 b) = − e
P (a 6 X 6 b) = e
on en déduit que
de plus
−λa
−λx
ia
b
−e
−λb
P (0 6 X 6 a) = 1 − e−λa
P (X > a) = P (X > a)
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
λe−λx dx
a
ib
h
P (a 6 X 6 b) = − e−λx
a
h
P (a 6 X 6 b) = − e
P (a 6 X 6 b) = e
on en déduit que
de plus
−λa
−λx
ia
b
−e
−λb
P (0 6 X 6 a) = 1 − e−λa
P (X > a) = P (X > a)
P (X > a) = 1 − P (X 6 a)
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
λe−λx dx
a
ib
h
P (a 6 X 6 b) = − e−λx
a
h
P (a 6 X 6 b) = − e
P (a 6 X 6 b) = e
on en déduit que
de plus
−λa
−λx
ia
b
−e
−λb
P (0 6 X 6 a) = 1 − e−λa
P (X > a) = P (X > a)
P (X > a) = 1 − P (X 6 a)
P (X > a) = 1 − (1 − e−λa )
Démonstration
on a
P (a 6 X 6 b) =
Z
b
λe−λx dx
a
ib
h
P (a 6 X 6 b) = − e−λx
a
h
P (a 6 X 6 b) = − e
P (a 6 X 6 b) = e
on en déduit que
de plus
−λa
−λx
ia
b
−e
−λb
P (0 6 X 6 a) = 1 − e−λa
P (X > a) = P (X > a)
P (X > a) = 1 − P (X 6 a)
P (X > a) = 1 − (1 − e−λa )
P (X > a) = e−λa
Remarque
Une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de vie sans
vieillissement.
Remarque
Une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de vie sans
vieillissement.
Quels que soient les réels positifs t et h
Remarque
Une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de vie sans
vieillissement.
Quels que soient les réels positifs t et h
P(X>t) X > t + h =
Remarque
Une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de vie sans
vieillissement.
Quels que soient les réels positifs t et h
P(X>t) X > t + h = P (X > h)
Remarque
Une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de vie sans
vieillissement.
Quels que soient les réels positifs t et h
P(X>t) X > t + h = P (X > h)
Cela se traduit par le fait que la durée de vie restante
Remarque
Une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de vie sans
vieillissement.
Quels que soient les réels positifs t et h
P(X>t) X > t + h = P (X > h)
Cela se traduit par le fait que la durée de vie restante est indépendante de la durée
de la vie déja écoulée.
Propriété
L’espérance d’une variable X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est
Propriété
L’espérance d’une variable X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est
E(X) =
1
λ
Démonstration
on sait que
E(X) =
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
0
+∞
t × λe−λt dt
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
0
E(X) =
+∞
t × λe−λt dt
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
+∞
t × λe−λt dt
0
E(X) =
lim
x→+∞
Z
0
x
λte−λt dt
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
+∞
t × λe−λt dt
0
E(X) =
lim
x→+∞
Z
x
λte−λt dt
0
cherchons une primitive de g(t) = λte−λt sous la forme
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
+∞
t × λe−λt dt
0
E(X) =
lim
x→+∞
Z
x
λte−λt dt
0
cherchons une primitive de g(t) = λte−λt sous la forme G(t) = (at + b)e−λt
on a
G′ (t) =
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
+∞
t × λe−λt dt
0
E(X) =
lim
x→+∞
Z
x
λte−λt dt
0
cherchons une primitive de g(t) = λte−λt sous la forme G(t) = (at + b)e−λt
on a
G′ (t) = ae−λt − λ(at + b)e−λt
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
+∞
t × λe−λt dt
0
E(X) =
lim
x→+∞
Z
x
λte−λt dt
0
