Codimension

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Enoncés
Codimension
Exercice 1 [ 00187 ] [Correction]
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E vériant
F ∩ G = {0}.
On suppose
codimF = dim G < +∞
1
Exercice 6 [ 03855 ] [Correction]
Soient ϕ1 , . . . , ϕn des formes linéaires indépendantes sur un K-espace vectoriel E
de dimension quelconque. Déterminer la codimension du sous-espace vectoriel
F =
n
\
ker ϕi
i=1
Montrer que F et G sont supplémentaires.
Exercice 2 [ 00176 ] [Correction]
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que F ⊂ G.
Montrer que si F est de codimension nie alors G aussi et codimG ≤ codimF
Exercice 3 [ 03182 ] [Correction]
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de codimension nie d'un K-espace
vectoriel E .
On suppose
F ⊂ G et codimF = codimG
Montrer F = G.
Exercice 4 [ 00177 ] [Correction]
Soient E un espace vectoriel et F , G deux sous-espaces vectoriels de E .
On suppose que F ⊂ G. Montrer que F est de codimension nie dans E si, et
seulement si, F est de codimension nie dans G et que G est de codimension nie
dans E . Observer qu'alors
codimG F + codimE G = codimE F
Exercice 5 [ 02678 ] [Correction]
Soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un
sous-espace vectoriel de F . On suppose que G est de codimension nie dans E .
Montrer que
codimE G = codimE F + codimF G
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Corrections
Corrections
On a alors
xK = x − xF ∈ G ∩ K
Exercice 1 : [énoncé]
Soit H un supplémentaire de F dans E . On a dim H = dim G.
Considérons p la projection sur H parallèlement à F .
ker pG = ker p ∩ G = F ∩ G = {0} donc pG : G → H est injective et puisque
dim H = dim G < +∞, pG est un isomorphisme de G vers H .
Pour tout x ∈ E , posons a = (pG )−1 (p(x)) et b = x − a. On a x = a + b, a ∈ G et
p(b) = p(x) − p(a) = p(x) − p(x) = 0 donc b ∈ ker p = F . Ainsi E = G + F .
Exercice 2 : [énoncé]
Si F est de codimension nie alors F admet un supplémentaire H de dimension
nie.
Soit K un supplémentaire de G ∩ H dans H (existe car H est de dimension nie).
G ∩ K = G ∩ H ∩ K = {0} car K ⊂ H et F ⊂ G ⊂ G + K et H ⊂ G + K donc
E = F + H ⊂ G + K . G et K sont supplémentaires, or K est de dimension nie
donc G est de codimension nie et codimG = dim K ≤ dim H = codimF car K
est sous-espace vectoriel de H .
Exercice 3 : [énoncé]
Soit K un supplémentaire de F dans E . Puisque
E = F ⊕ K et F ⊂ G
on a immédiatement E = G + K . Montrons que cette somme est directe.
L'intersection G ∩ K est sous-espace vectoriel de K et puisque K est de dimension
nie, il existe un sous-espace vectoriel K 0 vériant
(G ∩ K) ⊕ K 0 = K
On vérie alors
Or
2
car x et xF appartiennent à G.
On en déduit xK = 0 puis x = xF ∈ F .
Finalement G ⊂ F puis G = F .
Exercice 4 : [énoncé]
Supposons que F soit de codimension nie dans E . F possède un supplémentaire
de dimension nie H . Considérons alors K supplémentaire de H ∩ G dans H . G et
K sont supplémentaires dans E et K est de dimension nie donc G est de
codimension nie dans E . De plus, F et H ∩ G étant supplémentaires dans G, on
peut dire que F est de codimension nie dans G.
Enn la relation dim H = dim K + dim H ∩ G se relit
codimE F = codimG F + codimE G.
Inversement, si F est de codimension nie dans G et G de codimension nie dans
E alors la somme d'un supplémentaire de F dans G et d'un supplémentaire de G
dans E dénit un supplémentaire de dimension nie de F dans E . On peut alors
conclure.
Exercice 5 : [énoncé]
G possède un supplémentaire de dimension nie H . Considérons alors K
supplémentaire de H ∩ F dans H .
Les espaces F et K sont supplémentaires dans E et K est de dimension nie donc
F est de codimension nie dans E .
De plus, G et H ∩ F étant supplémentaires dans F , on peut dire que G est de
codimension nie dans F .
Enn la relation
dim H = dim K + dim H ∩ F
E = G ⊕ K0
se relit
codimE G = codimE F + codimF G
dim K 0 = codimG = codimF = dim K
donc K = K 0 . Ainsi
E =G⊕K
On peut alors montrer que G est inclus dans F .
Soit x ∈ G. Puisque F et K sont supplémentaires dans E , on peut écrire
x = xF + xK avec xF ∈ F et xK ∈ K
Exercice 6 : [énoncé]
Considérons l'application linéaire u : E → Kn déterminée par
u(x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕn (x))
Le noyau de l'application linéaire u est F .
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Corrections
3
Si l'application linéaire u n'est pas surjective, son image est incluse dans un
hyperplan H de Kn et il existe donc a1 , . . . , an ∈ K non tous nuls tels que
∀x ∈ E, a1 ϕ1 (x) + · · · + an ϕn (x) = 0
Ceci contredit la liberté de la famille (ϕ1 , . . . , ϕn ). Ainsi Im u = Rn .
Par le théorème du rang, le noyau de u est de codimension égale à la dimension de
l'image de u. Ainsi, le sous-espace vectoriel F est de codimension n.
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