EXEMPLES SÉPARANT CERTAINES CLASSES D`ALG`EBRES

PROCEEDINGS OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 129, Number 6, Pages 1763–1767
S 0002-9939(00)05685-9
Article electronically published on December 13, 2000
EXEMPLES S´ EPARANT CERTAINES CLASSES
D’ALG` EBRES TOPOLOGIQUES
Z. ABDELALI AND M. CHIDAMI
(Communicated by Dale Alspach)
Abstract. Esterle (1979) and ˙ Zelazko (1996 and 1990) gave an example of
an algebra which cannot be topologized as a topological algebra (with jointly
continuous multiplication), and M¨uller (in 1991) showed that there exists a
topological algebra, which is indeed a locally bounded algebra, which cannot
be topologized as a locally convex algebra.
To complete this study on the separation between the classes of algebras,
we construct for every p∈]0,1] a locally bounded algebra which is q-normed for
every q∈]0,p
p+2 [ which cannot be topologized as a locally p-convex algebra,
and we deduce an example of a locally pseudoconvex algebra which cannot
be topologized as a locally p-convex algebra for every p∈]0,1]. We also show
the existence of a topological algebra which cannot be topologized as a locally
pseudoconvex algebra.
Tous les espaces vectoriels et les alg`ebres consid´er´es ici sont r´eels ou complexes.
Une alg`ebre topologique Aest un espace vectoriel topologique s´epar´e muni d’une
multiplication associative simultan´ement continue. On dira que l’alg`ebre Aest
localement born´ee, localement pseudoconvexe, ... si l’espace vectoriel topologique
sous-jacent poss`ede la mˆeme propri´et´e. Un espace vectoriel topologique s´epar´eX
est dit localement born´eouquasi-norm´e si la topologie de Xest d´efinie par une
quasi-norme f,c’est`adirequefest une application sur Xnon n´egative qui ne
s’annule qu’en z´ero, telle que pour un certain p∈]0,1], pour tout scalaire λet
tout (x, y)∈X2,f(x+y)≤21
p(f(x)+f(y)) et f(λx)=|λ|f(x), dans ce cas le
sous-ensemble V={x∈X/ f(x)≤1}, qui est un voisinage born´edez´ero, v´erifie
V+V≤21
p+1V, ainsi la topologie de Xpeut ˆetre d´efinie par une q-norme pour
tout q∈]0,p
p+1 [([3,Theo.1,§2, Chap.III]), rappelons qu’une q-semi-norme kksur
l’espace vectoriel Xest une application non n´egative, sous additive et v´erifiant pour
tout x∈Xet tout scalaire λ,kλxk=|λ|qkxk, si on a en plus x=0sikxk=0
on dira que kkest une q-norme. De plus si (A, f) est une alg`ebre topologique
quasi-norm´ee alors pour tout q∈]0,p
p+1 [ la topologie de Apeut ˆetre d´efinie par une
q-norme sous-multiplicative.
L’espace Xest dit localement p-convexe, 0 <p≤1, (resp. localement pseudo-
convexe) si la topologie de Xest d´efinie par une famille de p-semi-normes (resp.
pi-semi-normes pi∈]0,1], i∈I). Remarquons que pour toute p-semi-norme kk,
l’ensemble absorbant V={x∈X/ kxk≤1}est un p-disque, c’est `a dire, pour tout
Received by the editors December 11, 1998 and, in revised form, May 24, 1999 and October 1,
1999.
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 46J05; Secondary 46J40.
c
2000 American Mathematical Society
1763
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1764 Z. ABDELALI AND M. CHIDAMI
couple de scalaires (λ, β),|λ|p+|β|p≤1,λV+βV ⊆V(il est clair que pour tout
q≤p,unp-disque est un q-disque). Ainsi, pour qu’une alg`ebre Asoit topologisable
comme une alg`ebre localement p-convexe (resp. localement pseudoconvexe) il faut
et il suffit qu’il existe sur Aune famille de p-disques (resp. pi-disques, pi∈]0,1])
absorbants (Vi)i∈Iv´erifiant Ti∈IVi={0}et pour tout i∈I,ilexisteji∈Itel
que Vji+Vji⊆Viet VjiVji⊆Vi. Rappelons qu’un espace vectoriel topologique
s´epar´eXest m´etrisable si est seulement si Xest F-norm´e (une F-norme kkest une
application non n´egative, sous additive et v´erifiant pour tous xet xn→0dansX
et tous scalaires λet λn→0, kλxnk→0etkλnxk→0etsi|λ|≤1,kλxk≤kxk).