cherchons une primitive de g(t) = λte−λt sous la forme G(t) = (at + b)e−λt
on a
G′ (t) = ae−λt − λ(at + b)e−λt
donc
G′ (t) = (−λat + a − λb)e−λt
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
+∞
t × λe−λt dt
0
E(X) =
lim
x→+∞
Z
x
λte−λt dt
0
cherchons une primitive de g(t) = λte−λt sous la forme G(t) = (at + b)e−λt
on a
G′ (t) = ae−λt − λ(at + b)e−λt
donc
G′ (t) = (−λat + a − λb)e−λt
or
G′ (t) = g(t)
⇐⇒

−a = 1
a − λb = 0
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
+∞
t × λe−λt dt
0
E(X) =
lim
x→+∞
Z
x
λte−λt dt
0
cherchons une primitive de g(t) = λte−λt sous la forme G(t) = (at + b)e−λt
on a
G′ (t) = ae−λt − λ(at + b)e−λt
donc
G′ (t) = (−λat + a − λb)e−λt
or
G′ (t) = g(t)
⇐⇒

−a = 1
a − λb = 0
d’où
G′ (t) = g(t)
⇐⇒


a = −1
1

b = −
λ
Démonstration
on sait que
E(X) =
Z
+∞
t × λe−λt dt
0
E(X) =
lim
x→+∞
Z
x
λte−λt dt
0
cherchons une primitive de g(t) = λte−λt sous la forme G(t) = (at + b)e−λt
on a
G′ (t) = ae−λt − λ(at + b)e−λt
donc
G′ (t) = (−λat + a − λb)e−λt
or
G′ (t) = g(t)
⇐⇒

−a = 1
a − λb = 0
d’où
G′ (t) = g(t)
⇐⇒


a = −1
1

b = −
λ
Démonstration
par conséquent
Démonstration
par conséquent
Z
0
x
tλe−λt dx =
Démonstration
par conséquent
Z
0
x
tλe−λt dx =
−t −
1
λ
e−λt
x
0
Démonstration
par conséquent
x
1
e−λt
λ
0
0
Z x
1
1
e−λx +
tλe−λt dx = −x −
λ
λ
0
Z
x
tλe−λt dx =
−t −
Démonstration
par conséquent
x
1
e−λt
λ
0
0
Z x
1
1
e−λx +
tλe−λt dx = −x −
λ
λ
0
Z x
1
1
tλe−λt dx = −xe−λx − e−λx +
λ
λ
0
Z
x
tλe−λt dx =
−t −
Démonstration
par conséquent
x
1
e−λt
λ
0
0
Z x
1
1
e−λx +
tλe−λt dx = −x −
λ
λ
0
Z x
1
1
tλe−λt dx = −xe−λx − e−λx +
λ
λ
0
Z x
1
1
1
tλe−λt dx = (−λxe−λx ) − e−λx +
λ
λ
λ
0
Z
d’où
or
x
tλe−λt dx =
lim e−λx = 0
x→+∞
−t −
Démonstration
par conséquent
x
1
e−λt
λ
0
0
Z x
1
1
e−λx +
tλe−λt dx = −x −
λ
λ
0
Z x
1
1
tλe−λt dx = −xe−λx − e−λx +
λ
λ
0
Z x
1
1
1
tλe−λt dx = (−λxe−λx ) − e−λx +
λ
λ
λ
0
Z
d’où
or
et
x
tλe−λt dx =
lim e−λx = 0
x→+∞
lim −λxe−λx = 0
x→+∞
−t −
Démonstration
par conséquent
x
1
e−λt
λ
0
0
Z x
1
1
e−λx +
tλe−λt dx = −x −
λ
λ
0
Z x
1
1
tλe−λt dx = −xe−λx − e−λx +
λ
λ
0
Z x
1
1
1
tλe−λt dx = (−λxe−λx ) − e−λx +
λ
λ
λ
0
Z
d’où
or
et
x
tλe−λt dx =
−t −
lim e−λx = 0
x→+∞
lim −λxe−λx = 0
x→+∞
par croissance comparée
Démonstration
par conséquent
x
1
e−λt
λ
0
0
Z x
1
1
e−λx +
tλe−λt dx = −x −
λ
λ
0
Z x
1
1
tλe−λt dx = −xe−λx − e−λx +
λ
λ
0
Z x
1
1
1
tλe−λt dx = (−λxe−λx ) − e−λx +
λ
λ
λ
0
x
Z
d’où
donc
−t −
lim e−λx = 0
or
et
tλe−λt dx =
x→+∞
lim −λxe−λx = 0
x→+∞
lim
x→+∞
Z
x
λte−λt dt =
0
1
λ
par croissance comparée
Démonstration
par conséquent
x
1
e−λt
λ
0
0
Z x
1
1
e−λx +
tλe−λt dx = −x −
λ
λ
0
Z x
1
1
tλe−λt dx = −xe−λx − e−λx +
λ
λ
0
Z x
1
1
1
tλe−λt dx = (−λxe−λx ) − e−λx +
λ
λ
λ
0
x
Z
d’où
donc
d’où
−t −
lim e−λx = 0
or
et
tλe−λt dx =
x→+∞
lim −λxe−λx = 0
x→+∞
lim
x→+∞
Z
x
λte−λt dt =
1
λ
E(x) =
1
λ
0
par croissance comparée
Exercice no 7
La durée de vie X, en heures, d’un composant électrique est modélisée par la loi
exponentielle de paramètre 0, 005.
On choisit un composant au hasard.
1
Calculer la probabilité qu’il ait une durée de vie inférieure à 100 heures.
2
Calculer la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de 250
heures.
3
Calculer la durée de vie moyenne de l’un de ces composants.
