Nantes Exercice 1 Correction - Lycée Polyvalent d`Estournelles de

Exercice 1 : Éléments de correction
1) A = 16, m = 1
a = 3, b = 5, c = 4, d = 4
On a bien : 16=3+5+4+4 et a + 1 = b – 1 = c×1 =
d
1
= 4
2) 288 quadripartite d’opérateur 2
a = 62, b = 66, c = 32, d = 128.
On a bien : 62 + 66 + 32 + 128 = 288 et a + 2 = b – 2 = c×2 =
d
2
= 64.
288 quadripartite d’opérateur 3
a = 51, b = 57, c = 18, d = 162.
On a bien : 51 + 57 + 18 + 162 = 288 et a + 3 = b – 3 = c×3 =
d
3
= 54.
3) a) a + m = b – m = cm =
d
m
d'où
a = m(c – 1) ; b = m(c + 1) et d =m²c.
(*).
A = mc – m + mc + m + m²c
= (m + 1)²c
D’où :
c=A
(m+1)2
b) On en déduit :
a=m
[
A
(m+1)2−1
]
;
b=m
[
A
(m+1)2+1
]
et
d=
(
m
m+1
)
2
A
c) Soit A un nombre quadripartite d'opérateur m, k un entier non nul.
Posons :
a ' =m
[
kA
(m+1)2−1
]
;
b '=m
[
kA
(m+1)2+1
]
;
c ' =kA
(m+1)2
et
d=
(
m
m+1
)
2
kA
.
Ces nombres sont des entiers positifs car m,
c=A
(m+1)2
et c' = kc sont des entiers strictement
positifs, on vérifie immédiatement que leur somme vaut kA et que a' + m = b' – m = c'm =
d '
m
.
4) Si m=13 on a : A=196c.
Le plus petit multiple de 196 à 5 chiffres est 10192 et le plus grand 99960.
On en déduit les éléments et opérateurs correspondants :
c1=52
puis
a1=663
,
b1=689
,
d1=8788
pour A1=10192
c2=510
puis
a2=6617
,
b2=6643
,
d2=86190
pour A2=99960.

5) 187 = 17×11, 221 = 17×13 et 3468 = 17²×12
17 est le seul multiple commun à ces trois nombres d’où nécessairement m=17.
D’après les relations (*) : d = 3468, c = 12, puis a = 187, b = 221 et A = 3888.
6) Soit B un entier non nul donné, multiple d’un carré parfait p autre que 1 : p=k² (k entier positif).
k est donc strictement supérieur à 1.
m = k – 1 est non nul et B s’écrit sous la forme (m + 1)² où  est un entier naturel non nul.
En posant  = c on peut alors calculer les valeurs correspondantes de a, b et d (formules (*)).
Il faut noter que l’écriture de B sous la forme (m + 1)² n’est pas nécessairement unique et que
l’on peut obtenir plusieurs opérateurs différents.
Exemple : si B=900 on a : B=4225 (c=4 et m=14)
ou : B=9100 (c=9 et m=9)
ou : B=2536 (c=25 et m=5)….etc. On peut même avoir : c=1 et m=29
qui donnent a=0, b=58, d=841.
7) On a : 18 117=92 013=9×(3×11×61).
S’il existe un opérateur m, (m+1)² doit diviser 18 117. Or m étant un naturel strictement positif,
(m+1) est strictement supérieur à 1.
Les entiers 3, 11 et 61 étant premiers, on a nécessairement , (m+1)²=9, soit : m+1=3 i.e. m=2.
On a alors : a = 4024, b = 4028, c = 2 013, d = 8052.
8) D’après la question 6, tout multiple non nul de 4 est un nombre quadripartite. Or toute suite de
4 entiers naturels consécutifs contient un multiple de 4.
Le seul cas à étudier est la suite (0,1,2,3) contenant le multiple 0 de 4 :
- 0 n’est pas quadripartite par définition d’un tel nombre,
- ni 1, ni 2, ni 3 ne sont quadripartites car ils ne peuvent se mettre sous la forme c(m+1)² que
si m=0 ce qui est exclu.
Conclusion : toute suite de 4 entiers naturels consécutifs sauf la suite (0,1,2,3) contient un
nombre quadripartite.