algèbre 1
2011_2012
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ENSEIGNEMENT
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS
L3
ALGÈBRE 1
NOTES DE COURS
Olivier Biquard
Universités Paris VI,VII,IX,XI,XIII & École normale supérieure
EN S DMA ENSEIGNEMENT 45 rue d’Ulm 75230 Paris cedex 05 - Tél : 01 44 32 31 72 - Fax : 01 44 32 20 80 - Mél : fimfa@ens.fr
5 septembre 2011
L3
ALGÈBRE 1
NOTES DE COURS
TABLE DES MATIÈRES
Références bibliographiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Groupes..................................................................... 9
1.1. Généralités sur les groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Groupesopérantsurunensemble......................................... 16
1.3. Produitsemi-direct....................................................... 20
1.4. Groupesabéliensdetypefini.............................................. 25
1.5. Groupes simples et suites de composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Groupes classiques........................................................... 33
Préliminairessurlescorps..................................................... 33
2.1. Legroupelinéaire........................................................ 34
2.2. Formessesquilinéaires.................................................... 38
2.3. Orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4. LethéorèmedeWitt...................................................... 44
2.5. Le groupe symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6. Legroupeorthogonal..................................................... 48
2.7. Legroupeunitaire........................................................ 51
2.8. Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3. Algèbre tensorielle........................................................... 57
3.1. Produittensoriel......................................................... 57
3.2. Algèbretensorielle........................................................ 60
3.3. Algèbreextérieure........................................................ 62
3.4. Pfaffien.................................................................. 65
3.5. Algèbresymétrique....................................................... 67
4. Représentations des groupes finis............................................. 69
4.1. Représentations.......................................................... 69
4.2. Caractères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3. Structure de K[G]......................................................... 78
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