Soit Aun espace vectoriel ou une alg`ebre, pour tout (p, q),0<q<p≤1, si A
est p-norm´e (resp. localement p-convexe), alors Aest q-norm´e (resp. localement q-
convexe), et dans tous ces cas Aest localement pseudoconvexe. Pour les d´efinitions
et les propri´et´es de ces classes d’espaces et d’alg`ebres topologiques voir par exemple
S. Rolewicz [3], S. Simmons [4], ou le travail de P. Turpin [5] qui contient plus de
d´etail ainsi que des exemples montrant que les inclusions entre ces classes sont
strictes.
Le probl`eme de la comparaison entre les classes d’alg`ebres sous-jacentes `a ces
classes d’alg`ebres topologiques (autrement dit, ´etant donn´e deux classes d’alg`ebres
topologiques, existe-t-il une alg`ebre de la classe la plus large qui est non topologis-
able comme une alg`ebre de l’autre classe), donne un cadre naturel aux trvaux, de
˙
Zelazko [6] et [7]1,etM¨uller [2], dont on trouve, d’une part, des exemples d’alg`ebres
qui ne peuvent pas ˆetre des alg`ebres topologiques, d’autre part on trouve, dans [2],
un exemple d’alg`ebre topologique, qui est en fait une alg`ebre localement born´ee,
qui ne peut ˆetre munie d’aucune topologie d’alg`ebre localement-convexe.
Ici, en donnant un lemme modifiant, pour le n´ecessaire, des techniques du
th´eor`eme 2 [2], nous compl´etons ces travaux en montrant (corollaire 1) que pour tout
p∈]0,1], il existe une alg`ebre localement born´ee (q-norm´ee pour tout q∈]0,p
p+2 [)
compl`ete ne pouvant ˆetre munie d’aucune topologie d’alg`ebre localement p-convexe.
Ainsi, nous d´eduisons dans le corollaire 2, un exemple d’alg`ebre localement pseu-
doconvexe m´etrisable compl`ete qui ne peut ˆetre munie d’aucune topologie d’alg`ebre
localement p-convexe pour tout p∈]0,1].
Finalement, nous donnons un th´eor`eme qui montre l’existence d’une alg`ebre
topologique m´etrisable compl`ete ne pouvant ˆetre munie d’aucune topologie d’alg`ebre
localement pseudoconvexe.
Lemme. Pour tout p∈]0,1],ilexisteunealg`ebre commutative, localement born´ee
(q-norm´ee pour tout q∈]0,p
p+2 [) Apet un ´el´ement non nul cp∈Ap,telsque:
1.cp.Ap={0};
2.siVet Wsont deux p-disques absorbants tels que V.V ⊆W,cp∈W.
Preuve. Sauf quelques modifications n´ecessaires la preuve est similaire `a celle du
th´eor`eme 2 [2].
Soient Kun ensemble non d´enombrable et Dl’ensemble NN×K(Nd´esigne
l’ensemble des nombres entiers positifs non nuls). Pour tout d∈Det tout (n, k)∈
N×K,dnk d´esignera l’image de (n, k)pard.
Pour tout d∈Det n∈N, il existe un sous-ensemble Kdn de Ket un ´el´ement
dnde N,telsquecard(Kdn)=dnet pour tout k∈Kdn,d
n=dnk.
1L’exemple [7] peut ˆetre d´eduit du corollaire 2.2 [1] d’Esterle.
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EXEMPLES S´ EPARANT CERTAINES CLASSES D’ALG` EBRES TOPOLOGIQUES 1765
Soit Al’espace vectoriel engendr´e par les symboles : c,xnk ((n, k)∈N×K),
ad(d∈D)etydnk (d∈D, n ∈N,k∈Kdn ⊆K).
On munit Adu produit commutatif d´efini par:
cA =ydnkA={0}(d∈D, n ∈N,k∈Kdn),
adad0=0((d, d0)∈D),
xnk.xn0k0=0((n, n0)∈N2,(k, k0)∈K2),
xnk.ad=(dn)1
pydnk si d∈D, n ∈Net k∈Kdn,
0sik6∈ Kdn.
