Corrigé pdf - Math France

Nouvelle Calédonie mars 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 : corrigé
Partie A
1) Représentons la situation par un arbre de probabilités.
A
D
1/4
3/4
B
L
S
3/4
B
L
S
6/10
3/10
1/10
4/10
6/10
0
a) La probabilité demandée est p(A∩L).
P(A∩L) = p(A)×pA(L) = 1
4×3 10 =3 40.
P(A∩L) = 3
40.
b) La probabilité demandée est p(L). D’après la formule des probabilités totales,
p(L) = p(A)×pA(L) + p(D)×pD(L) = 3
40 +3 4×6 10 =3 40 +18 40 =21 40.
P(L) = 21
40.
c) La probabilité demandée est pL(D).
pL(D) = p(D∩L)
p(L)=p(D)×pD(L) p(L)=(3/4) ×(6/10) 21/40 =18 40 ×40 21 =6 7.
PL(D) = 6
7.
2) Si la médaille tirée représente le château de Saumur, il est certain que cette médaille est argentée ou encore
pS(A) = 1.
Partie B
1) Pour des raisons de symétrie, la probabilité demandée est P(X < 9,9) + P(X > 10,1) = P(X < µ −0,1) + P(X >
µ+ 0,1) = 2P(X6µ−0,1) = 2P(X69,9). La calculatrice fournit
2P(X69,9) = 0,096 arrondi à 10−3.
La probabilité qu’une médaille produite par la machine M1ne soit pas conforme est arrondi à 10−3.
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2) a) On sait que Zsuit la loi normale centrée réduite c’est-à-dire la loi normale d’espérance 0et d’écart-type 1.
b) La probabilité que la machine M2produise une médaille non conforme est P(Y < 9,9) + P(Y > 10,1) = 2P(Y6
9,9). Or
Y69,9⇔Y−10 6−0,1⇔Y−10
σ6−0,1 σ⇔Z6−0,1 σ.
Par suite,
2P(Y69,9) = 0,06 ⇔2PZ6−0,1
σ= 0,06 ⇔PZ6−0,1 σ= 0,03.
La calculatrice fournit −0,1
σ=−1,88079 ... puis
σ= 0,053 arrondi au millième.
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