Trigonométrie dans le triangle rectangle

G3
Trigonométrie dans le triangle
rectangle
Objectifs:
3G30[-]: Connaître/utiliser les relations du sinus dans un triangle rectangle (pour calculer la mesure d'un angle aigu
ou une longueur).
3G31[-]: Connaître/utiliser les relations de la tangente dans un triangle rectangle (pour calculer la mesure d'un
angle aigu ou une longueur).
3G32[-]: Utiliser les touches cos/ cos − 1 /sin/ sin − 1 /tan/ tan − 1 de la calculatrice pour déterminer une valeur
approchée.
3G33[-]: Connaître/utiliser les relations cos²a+sin²a=1 et tan a=
sin a
cos a
I. Cosinus d’un angle aigu
Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la
longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
Exemple:
ABC est un triangle rectangle en A.
[AB] est le côté adjacent à l’angle.
[BC] est l’hypoténuse du triangle.
On a donc :
AB
cos 
ABC=
BC
Remarque : Le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de deux longueurs, il est donc
toujours positif.
II. Sinus d'un angle aigu
Définition : Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la
longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
Exemple:
ABC est un triangle rectangle en A.
[AC] est le côté opposé à l’angle.
[BC] est l’hypoténuse du triangle.
On a donc :
AC
sin 
ABC=
BC
Remarque : Le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de deux longueurs, il est donc toujours
positif.
III. Tangente d'un angle aigu
Définition : Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égal au quotient de la
longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.
Exemple:
ABC est un triangle rectangle en A.
[AC] est le côté opposé à l’angle.
[AB] est le côté adjacent à l'angle.
On a donc :
AC
tan 
ABC=
AB
Remarque : La tangente d’un angle aigu est égal au quotient de deux longueurs, elle est donc
toujours positive.
IV. Relation entre cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
Théorème: Pour tout angle aigu de mesure x, on a:
sin x
tan x =
et (cos x)²+(sin x)²=1
cos x
Démonstration :
Voir activité 4 p.233.
Remarque :
Il existe un moyen mnémotechnique pour se souvenir des formules des parties I, II et III. Il
suffit de mémoriser l’expression SOH-CAH-TOA.
SOH signifie « le Sinus est égal à la longueur du côté Opposé sur celle de l’Hypoténuse ». CAH
et TOA permettent de retrouver les deux autres formules.