Le produit de trois ´el´ements quelconques est nul, ainsi Aest une alg`ebre.
Soit Ll’ensemble des fonctions scalaires λ:k→λkd´efinies sur K`a support fini.
D’apr`es le lemme 3 [2], il existe sur Lune suite de fonctions r´eels non n´egatives
(mn)n+1∈Nv´erifiant mi+j(λ+β)≤mi(λ)+mj(β), mi(λ)≤mj(λ)pourj≤iet
mnλ(λ)=0o`unλ=card({k∈K/ λk6=0}) (on aura besoin de la d´efinition et les
propri´et´es de (mn)n+1∈Ndonn´ees dans le lemme 3 [2]).
Soit hl’application d´efinie sur Lpar:
h(λ)=
∞
X
i=0
uimi(λ)o`uui=(i+1)2
p−(i)2 pon a u2i+1 +u2i
ui
=2
2
p.
L’application hv´erifie h(λ+β)≤22
p(h(λ)+h(β)). En effet:
h(λ+β)=
∞
X
i=0
u2imi+i(λ+β)+
∞
X
i=0
u2i+1mi+(i+1)(λ+β)
≤
∞
X
i=0
u2i(mi(λ)+mi(β)) +
∞
X
i=0
u2i+1(mi(λ)+mi+1(β))
≤
∞
X
i=0
(u2i+u2i+1)(mi(λ)+mi(β)) ≤22
p(h(λ)+h(β)).
Soit fla quasi-norme d´efinie sur Apar: pour tout u∈Atel que
u=αc +X
n∈NX
k∈K
βnkxnk +X
d∈D
γdad+X
d∈DX
n∈NX
k∈Kdn
δdnkydnk,
f(u)=|α|+X
n∈N
h({βnk}k∈K)+X
d∈D
|γd|+X
d∈DX n∈N
(1
dn
)1
ph({δdnk}k∈K)
en posant δdnk =0,pourk∈K\Kdn.
D’une mani`ere analogue `a [2] on montre que la quasi-norme fv´erifie:
•u= 0 si et seulement si f(u)=0, f(λu)=|λ|f(u);
•f(u+v)≤22
p(f(u)+f(v));
•f(uv)≤22
pf(u)f(v).
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1766 Z. ABDELALI AND M. CHIDAMI
Ainsi, l’alg`ebre localement born´ee (A, f)estq-norm´ee pour tout q∈]0,p
p+2 [.
Soit Mle sous-espace vectoriel de Aengendr´e par l’ensemble:
{c−(1
dn
)1
pX
k∈Kdn
ydnk /(d, n)∈D×N}
l’espace Mest un id´eal et si (d, n)∈D×N,f(( 1
dn)1
pPk∈Kdn ydkn) = 1, ainsi on
montre que Mest ferm´e exactement comme dans le lemme 3 [2]. Soit Apl’alg`ebre
topologique quotient A/M et soit cpl’image de cpar la surjection canonique, il est
clair que cp6=0.
La technique utiliser dans la preuve du lemme 5 [2], nous permet de d´eduire la
deuxi`eme assertion de notre lemme, la premi`ere assertion ´etant ´evidente.
L’alg`ebre compl´et´ee de Apnous permet de d´eduire le r´esultat suivant:
Corollaire 1. Pour tout p∈]0,1],ilexisteunealg`ebre commutative localement
born´ee (q-norm´ee pour tout q∈]0,p
p+2 [) compl`etenepouvantˆetre munie
d’aucune topologie d’alg`ebre localement p-convexe.
Corollaire 2. Il existe une alg`ebre commutative localement pseudoconvexe m´etris-
able compl`ete ne pouvant ˆetre munie d’aucune topologie d’alg`ebre localement p-
convexe pour tout p∈]0,1].
Preuve. Soit An(n∈N) une alg`ebre v´erifiant les conditions du corollaire 1, pour
p=1
n, l’alg`ebre topologique produit Qn∈NAnr´epond `alaquestion.
Th´eor`eme. Il existe une alg`ebre topologique m´etrisable compl`ete commutative ne
peuvant ˆetre munie d’aucune topologie d’alg`ebre localement pseudoconvexe.