Solution
1
Probabilité
on a
P (X 6 100) =
Solution
1
Probabilité
on a
P (X 6 100) =
Z
0
100
0, 005e−0,005x dx
Solution
1
Probabilité
on a
P (X 6 100) =
Z
100
0, 005e−0,005x dx
0
h
i100
P (X 6 100) = − e−0,005x
0
Solution
1
Probabilité
on a
P (X 6 100) =
Z
100
0, 005e−0,005x dx
0
h
i100
P (X 6 100) = − e−0,005x
0
h
i0
P (X 6 100) = e−0,005x
100
Solution
1
Probabilité
on a
P (X 6 100) =
Z
100
0, 005e−0,005x dx
0
h
i100
P (X 6 100) = − e−0,005x
0
h
i0
P (X 6 100) = e−0,005x
100
P (X 6 100) = 1 − e−0,5
Solution
1
Probabilité
on a
P (X 6 100) =
Z
100
0, 005e−0,005x dx
0
h
i100
P (X 6 100) = − e−0,005x
0
h
i0
P (X 6 100) = e−0,005x
100
P (X 6 100) = 1 − e−0,5
d’où
P (X 6 100) ≃ 0, 393
Solution
1
Probabilité
on a
P (X 6 100) =
Z
100
0, 005e−0,005x dx
0
h
i100
P (X 6 100) = − e−0,005x
0
h
i0
P (X 6 100) = e−0,005x
100
P (X 6 100) = 1 − e−0,5
d’où
P (X 6 100) ≃ 0, 393
Conclusion
La probabilité que le composant ait une durée de vie inférieure à 100 heures est
d’environ 0, 393.
Solution
2
Probabilité
on a
P (X > 250) =
Solution
2
Probabilité
on a
P (X > 250) = 1 − P (X 6 250)
Solution
2
Probabilité
on a
P (X > 250) = 1 − P (X 6 250)
P (X > 250) = 1 −
Z
250
0, 005e−0,005x dx
0
Solution
2
Probabilité
on a
P (X > 250) = 1 − P (X 6 250)
P (X > 250) = 1 −
Z
250
0, 005e−0,005x dx
0
h
i250
P (X > 250) = 1 − − e−0,005x
0
Solution
2
Probabilité
on a
P (X > 250) = 1 − P (X 6 250)
P (X > 250) = 1 −
Z
250
0, 005e−0,005x dx
0
h
i250
P (X > 250) = 1 − − e−0,005x
0
h
P (X > 250) = 1 − e−0,005x
i0
250
Solution
2
Probabilité
on a
P (X > 250) = 1 − P (X 6 250)
P (X > 250) = 1 −
Z
250
0, 005e−0,005x dx
0
h
i250
P (X > 250) = 1 − − e−0,005x
0
h
P (X > 250) = 1 − e−0,005x
P (X > 250) = e−1,25
i0
250
Solution
2
Probabilité
on a
P (X > 250) = 1 − P (X 6 250)
P (X > 250) = 1 −
Z
250
0, 005e−0,005x dx
0
h
i250
P (X > 250) = 1 − − e−0,005x
0
h
P (X > 250) = 1 − e−0,005x
P (X > 250) = e−1,25
d’où
P (X > 250) ≃ 0, 287
i0
250
Solution
2
Probabilité
on a
P (X > 250) = 1 − P (X 6 250)
P (X > 250) = 1 −
Z
250
0, 005e−0,005x dx
0
h
i250
P (X > 250) = 1 − − e−0,005x
0
h
P (X > 250) = 1 − e−0,005x
i0
250
P (X > 250) = e−1,25
d’où
P (X > 250) ≃ 0, 287
Conclusion
La probabilité que le composant soit encore en état de marche au bout de 250 heures
est d’environ 0, 287.
Solution
3
Espérance
on a
E(X) =
Solution
3
Espérance
on a
E(X) =
1
0, 005
Solution
3
Espérance
1
0, 005
on a
E(X) =
d’où
E(X) = 200
Solution
3
Espérance
1
0, 005
on a
E(X) =
d’où
E(X) = 200
Conclusion
La durée de vie moyenne de l’un de ces composants est de 200 heures.
IV. Savoir-faire
1
Utiliser une loi à densité
2
Utiliser une loi uniforme
3
Utiliser une loi exponentielle
4
Calculer le paramètre d’une loi exponentielle
5
Utiliser la durée de vie sans vieillissement
Exercice no 1
La production quotidienne X d’un produit en tonnes est une variable aléatoire
continue qui prend ses valeurs dans l’intervalle [0; 10] avec la densité de probabilité
f définie par l’expression
f (x) = 0, 006 10x − x2
1
Vérifier que f est bien une densité de probabilité sur [0; 10].
2
Calculer la probabilité des événements
A:“X 67”
3
B : “ la production quotidienne dépasse 6 tonnes ”
Calculer l’espérance mathématique E(X).
