1 DÉPARTEMENT MATHÉMATIQUES STATISTIQUE - Exercices Divers 29.10.2002 Le partiel aura lieu le vendredi 8/11/2002 de 14h00 à 15h30 Connaissances requises Probabilité , Variables Aléatoires, Fonction de densité, Fonction de répartition, Moments,... (voir Polycopié : Annexe A). lois usuelles continues et discrètes (voir Polycopié ch.3) Thèmes Lecture des tables ( lois discrètes et continues ) Convergence des variables aléatoires Inégalités de Markov, Bienaymé-Tchebychev Lois des grands nombre T.C.L. (Théorème Central Limite ) Approximation des lois avec ou sans correction de continuité Distributions d'échantillonnage Exercice 1 .- Le diamètre des vis fabriquées par une machine suit la loi normale avec moyenne 10mm et écart- type 1mm. Une autre machine fabrique des écrous, dont le diamètre intérieur suit la loi normale avec moyenne 11mm et écart-type 0.5mm. Si une vis et un écrou sont choisis au hasard, quelle est la probabilité que la vis puisse entrer dans l'écrou ? Exercice 2 .- Soit X la v.a. discrète : X -1 0 1 p (X = x) 0.25 0.5 0.25 Calculer de deux façons diérentes p (|X| ≥ 1). Exercice 3 .- Soit {Xn } suite de v.a.i.i.d. . On note Sn = 1 n n P k=1 Xk2 . 1. Si Xn ∼ N (0, 1), montrer que Sn converge en probabilité vers 1. 2. Si Xn ∼ L(µ, σ 2 ), trouver la limite en probabilité de Sn . Exercice 4.- Une usine emploie 200 ouvriers qui déjeunent à la cantine à l'un ou l'autre des deux services avec une probabilité égale de manger au premier ou au second. Le gérant disposera k couverts à chaque service (k ≥ 100). 1. Combien devra-t-il disposer de couverts an qu à chaque service chacun ait un couvert avec probabilité supérieure à 95% 2. Le poids d'une pomme étant une v.a. d'espérance 180 g et d'écart-type 30 g, quel poids de pommes doit acheter le gérant pour pouvoir servir, avec probabilité supérieure à 95%, les 200 repas avec une pomme ? Exercice 5 .- Pour palier à un défaut de fonctionnement d'une machine, les articles produits par cette machine sont traités selon une méthode A . Des études ont montré que sur 233 articles, 84 ont été reparés après le traitement. 2 1. En admettant que chaque article a une probabilité égale d'être reparé, trouver la loi de probabilité du nombre X d'articles reparés. Calculer sa moyenne et sa variance. 2. On suppose qu'on utilise ce traitement pour 100 articles. Calculer l'espérance et l'écart-type de la variable Y = X/n. Par quelle loi peut-on approximer la v.a. Y ? Calculer la valeur de n pour que µ ¶ X p ≥ 0.44 = 0.03 n Exercice 6 .- Soit X1 , X2 , ..., X8 , 8 variables aléatoires de Poisson indépendantes de moyenne λ = 2. 1. Utilisez l'inégalité de Markov pour obtenir une borne pour : P (X1 + X2 + ... + X8 ≥ 32) 2. Qu'obtenez-vous en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev ? Corrigé : 1. Z = X1 + X2 + ... + X8 est une variable aléatoire positive de moyenne 2*8=16, donc l'inégalité de Markov donne : P (Z ≥ 32) ≤ E(Z)/32 = 1/2 2. Si X est une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ, elle vérie : E(X) = λ et V ar(X) = λ Ainsi, X1 , X2 , ..., X8 sont de paramètre 2 et, donc, de variance 2. Puis : V ar(Z) = V ar(X1 ) + ... + V ar(X8 ) = 16 On peut maintenant appliquer l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev : P (Z ≥ 32) = P (Z − EZ ≥ 16) ≤ P (|Z − EZ| ≥ 16) ≤ V ar(Z)/162 = 1/16. Exercice 7 .1. Énoncer le théorème central limite. Indiquer avec précision les hypothèses nécessaires. 