Preuve. Soit (pn)n≥0la suite d’´el´ements de ]0,1] d´efinie par:
p0=1 et pn+1 =pn
2(pn+2) .
Pour tout n∈N,soitAnune alg`ebre localement born´ee et cn∈An,telsqueAnet
cnv´erifient les conditions de notre lemme pour p=pn−1.Soitkk
nune pn-norme
sous-multiplicative d´efinissant la topologie de An,enrempla¸cant l’´el´ement cnpar
(1
kcnkn)1
pncn, on peut supposer que kcnkn=1.
Soit Bl’alg`ebre somme directe des alg`ebres An,n∈N, qu’on note:
B=M
n∈N
An(B={u=(un)n∈N∈Y
n∈N
An/u
n=0pourn≥nu})
on munit Bde la F-norme sous-multiplicative kkd´efinie par:
k(un)n∈Nk=
∞
X
n=1
kunkn.
Soit Mle sous-espace vectoriel de Bengendr´epar{c1−cn/n∈N}(nous identifions
les alg`ebres An`a leurs images canoniques). L’espace Mest un id´eal de Bet
c16∈ M(la fermeture de Mdans B). En effet, pour tout u=Pnu
n=2 λn(c1−cn)∈
M, ku−c1k=|1−(Pnu
n=2 λn)|p1+Pnu n=2 |λn|pndonc
ku−c1k≥max{1−
nu
X
n=2
|λn|p1+
nu
X
n=2
|λn|pn,max
2≤n≤nu
{|λn|pn}} ≥ 1.
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EXEMPLES S´ EPARANT CERTAINES CLASSES D’ALG` EBRES TOPOLOGIQUES 1767
Soit Al’alg`ebre topologique quotient B/M,etsoitcl’image de c1par la surjection
canonique, ´evidement cest l’image de cn(n∈N) par la surjection canonique et
c6= 0. L’alg`ebre Ane peut ˆetre munie d’aucune topologie d’alg`ebre localement-
pseudoconvexe. Sinon, il existera pour un certain p∈]0,1] deux p-disques absorbant
Vet Wv´erifiant: V.V ⊆Wet c6∈ W.
Soit V0(resp. W0) l’image r´eciproque de V(resp. W) par la surjection canonique,
soit n∈Ntel que pn−1<p. Sur l’alg`ebre Anles pn−1-disques absorbant V0∩An
et W0∩Anv´erfient les conditions de notre lemme, donc cn∈W0,ainsic∈Wce
qui est absurde. Ceci nous permet de d´eduire que l’alg`ebre compl´et´ee de l’alg`ebre
topologique Amontre le th´eor`eme.
Remerciement
Nous remercions le rapporteur pour ses remarques utiles qui nous ont permis
d’am´eliorer la version de ce papier.
Bibliographie
[1] J. Esterle. Sur la m´etrisabilit´e de certaines alg`ebres d’op´erateurs. Rev. Roumaine Math. Pures
Appl. 24 (1979), pp. 1157-1164. MR 81c:46002
[2] V. M¨uller. On topologizable algebras. Studia. Math 99 (1991), pp. 149-153. MR 92k:46081
[3] S. Rolewicz. Metric linear spaces. PWN, Warzawa, 1972. MR 55:10993
[4] S. Simmons. Boundedness in linear topological spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 113 (1964),
pp. 169-180. MR 29:3863
[5] P. Turpin. Sur une classe d’alg`ebres topologiques g´en´eralisant les alg`ebres localement born´ees,
These, Univ de Grenoble, 1966. MR 34:6566
[6] W. ˙ Zelazko. Concerning topologization of real or complex algebras. Colloq. Math. Nol. 71
(1996), pp. 111-113. MR 97f:46070
[7] W. ˙ Zelazko. Example of an algebra which is nontopologizable as a locally convex topological
algebra. Proc. Amer. Math. Soc 110 (1990), pp. 947-949. MR 91c:46068
[8] W. ˙ Zelazko. On the locally bounded and m-convex topological algebras, Studia. Math. 19
(1960), pp. 333-356. MR 23:A4033
D´ epartement de Math´ ematiques, Univ´ ersit´ e Mohammed V, Facult´ e des Sciences, B.P
1014 Rabat, Maroc
E-mail address:[email protected]
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