Densité de probabilité
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
on sait que
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
on sait que
f est un polynôme du second degré
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
on sait que
f est un polynôme du second degré
donc
f est continue sur [0; 10]
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
on sait que
f est un polynôme du second degré
donc
f est continue sur [0; 10]
de plus
f (x) = 0, 006 10x − x2
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
on sait que
f est un polynôme du second degré
donc
f est continue sur [0; 10]
de plus
f (x) = 0, 006 10x − x2
donc
f (x) = 0, 006x(10 − x)
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
on sait que
f est un polynôme du second degré
donc
f est continue sur [0; 10]
de plus
f (x) = 0, 006 10x − x2
donc
f (x) = 0, 006x(10 − x)
f admet 0 et 10 comme racine
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
on sait que
f est un polynôme du second degré
donc
f est continue sur [0; 10]
de plus
f (x) = 0, 006 10x − x2
donc
f (x) = 0, 006x(10 − x)
f admet 0 et 10 comme racine
or
sa parabole est “tournée vers le bas ”
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
on sait que
f est un polynôme du second degré
donc
f est continue sur [0; 10]
de plus
f (x) = 0, 006 10x − x2
donc
f (x) = 0, 006x(10 − x)
f admet 0 et 10 comme racine
or
sa parabole est “tournée vers le bas ”
donc
f (x) > 0 sur [0; 10]
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
enfin
Z
0
10
f (x) dx =
Z
0
10
0, 006 10x − x2 dx
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
enfin
Z
10
Z
10
f (x) dx =
0
0
donc
0
Z
10
0, 006 10x − x2 dx
h
1 i10
f (x) dx = 0, 006 5x2 − x3
0
3
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
enfin
10
Z
10
h
1 i10
f (x) dx = 0, 006 5x2 − x3
0
3
Z
10
1000 f (x) dx = 0, 006 500 −
3
f (x) dx =
0
0
Z
0
0
donc
10
Z
0, 006 10x − x2 dx
Densité de probabilité
Il faut vérifier que la fonction f est
continue
positive
et telle que l’intégrale sur [0; 10] est égale à 1
enfin
10
Z
10
h
1 i10
f (x) dx = 0, 006 5x2 − x3
0
3
Z
10
1000 f (x) dx = 0, 006 500 −
3
Z
10
f (x) dx =
0
0
d’où
0
Z
0
0
donc
10
Z
f (x) dx = 1
0, 006 10x − x2 dx
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
on a
P (A) = P (X 6 7)
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
on a
P (A) = P (X 6 7)
P (A) =
Z
0
7
f (x) dx
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
on a
P (A) = P (X 6 7)
P (A) =
Z
7
f (x) dx
0
P (A) = F (7) − F (0)
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
on a
P (A) = P (X 6 7)
P (A) =
Z
7
f (x) dx
0
P (A) = F (7) − F (0)
P (A) = 0, 784
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
on a
P (A) = P (X 6 7)
P (A) =
Z
7
f (x) dx
0
P (A) = F (7) − F (0)
P (A) = 0, 784
P (B) = P (X > 6)
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
on a
P (A) = P (X 6 7)
P (A) =
Z
7
f (x) dx
0
P (A) = F (7) − F (0)
P (A) = 0, 784
P (B) = P (X > 6)
P (B) = 1 − P (X 6 6)
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
on a
P (A) = P (X 6 7)
P (A) =
Z
7
f (x) dx
P (B) = P (X > 6)
P (B) = 1 − P (X 6 6)
0
P (A) = F (7) − F (0)
P (A) = 0, 784
P (B) = 1 −
Z
0
6
f (x) dx
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
on a
P (A) = P (X 6 7)
P (A) =
Z
7
f (x) dx
P (B) = P (X > 6)
P (B) = 1 − P (X 6 6)
0
P (A) = F (7) − F (0)
P (A) = 0, 784
P (B) = 1 −
Z
6
f (x) dx
0
P (B) = 1 − (F (6) − F (0))
Calcul de probabilité
notons F la primitive de f définie par
1 F (x) = 0, 006 5x2 − x3
3
on a
P (A) = P (X 6 7)
P (A) =
Z
7
f (x) dx
P (B) = P (X > 6)
P (B) = 1 − P (X 6 6)
0
P (A) = F (7) − F (0)
P (A) = 0, 784
P (B) = 1 −
Z
6
f (x) dx
0
P (B) = 1 − (F (6) − F (0))
P (B) = 0, 352
Espérance
on sait que
E(x) =
Z
10
xf (x) dx
0
on a
E(x) =
Z
0
10
x × 0, 006 10x − x2 dx
Espérance
on sait que
E(x) =
Z
10
xf (x) dx
0
on a
Z
10
E(x) =
10
E(x) =
Z
0
donc
0
x × 0, 006 10x − x2 dx
0, 006 10x2 − x3 dx
Espérance
on sait que
E(x) =
Z
10
xf (x) dx
0
on a
Z
10
E(x) =
10
E(x) =
Z
0
donc
0
x × 0, 006 10x − x2 dx
0, 006 10x2 − x3 dx
h 10
1 i10
x3 − x4
E(x) = 0, 006
0
3
4
Espérance
on sait que
E(x) =
Z
10
xf (x) dx
0
on a
Z
10
E(x) =
10
E(x) =
Z
0
donc
0
x × 0, 006 10x − x2 dx
0, 006 10x2 − x3 dx
h 10
1 i10
x3 − x4
E(x) = 0, 006
0
3
4
10000
10000 −
E(x) = 0, 006
3
4
Espérance
on sait que
E(x) =
Z
10
xf (x) dx
0
on a
Z
10
E(x) =
10
E(x) =
Z
0
donc
0
x × 0, 006 10x − x2 dx
0, 006 10x2 − x3 dx
h 10
1 i10
x3 − x4
E(x) = 0, 006
0
3
4
10000
10000 −
E(x) = 0, 006
3
4
d’où
E(x) = 5
Exercice no 2
Dans un supermarché un jour de grande influence, le temps d’attente T à la caisse,
en minutes, suit la loi uniforme sur l’intervalle [2; 20].