2. Une pièce équilibrée est lancée 500 fois. Quelle est la probabilité pour que le nombre de faces obtenu dière de 250 d'au plus 10 ? (utiliser la calculatrice). Corrigé : 1. Soient X1 , X2 , ..., X8 (voir poly, TD et cours) Soit X le nombre de faces obtenu. X est une somme de 500 variables aléatoires indépendantes de Bernoulli de paramètre 12 . X est donc une v.a. binomiale de paramètres n = 500 et p = 12 , son espérance et sa variance valent respectivement m = E[X] = np = 500 12 = 250 et σ 2 = V ar[X] = np(1 − p) = 500 12 12 = 125 Y étant une variable gaussienne centrée réduite, on a ensuite : 10 2. sans la correction de continuité P (250 − 10 ≤ X ≤ 250 + 10) = P ( −10 σ ≤ Y ≤ σ ) = 0.6289066305... 3. avec la correction de continuité P (250 − 10 ≤ X ≤ 250 + 10) = P ( −10.5 ≤ Y ≤ 10.5 σ σ ) = 0.6523455198... La probabilité exacte (loi binomiale) P (240 ≤ X ≤ 260) = 0.6523358207. Conclusion ! Exercice 8 .-Un représentant se présente dans les 1000 appartements d'une cité. La probabilité pour que ce représentant place un contrat dans un appartement quelconque est estimée à 0,04. Ces événements étant supposés indépendants, quelle est la probabilité pour qu'il place plus de 30 contrats ? Corrigé : Soit X le nombre de contrats placés par le représentant. X suit une loi binomiale de paramètre n = 1000 et p = 0, 04. La probabilité P (X > 30) est donnée par .. . (loi binomiale, loi exacte) La somme de l'expression précédente étant un peu longue, on peut, grâce au théorème de Moivre-Laplace, approcher la distribution de la variable binomiale X par celle d'une variable normale Y de moyenne np = 40 et de variance np(1 − p) = 38.4 ; on a alors : Y −40 √ P (X > 30) ≈ P (Y > 30) = P ( √ > 30−40 ≈ 0.947 où la valeur de la probabilité recherchée a été obtenue 38.4 38.4 √ en utilisant une table, grâce au fait que Z = (Y − 40)/ 38.4 est une variable normale standard. Remarques : Bien que np = 40, on peut aussi essayer d'approcher cette binomiale par une loi de Poisson, dans ce cas, on obtient :P (X > 30) ≈ 0.938. Remarquons par ailleurs que notre Théorème Central Limite ne permet pas d'évaluer a priori (en fonction de la taille n de l'échantillon) la qualité de l'approximation gaussienne eectuée. Exercice 9 .- Un professeur sait par expérience que la note obtenue par un étudiant se présentant à un examen nal est une variable aléatoire X d'espérance 75. 3 1. Donner une borne supérieure à la probabilité pour que la note de test d'un étudiant dépasse 85. Dans les questions qui suivent, on suppose de plus que X a pour variance σ 2 = 25. 2. Donner une borne supérieure à la probabilité pour que la note de test d'un étudiant dépasse 85. 3. Le professeur est satisfait si la moyenne de classe obtenue à l'issue des corrections est comprise entre 70 et 80. Combien d'étudiants doivent se présenter à cet examen pour que la probabilité de l'événement E : "le professeur est satisfait" dépasse 0,9 ? Ne pas utiliser le théorème central limite. 4. Est-il pertinent de faire appel au théorème central limite pour répondre à la question c) ? Corrigé : 1. Comme X est une variable aléatoire positive : P (X > 85) ≤ E[X]/85 = 15/17 ∼ = 0.88. 2. Remarquons tout de suite que la connaissance du 2 ème moment de X permet d'améliorer la majoration 2 ] (25+752 ) ∼ précédente : P (X > 85) = P (X 2 > 852 ) ≤ E[X 2 ]/852 = (σ 2 + E[X = 226 852 ) = 852 289 = 0.78. On a aussi : P (65 ≤ X ≤ 85) = P (|X − E[X]| ≤ 10) = 1 − P (|X − E[X]| > 10) ≥ 1 − σ2 102 = 3 4 3. Puisque les notes de chacun des n étudiants sont des variables indépendantes, leur moyenne arithmétique 2 M n = (X1+X2+...