TS1-TS3 spécialité CORRIGE DS1 Exercice 1 : Les nombres

TS1-TS3 spécialité
CORRIGE DS1
Exercice 1 :
Les nombres cherchés sont les nombres n tels que n = 5×3r + r avec r entier tel que : 0  r < 5 (car le
quotient est q = 3r)
Il en résulte que n = 16r avec r = 0 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3 ou r = 4 .
Les solutions sont donc 0 ; 16 ; 32 ; 48 ; 64 .
Exercice 2 :
Posons a = n(n+1)(2n + 1)
Il s’agit de prouver que a = 3k avec k ZZ
Or tout entier naturel n s’écrit n = 3q ou n = 3q +1 ou n = 3q + 2 avec q ZZ (car le reste de la division
euclidienne de n par 3 est soit 0 , soit 1 , soit 2)
Si n = 3q alors a = 3q(3q+1)(6q +1) et q(3q+1)(6q +1)  ZZ donc
3 divise a
Si n = 3q + 1 alors a = (3q+1)(3q + 2)(6q +3) = 3(3q+1)(3q + 2)(q + 1)
et (3q+1)(3q + 2)(q + 1)  ZZ donc 3 divise a
Si n = 3q + 2 alors a = (3q + 2 )(3q + 3)(6q + 7) = 3(3q + 2 )(q + 1)(6q + 7)
et (3q + 2 )(q + 1)(6q + 7)  ZZ donc 3 divise a .
Exercice 3 :
n+8
est entier  2n – 5 divise n + 8
2n –5
Or , 2n – 5 / 2n – 5 donc, si 2n – 5 / n + 8 , alors, d’après la propriété fondamentale
2n – 5 / u (2n – 5) + v (n + 8) pour tout uZZ et vZZ
En prenant u = –1 et v = 2 , on obtient : 2n – 5 / – (2n – 5)+ 2 (n + 8) = 21 donc 2n – 5 / 21
Réciproquement, (pour éviter l’étape de vérification, à la fin)
2n – 5 / 2n – 5 et si 2n – 5 / 21 , d’ après la propriété fondamentale avec u = 1 et v = 1on obtient :
2n – 5 / (2n – 5)+ 21= n + 8 donc
On a donc l’équivalence :
2n – 5 / n+ 8
2n – 5 divise n + 8  2n – 5 / 21
Or , D(21) = { – 21 ; – 7 ; – 3 ; – 1 ; 1 ; 3 ; 7 ; 21}
2n – 5 = –21  n = –8 Ou 2n – 5 = – 7  n = – 1 Ou
2n – 5 = –3  n = 1
Ou
2n – 5 = – 1  n = 2
Ou
2n – 5 = 3  n = 4
Ou
2n – 5 = 7  n = 6
Ou
On a :
2n – 5 = 1  n = 3
Ou
2n – 5 = 21  n = 13
Ainsi
S = { – 8 ; 1 ; 3 ; 6 ; –1 ; 2 ; 4 ; 13 }
Exercice 4 :
1)(n+1)3 = n3 + 3×n² ×1 + 3×1²×n + 13 = n3 + 3n² + 3n + 1
n2(n+3) + 3n + 1 = n3 + 3n² +3n + 1 donc (n+1) 3 = n2(n+3) + 3n + 1
2) (n+1)3 = n2(n+3) + 3n + 1
le reste de la division euclidienne de (n + 1)3 par n² est 3n + 1 seulement si 0  3n + 1 < n²
Or 0  3n + 1 < n²  3n + 1 < n²
(car n  IN* donc 3n + 1 est positif )
 n² – 3n – 1 > 0
Soit P(x) = x² – 3x – 1
Δ =9 + 4 = 13 x1 =
3 + 13
 3,3
2
x2 =
3 – 13
 –0,3
2
On a donc x2 – 3x – 1 > 0 si et seulement si x  ] –  ; x 1 [  ] x 2 ; +  [ .
Or n  IN .
Donc n 2 – 3n + 1 > 0  n  4 .
Pour tout n  4 , le reste est 3n + 1.
Pour les autres valeurs de l’entier n:
Pour n =
On a : a = (n + 1)3 =
Et b = n²
1
2
3
8
27
64
1
4
9
Le reste de a par b
est :
0
3
1
Exercice 5 :
9x2 = y2 + 20  (3x – y)( 3x + y) = 20
Les entiers 3x – y et 3x + y sont des diviseurs associés positifs de 20(car x IN et y IN donc 3x + y
IN) ; de plus on peut remarquer que 3x – y < 3x + y.
Or D(20) = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20}
 3x – y = 1
 3x + y = 20
Les systèmes possibles sont les suivants :


 6x = 21

 3x + y = 20
x=

y=
Donc S = {(2 ; 4)}
2
4
 3x

 3x
ou
 6x
 3x
ou 
–y=2
+ y = 10
ou
 3x

 3x
–y=4
+y=5
= 12
 6x = 9
ou 
+ y =10
 3x + y = 10
(le 1er et le 3ième sont impossibles dans IN×IN)