1
Définir la fonction de densité de probabilité f de la loi de T .
2
Quelle est la probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart
d’heure ?
3
Quel est le temps d’attente moyen à la caisse ?
Fonction de densité
Fonction de densité
On sait que la variable aléatoire T suit une loi uniforme sur [2; 20].
Fonction de densité
On sait que la variable aléatoire T suit une loi uniforme sur [2; 20].
La fonction f est définie sur [2; 20] par
f (t) =
Fonction de densité
On sait que la variable aléatoire T suit une loi uniforme sur [2; 20].
La fonction f est définie sur [2; 20] par
f (t) =
1
20 − 2
Fonction de densité
On sait que la variable aléatoire T suit une loi uniforme sur [2; 20].
La fonction f est définie sur [2; 20] par
f (t) =
1
20 − 2
f (t) =
1
18
Fonction de densité
On sait que la variable aléatoire T suit une loi uniforme sur [2; 20].
La fonction f est définie sur [2; 20] par
Probabilité
f (t) =
1
20 − 2
f (t) =
1
18
Fonction de densité
On sait que la variable aléatoire T suit une loi uniforme sur [2; 20].
La fonction f est définie sur [2; 20] par
f (t) =
1
20 − 2
f (t) =
1
18
Probabilité
La probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure est
Fonction de densité
On sait que la variable aléatoire T suit une loi uniforme sur [2; 20].
La fonction f est définie sur [2; 20] par
f (t) =
1
20 − 2
f (t) =
1
18
Probabilité
La probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure est
P (T < 15) =
Fonction de densité
On sait que la variable aléatoire T suit une loi uniforme sur [2; 20].
La fonction f est définie sur [2; 20] par
f (t) =
1
20 − 2
f (t) =
1
18
Probabilité
La probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure est
P (T < 15) =
15 − 2
20 − 2
Fonction de densité
On sait que la variable aléatoire T suit une loi uniforme sur [2; 20].
La fonction f est définie sur [2; 20] par
f (t) =
1
20 − 2
f (t) =
1
18
Probabilité
La probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure est
P (T < 15) =
15 − 2
20 − 2
P (T < 15) =
13
18
Espérance
Espérance
Le temps d’attente moyen à la caisse est
Espérance
Le temps d’attente moyen à la caisse est l’espérance mathématique de la variable
aléatoire T .
Espérance
Le temps d’attente moyen à la caisse est l’espérance mathématique de la variable
aléatoire T .
E(T ) =
Espérance
Le temps d’attente moyen à la caisse est l’espérance mathématique de la variable
aléatoire T .
E(T ) =
20 + 2
2
Espérance
Le temps d’attente moyen à la caisse est l’espérance mathématique de la variable
aléatoire T .
E(T ) =
20 + 2
2
E(T ) = 11
Espérance
Le temps d’attente moyen à la caisse est l’espérance mathématique de la variable
aléatoire T .
E(T ) =
20 + 2
2
E(T ) = 11
Conclusion
Le temps d’attente moyen à la caisse est de 11 minutes.
Exercice no 3
La durée d’attente, en minutes, au départ d’une remontée mécanique dans une
station de sport d’hiver est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de
paramètre λ = 0, 05.
1
Calculer, en minutes, le temps moyen d’attente au départ de cette remontée
mécanique.