+Xn) est encore d'espérance 75, et sa variance vaut σn = 25 n n on a ensuite : P (|M n − 1 3 E[M n]| ≤ 5) = 1 − P (|M n − E[M n]| > 5) ≥ 1 − (525 2 n) = 1 − n , 4 avec 10 étudiants notre probabilité vaut au moins 0,9 . ∼ P (−n 12 ≤ Z ≤ n 12 ) et Z est une 4. Voyons s'il est pertinent d'utiliser le TCL : P (|M n − E[M n]| ≤ 5) = 1 1 variable normale standard. Donc on a : P (−n 2 ≤ Z ≤ n 2 ) pour n = 1 , 0.6826894920 ; n = 2 , 0.8427007929 ; n = 3 , 0.9167354835 ; n4 , 0.9544997360 ; n = 5 , 0.9746526813 Une application aveugle du T.C.L. donne donc ici pour nombre minimum d'étudiants : n = 3 , un résultat franchement diérent ! On constate que dans cet exemple simple l'utilisation du T.C.L. n'est pas appropriée puisque l'échelle des données du problème (n ≈ 10) n'est pas assez grande. Exercice 10 .- On considère le nombre de passages de véhicules en un point d'une autoroute reliant deux villes A et B durant un intervalle d'une minute. On suppose que dans le sens de A à B, ce nombre X est une variable de Poisson de paramètre 17.8 ; dans le sens de B à A, le nombre Y de passages est une variable de Poisson de paramètre 7.1. 1. Quelle est la distribution de nombre total de passages durant une minute ? 2. Donner une approximation de la probabilité pour que le nombre total de passages enregistré durant une heure soit strictement plus grand que 1500. (On fera l'hypothèse d'indépendance qui s'impose et on eectuera une correction de continuité.) Corrigé : 1. par la stabilité de la distribution de Poisson la distribution de nombre total de passages durant une minute est une distribution est une distribution de Poisson de paramètre 17.8 + 7.1 = 24.9 2. Soit T le nombre total de passages enregistré durant une heure. T est une somme de 60 variables aléatoires indépendantes de Poisson de paramètre λ = 24.9. Comme la distribution de Poisson est stable X suit une loi de Poisson de paramètre λ60 = 60 ∗ 24.9 = 1494. pour une bonne approximation de la probabilité cherchée on va appliquer le théorème central limite. L'espérance et la variance de T valent respectivement m = E[T ] = λ60 = 60 ∗ 24.9 = 1494 et σ 2 := V ar[T ] = λ60 = 1494. D'après le théorème central limite (T - m) /s peut être approché par une variable aléatoire gaussienne centrée réduite. Alors on pose Z = (T −m) avec Z ∼ N (0, 1). Pour la probabilité cherchée on trouve P (X > 1500) = σ (X−1494) (1500.5−1494) √ √ P (X ≥ 1500.5) = P ( √1494 ≥ ' P (Z ≥ (1500.5−1494) ' 0.4332263648 1494 1494 Exercice 11 .- Soit X une variable aléatoire dont la distribution a pour densité fX (x) = nulle sinon. x 2 si 0 < x < 2 et est 4 1. Donner l'espérance et la variance de X 2. On considère N variables aléatoires X1 , ..., XN i.i.d. avec densité fX . Donner l'espérance et la variance de la N) variable aléatoire ZN = (X1 +...+X N 3. A partir de quelle valeur de N pouvez-vous armer que P (|Z − 34 | > 10−3 ) ≤ 0.01 Ind : 1. E[X] = 43 ; E[X 2 ] = 2 et donc V ar[X] = 2. E[ZN ] = 4 3 et V ar[ZN ] = V ar[X] N = 2 9 2 9N 3. On peut appliquer l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, : P (|ZN − 43 | > 0.001) ≤ 22222222. 2∗106 9N si N > Exercice 12 .- Chaque année, M ; Durand eectue 2 fois par jour, 5 jours par semaine et pendant 46 semaines, un trajet en voiture dont la durée est une v.a. X qui suit une loi d'espérance 45min. et d'écart-type 10min. On suppose que les durées des trajets sont mutuellement indépendants. Quelle est la probabilité pour que M. Durand passe au moins 350h dans sa voiture au cours de l'année ? Exercice 13 .- Soit X ∼ P (λ). On construit la v.a. Y = une loi que l'on identiera. X−λ √ λ Montrer que Y converge en loi vers Exercice 14 .- Dans une le, 20 personnes attendent d'être servies. On suppose que le temps de service Ti de chaque personne est une v.a. exponentielle de moyenne égale à une minute. Quelle est la probabilité que la durée d'attente totale T = T1 + ... + T20 dépasse 20 minutes ? ind. Voir exemple fait en cours.