NANTES EXERCICE 1 Soit A un entier positif non nul. Le nombre A

NANTES
EXERCICE 1
Soit A un entier positif non nul.
Le nombre A est dit quadripartite s'il existe 4 entiers positifs a, b, c, d et un entier positif non nul m
tels que A soit égal à la somme des entiers a, b, c, d et que les nombres : a augmenté de m, b diminué
de m, c multiplié par m et d divisé par m soient égaux.
Dans la suite du texte,a, b, c et d sont appelés éléments et m opérateur du nombre quadripartite A.
Par exemple, 8 est quadripartite d'opérateur 1 et d’éléments a = 1, b = 3, c = 2 et d = 2.
En effet : 8 est égal à la somme a + b + c + d = 1 + 3 + 2 + 2 d’une part, et, d’autre part,
les nombres a + 1, b – 1, c×1,
d
1
sont égaux.
1. Vérifier que le nombre 16 est un nombre quadripartite d’opérateur 1.
2. Vérifier que le nombre 288 est un nombre quadripartite d’opérateur 2 mais aussi d’opérateur 3.
3. a) Déterminer une relation donnant le troisième élément c d’un nombre quadripartite A, en
fonction de A et de m.
b) En déduire des relations donnant les trois autres éléments a, b et d respectivement, en
fonction de A et de m.
c) Montrer que si A est un nombre quadripartite d'opérateur m alors tout multiple non nul de A
est quadripartite de même opérateur m.
4. Donner le plus petit nombre quadripartite à 5 chiffres, d’opérateur 13, ainsi que le plus grand
nombre quadripartite à 5 chiffres, d’opérateur 13. Préciser les éléments a, b, c et d associés dans
chacun des cas.
5. On connaît trois éléments d'un nombre quadripartite : 187, 221, 3468. Quel est ce nombre ?
Quels sont alors l’opérateur m et les 4 éléments a, b, c et d ?
6. On dit qu’un nombre entier est un carré parfait lorsqu'il est le carré d'un entier.
Un nombre entier positif non nul donné, qui est multiple d'un carré parfait différent de 1, est-il
quadripartite ?
7. Démontrer que 18 117 est quadripartite et qu'il n'a qu'un seul opérateur.
Donner alors les quatre éléments associés.
8. Peut-on trouver une suite de quatre entiers consécutifs non nuls non quadripartites ? Justifier.