2
Calculer, à 10−2 près, la probabilité d’attendre au départ de cette remontée
mécanique
a. moins de 30 minutes
b. entre 10 et 30 minutes
3
Un skieur arrive à la remontée mécanique au moment où le panneau indique
que le temps d’attente est d’au moins 10 minutes.
Calculer, à 10−2 près, la probabilité qu’il soit inférieur à 30 minutes.
Solution
1
Espérance
Solution
1
Espérance
on sait que
E(T ) =
Solution
1
Espérance
on sait que
E(T ) =
1
λ
Solution
1
Espérance
on sait que
E(T ) =
1
λ
donc
E(T ) =
1
0, 05
Solution
1
Espérance
on sait que
E(T ) =
1
λ
donc
E(T ) =
1
0, 05
d’où
E(T ) = 20
Solution
1
Espérance
on sait que
E(T ) =
1
λ
donc
E(T ) =
1
0, 05
d’où
E(T ) = 20
Conclusion
Le temps moyen d’attente en minutes est de 20 minutes.
Solution
2
Probabilité
on a
P (T < 30) =
Solution
2
Probabilité
on a
P (T < 30) = P (0 6 T 6 30)
Solution
2
Probabilité
on a
P (T < 30) = P (0 6 T 6 30)
P (T < 30) =
Z
0
30
0, 05e−0,05x dx
Solution
2
Probabilité
on a
P (T < 30) = P (0 6 T 6 30)
P (T < 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
0
h
i30
P (T < 30) = − e−0,05x
0
Solution
2
Probabilité
on a
P (T < 30) = P (0 6 T 6 30)
P (T < 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
0
h
i30
P (T < 30) = − e−0,05x
0
h
i0
P (T < 30) = e−0,05x
30
Solution
2
Probabilité
on a
P (T < 30) = P (0 6 T 6 30)
P (T < 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
0
h
i30
P (T < 30) = − e−0,05x
0
h
i0
P (T < 30) = e−0,05x
30
P (T < 30) = 1 − e−1,5
Solution
2
Probabilité
on a
P (T < 30) = P (0 6 T 6 30)
P (T < 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
0
h
i30
P (T < 30) = − e−0,05x
0
h
i0
P (T < 30) = e−0,05x
30
P (T < 30) = 1 − e−1,5
d’où
P (T < 30) ≃ 0, 78
Solution
2
Probabilité
on a
P (T < 30) = P (0 6 T 6 30)
P (T < 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
0
h
i30
P (T < 30) = − e−0,05x
0
h
i0
P (T < 30) = e−0,05x
30
P (T < 30) = 1 − e−1,5
d’où
P (T < 30) ≃ 0, 78
Conclusion
La probabilité d’attendre moins de 30 minutes est d’environ 0, 78.
Solution
2
Probabilité
on a
P (10 6 T 6 30) =
Solution
2
Probabilité
on a
P (10 6 T 6 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
10
Solution
2
Probabilité
on a
P (10 6 T 6 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
10
h
i30
P (10 6 T 6 30) = − e−0,05x
10
Solution
2
Probabilité
on a
P (10 6 T 6 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
10
h
i30
P (10 6 T 6 30) = − e−0,05x
10
h
i10
P (10 6 T 6 30) = e−0,05x
30
Solution
2
Probabilité
on a
P (10 6 T 6 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
10
h
i30
P (10 6 T 6 30) = − e−0,05x
10
h
i10
P (10 6 T 6 30) = e−0,05x
30
P (10 6 T 6 30) = e
−0,5
−e
−1,5
Solution
2
Probabilité
on a
P (10 6 T 6 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
10
h
i30
P (10 6 T 6 30) = − e−0,05x
10
h
i10
P (10 6 T 6 30) = e−0,05x
30
P (10 6 T 6 30) = e
d’où
−0,5
P (10 6 T 6 30) ≃ 0, 38
−e
−1,5
Solution
2
Probabilité
on a
P (10 6 T 6 30) =
Z
30
0, 05e−0,05x dx
10
h
i30
P (10 6 T 6 30) = − e−0,05x
10
h
i10
P (10 6 T 6 30) = e−0,05x
30
P (10 6 T 6 30) = e
d’où
−0,5
−e
−1,5
P (10 6 T 6 30) ≃ 0, 38
Conclusion
La probabilité d’attendre entre 10 et 30 minutes est d’environ 0, 38.
