Chapitre 8 : TRIGONOMÉTRIE « La trigonométrie c’est l’art de trouver les parties inconnues d’un triangle par le moyen de celles qu’on connaît » D’Alembert 1789. I) Triangle rectangle et trigonométrie 1) Définitions B Hypoténuse Soit ABC un triangle rectangle en A . Côté opposé à l’angle BCA A C Côté adjacent à l’angle BCA Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’angle aigu par cos ( = = , noté sin ( est défini longueur du côté opposé à cet angle = longueur de l'hypoténuse Définition : Dans un triangle rectangle, la tangente de l’angle aigu par tan ( est défini longueur du côté adjacent à cet angle = longueur de l'hypoténuse Définition : Dans un triangle rectangle, le sinus de l’angle aigu par sin ( , noté cos ( , noté tan ( est défini longueur du côté opposé à cet angle = = longueur du côté adjacent à cet angle Remarque : Les définitions ou formules précédentes ne sont valables que dans les triangles rectangles. L’hypoténuse étant le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1. Ces formules permettent de calculer des angles et des longueurs. 2) Relations trigonométriques Propriété 1: Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle aigu, on a : sin x tan x = (x 90°) cos x Démonstration : tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle : longueur du côté adjacent à cet angle longueur de l'hypoténuse tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle × longueur de l'hypoténuse longueur de l'hypoténuse longueur del'hypoténuse longueur du côté adjacent à cet angle = longueur du côté opposé à cet angle longueur du côté adjacent à cet angle Propriété 2 : Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle aigu, on a : sin²x + cos²x = 1. Démonstration : Dans le triangle ABC rectangle en A on a : cos (x) = AB et BC sin (x) = AC BC 2 AB AC sin²(x) + cos²(x) = BC BC AB 2 AC 2 sin²(x) + cos²(x) = BC 2 BC 2 sin²(x) + cos²(x) = B 2 x A C AB ² AC ² BC ² sin²(x) + cos²(x) = 1 car ABC est un triangle rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore AB² + AC² = BC² Remarque : La propriété 2 permet de calculer le cosinus d’un angle en connaissant son sinus (et vice-versa). La propriété 1 permet de calculer le cosinus d’un angle, son sinus ou sa tangente en connaissant les 2 autres. Exemple d’utilisation des propriétés : On sait que cos 60°= 1 2 Calculer la valeur exacte de sin 60° et de tan 60° On sait que cos² 60° + sin² 60°=1 donc sin² 60°=1 - cos² 60° Et tan 60°= sin60° = cos60° sin²60° = 1- = 3 2 3 2 = = 3 1 2 1 2 II Valeurs particulières x 0° 30° 45° 60° Sin x 0 1 2 Cos x 1 2 2 2 2 3 2 1 2 Tan x 0 1 3 3 2 3 3 90° 1 0 donc sin°60 = car cos x 0