Corrigé pdf - Math France

Nouvelle Calédonie mars 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 : corrigé
Partie A
1) Représentons la situation par un arbre de probabilités.
B
6/10
3/10
1/10
A
1/4
L
S
B
4/10
6/10
0
3/4
D
L
S
a) La probabilité demandée est p(A ∩ L).
P (A ∩ L) = p(A) × pA (L) =
3
3
1
×
=
.
4 10
40
3
.
40
P (A ∩ L) =
b) La probabilité demandée est p(L). D’après la formule des probabilités totales,
p(L) = p(A) × pA (L) + p(D) × pD (L) =
P (L) =
3
3
6
3
18
21
+ ×
=
+
=
.
40 4 10
40 40
40
21
.
40
c) La probabilité demandée est pL (D).
pL (D) =
p(D) × pD (L)
(3/4) × (6/10)
18 40
6
p(D ∩ L)
=
=
=
×
= .
p(L)
p(L)
21/40
40 21
7
PL (D) =
6
.
7
2) Si la médaille tirée représente le château de Saumur, il est certain que cette médaille est argentée ou encore
pS (A) = 1.
Partie B
1) Pour des raisons de symétrie, la probabilité demandée est P (X < 9, 9) + P (X > 10, 1) = P (X < µ − 0, 1) + P (X >
µ + 0, 1) = 2P (X 6 µ − 0, 1) = 2P (X 6 9, 9). La calculatrice fournit
2P (X 6 9, 9) = 0, 096 arrondi à 10−3 .
La probabilité qu’une médaille produite par la machine M1 ne soit pas conforme est arrondi à 10−3 .
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1
c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.
2) a) On sait que Z suit la loi normale centrée réduite c’est-à-dire la loi normale d’espérance 0 et d’écart-type 1.
b) La probabilité que la machine M2 produise une médaille non conforme est P (Y < 9, 9) + P (Y > 10, 1) = 2P (Y 6
9, 9). Or
Y 6 9, 9 ⇔ Y − 10 6 −0, 1 ⇔
0, 1
0, 1
Y − 10
6−
⇔Z6−
.
σ
σ
σ
Par suite,
0, 1
0, 1
= 0, 06 ⇔ P Z 6 −
= 0, 03.
2P (Y 6 9, 9) = 0, 06 ⇔ 2P Z 6 −
σ
σ
La calculatrice fournit −
0, 1
= −1, 88079 . . . puis
σ
σ = 0, 053 arrondi au millième.
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2
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