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10) T < 30 =
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
or
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30) =
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
or
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30) = e−10λ − e−30λ
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
or
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30) = e−10λ − e−30λ
P (T > 10) = e−10λ
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
or
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30) = e−10λ − e−30λ
P (T > 10) = e−10λ
donc
P(T >10) T < 30 =
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
or
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30) = e−10λ − e−30λ
P (T > 10) = e−10λ
donc
e−10λ − e−30λ
P(T >10) T < 30 =
e−10λ
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
or
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30) = e−10λ − e−30λ
P (T > 10) = e−10λ
donc
e−10λ − e−30λ
P(T >10) T < 30 =
e−10λ
P(T >10) T < 30 =
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
or
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30) = e−10λ − e−30λ
P (T > 10) = e−10λ
donc
e−10λ − e−30λ
P(T >10) T < 30 =
e−10λ
P(T >10) T < 30 = 1 − e−20λ
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
or
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30) = e−10λ − e−30λ
P (T > 10) = e−10λ
donc
e−10λ − e−30λ
P(T >10) T < 30 =
e−10λ
P(T >10) T < 30 = 1 − e−20λ
P(T >10) T < 30 ≃ 0, 63
Solution
3
Calculons la propabilité conditionnelle
P(T >10)
or
P (T > 10) ∩ (T < 30)
T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30)
P(T >10) T < 30 =
P (T > 10)
P (10 6 T < 30) = e−10λ − e−30λ
P (T > 10) = e−10λ
donc
e−10λ − e−30λ
P(T >10) T < 30 =
e−10λ
P(T >10) T < 30 = 1 − e−20λ
P(T >10) T < 30 ≃ 0, 63
Conclusion
La probabilité d’attendre moins d’une demi-heure sachant que le temps d’attente
est d’au moins 10 minutes est d’environ 0, 63.
Exercice no 4
La variable aléatoire X égale à la durée de vie d’un atome radioactif d’iode 131
avant désintégration suit une loi exponentielle. On sait que la probabilité que cette
durée de vie soit inférieure à deux jours est égale à 0, 160 à 10−3 près.
1
Calculer, à 10−3 près, le paramètre λ de cette loi exponentielle.
2
La demi-vie d’une substance radioactive est le temps t au bout duquel la
moitié des atomes initiaux sont désintégrés.
Calculer, à 0, 1 près, la demi-vie de l’iode 131.
Solution
1
d’après l’énoncé,
on a
Solution
1
d’après l’énoncé,
on a
P (X < 2) = 0, 160
Solution
1
d’après l’énoncé,
on a
P (X < 2) = 0, 160
donc
1 − e−2λ = 0, 160
Solution
1
d’après l’énoncé,
on a
P (X < 2) = 0, 160
donc
1 − e−2λ = 0, 160
e−2λ = 0, 840
Solution
1
d’après l’énoncé,
on a
P (X < 2) = 0, 160
donc
1 − e−2λ = 0, 160
e−2λ = 0, 840
−2λ = ln 0, 840
Solution
1
d’après l’énoncé,
on a
P (X < 2) = 0, 160
donc
1 − e−2λ = 0, 160
e−2λ = 0, 840
−2λ = ln 0, 840
λ=−
ln 0, 840
2
Solution
1
d’après l’énoncé,
on a
P (X < 2) = 0, 160
donc
1 − e−2λ = 0, 160
e−2λ = 0, 840
−2λ = ln 0, 840
λ=−
d’où
ln 0, 840
2
λ ≃ 0, 087
Solution
1
d’après l’énoncé,
on a
P (X < 2) = 0, 160
donc
1 − e−2λ = 0, 160
e−2λ = 0, 840
−2λ = ln 0, 840
λ=−
d’où
ln 0, 840
2
λ ≃ 0, 087
Solution
2
cherchons le temps t tel que
P (X < t) = 0, 5
(E)
Solution
2
cherchons le temps t tel que
P (X < t) = 0, 5
(E)
⇐⇒
(E)
1 − e−0,087t = 0, 5
Solution
2
cherchons le temps t tel que
P (X < t) = 0, 5
(E)
(E)
⇐⇒
1 − e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
e−0,087t = 0, 5
Solution
2
cherchons le temps t tel que
P (X < t) = 0, 5
(E)
(E)
⇐⇒
1 − e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
−0, 087t = ln 0, 5
Solution
2
cherchons le temps t tel que
P (X < t) = 0, 5
(E)
(E)
⇐⇒
1 − e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
−0, 087t = ln 0, 5
(E)
⇐⇒
−0, 087t = − ln 2
Solution
2
cherchons le temps t tel que
P (X < t) = 0, 5
(E)
(E)
⇐⇒
1 − e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
−0, 087t = ln 0, 5
(E)
⇐⇒
−0, 087t = − ln 2
(E)
⇐⇒
t=
ln 2
0, 087
Solution
2
cherchons le temps t tel que
P (X < t) = 0, 5
(E)
(E)
⇐⇒
1 − e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
−0, 087t = ln 0, 5
(E)
⇐⇒
−0, 087t = − ln 2
(E)
⇐⇒
t=
(E)
⇐⇒
t≃8
ln 2
0, 087
Solution
2
cherchons le temps t tel que
P (X < t) = 0, 5
(E)
(E)
⇐⇒
1 − e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
e−0,087t = 0, 5
(E)
⇐⇒
−0, 087t = ln 0, 5
(E)
⇐⇒
−0, 087t = − ln 2
(E)
⇐⇒
t=
(E)
⇐⇒
t≃8
Conclusion
La demi-vie est de 8 jours environ.
ln 2
0, 087
Exercice no 5
La durée de vie (exprimée en heures) d’un certain type d’ampoules électriques est
une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0, 002.
