Chapitre 8 : TRIGONOMÉTRIE

CA
B
Chapitre 8 : TRIGONOMÉTRIE
« La trigonométrie c’est l’art de trouver les parties inconnues d’un triangle par le moyen de celles qu’on connaît » D’Alembert 1789.
I) Triangle rectangle et trigonométrie
1) Définitions
Hypoténuse
Soit ABC un triangle rectangle en A .
Côté opposé à l’angle BCA
Côté adjacent à l’angle BCA
Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’angle aigu
, noté cos (  est défini
par cos (
= longueur du côté adjacent à cet angle
longueur de l'hypoténuse = 
Définition : Dans un triangle rectangle, le sinus de l’angle aigu 
, noté sin (  est défini
par sin (
= longueur du côté opposé à cet angle
longueur de l'hypoténuse = 
Définition : Dans un triangle rectangle, la tangente de l’angle aigu
, noté tan (  est défini
par tan (
 = longueur du côté opposé à cet angle
longueur du côté adjacent à cet angle =
Remarque :
 Les définitions ou formules précédentes ne sont valables que dans les triangles rectangles.
 L’hypoténuse étant le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d’un angle aigu
sont toujours compris entre 0 et 1.
 Ces formules permettent de calculer des angles et des longueurs.
2) Relations trigonométriques
Propriété 1: Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle aigu, on a :
tan x = sin x
cos x (x
90°)

A
B
C
Démonstration :
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle
longueur de l'hypoténuse : longueur du côté adjacent à cet angle longueur de l'hypoténuse
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle
longueur de l'hypoténuse × longueur del'hypoténuse longueur du côté adjacent à cet angle = longueur du côté opposé à cet angle
longueur du côté adjacent à cet angle
Propriété 2 :
Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle aigu, on a : sin²x + cos²x = 1.
Démonstration : Dans le triangle ABC rectangle en A on a :
cos (x) = AB
BC et sin (x) = AC BC
sin²(x) + cos²(x) =
22
AB AC
BC BC
x
sin²(x) + cos²(x) =
22
22
AB AC
BC BC
sin²(x) + cos²(x) =
²²
²
AB AC
BC
sin²(x) + cos²(x) = 1 car ABC est un triangle rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore AB² + AC² = BC²
Remarque :
 La propriété 2 permet de calculer le cosinus d’un angle en connaissant son sinus (et vice-versa).
 La propriété 1 permet de calculer le cosinus d’un angle, son sinus ou sa tangente en connaissant les 2 autres.
Exemple d’utilisation des propriétés : On sait que cos 60°= 1
2
Calculer la valeur exacte de sin 60° et de tan 60°
On sait que cos² 60° + sin² 60°=1 donc sin² 60°=1 - cos² 60° sin²60° = 1- 
 =  donc sin°60 =   car cos x0
Et tan 60°= sin60°
cos60° = 3
2
1
2 = 3
2  2 1 = 3
II Valeurs particulières
x
0°
30°
45°
60°
90°
Sin x
0
2
1
2
2
2
3
1
Cos x
1
2
3
2
2
2
1
0
Tan x
0
3
3
1
3