Calculer, à 10−3 près, la probabilité pour qu’une ampoule de ce type
a. n’ait pas de défaillance avant 100 h
b. fonctionne encore au bout de 600 h sachant qu’elle fonctionnait encore au bout
de 500 h
Solution
1
Probabilité
on a
P (X > 100) =
Solution
1
Probabilité
on a
P (X > 100) = 1 − P (X 6 100)
Solution
1
Probabilité
on a
P (X > 100) = 1 − P (X 6 100)
P (X > 100) = 1 −
Z
0
100
0, 002e−0,002x dx
Solution
1
Probabilité
on a
P (X > 100) = 1 − P (X 6 100)
P (X > 100) = 1 −
Z
100
0, 002e−0,002x dx
0
h
i100
P (X > 100) = 1 − − e−0,002x
0
Solution
1
Probabilité
on a
P (X > 100) = 1 − P (X 6 100)
P (X > 100) = 1 −
Z
100
0, 002e−0,002x dx
0
h
i100
P (X > 100) = 1 − − e−0,002x
0
h
i0
P (X > 100) = 1 − e−0,002x
100
Solution
1
Probabilité
on a
P (X > 100) = 1 − P (X 6 100)
P (X > 100) = 1 −
Z
100
0, 002e−0,002x dx
0
h
i100
P (X > 100) = 1 − − e−0,002x
0
h
i0
P (X > 100) = 1 − e−0,002x
100
P (X > 100) = e−0,2
Solution
1
Probabilité
on a
P (X > 100) = 1 − P (X 6 100)
P (X > 100) = 1 −
Z
100
0, 002e−0,002x dx
0
h
i100
P (X > 100) = 1 − − e−0,002x
0
h
i0
P (X > 100) = 1 − e−0,002x
100
P (X > 100) = e−0,2
d’où
P (X > 100) ≃ 0, 819
Solution
1
Probabilité
on a
P (X > 100) = 1 − P (X 6 100)
P (X > 100) = 1 −
Z
100
0, 002e−0,002x dx
0
h
i100
P (X > 100) = 1 − − e−0,002x
0
h
i0
P (X > 100) = 1 − e−0,002x
100
P (X > 100) = e−0,2
d’où
P (X > 100) ≃ 0, 819
Conclusion
La probabilité que l’ampoule n’est pas de défaillance avant 100 heures est d’environ
0, 819.
Solution
2
La loi exponentielle possède la propriété de durée de vie sans vieillissement.
Solution
2
La loi exponentielle possède la propriété de durée de vie sans vieillissement.
on a donc
P(T >500) T > 600) =
Solution
2
La loi exponentielle possède la propriété de durée de vie sans vieillissement.
on a donc
P(T >500) T > 600) = P(T >500) T > 500 + 100)
Solution
2
La loi exponentielle possède la propriété de durée de vie sans vieillissement.
on a donc
P(T >500) T > 600) = P(T >500) T > 500 + 100)
P(T >500) T > 600) = P (T > 100)
Solution
2
La loi exponentielle possède la propriété de durée de vie sans vieillissement.
on a donc
P(T >500) T > 600) = P(T >500) T > 500 + 100)
P(T >500) T > 600) = P (T > 100)
P(T >500) T > 600) = e−100λ
Solution
2
La loi exponentielle possède la propriété de durée de vie sans vieillissement.
on a donc
P(T >500) T > 600) = P(T >500) T > 500 + 100)
P(T >500) T > 600) = P (T > 100)
P(T >500) T > 600) = e−100λ
P(T >500) T > 600) = e−0,2
Solution
2
La loi exponentielle possède la propriété de durée de vie sans vieillissement.
on a donc
P(T >500) T > 600) = P(T >500) T > 500 + 100)
P(T >500) T > 600) = P (T > 100)
P(T >500) T > 600) = e−100λ
P(T >500) T > 600) = e−0,2
d’où
P(T >500) T > 600) ≃ 0, 819
Solution
2
La loi exponentielle possède la propriété de durée de vie sans vieillissement.
on a donc
P(T >500) T > 600) = P(T >500) T > 500 + 100)
P(T >500) T > 600) = P (T > 100)
P(T >500) T > 600) = e−100λ
P(T >500) T > 600) = e−0,2
d’où
P(T >500) T > 600) ≃ 0, 819
Fin