Les matrices -2013-2014

Cours PCSI (2013-2014) Les matrices Lycée Baimbridge
Table des matières
Introduction..........................................................................................................................................2
I- Opérations sur les matrices...............................................................................................................3
1- Définitions et ensembles de matrices..........................................................................................3
2- Structure d'espace vectoriel de Mnp(K)......................................................................................4
a- Somme de deux matrices de même dimension.......................................................................4
b- Multiplication d'une matrice par un scalaire...........................................................................6
c- Structure d'espace vectoriel.....................................................................................................6
3- Le produit de deux matrices........................................................................................................7
a- Multiplication d'une matrice par un vecteur colonne..............................................................7
b- Multiplication de deux matrices.............................................................................................8
c- Propriétés du produit...............................................................................................................9
4- Structure d'anneau de Mn(K)......................................................................................................9
a- Structure d'anneau non commutatif, non intègre....................................................................9
b- Puissance d'une matrice et binôme de Newton pour des matrices qui commutent..............12
II- Matrices carrées inversibles..........................................................................................................14
1- Définitions et exemples.............................................................................................................14
2- Le groupe linéaire......................................................................................................................15
III- Transposition................................................................................................................................17
1- Définition et exemples...............................................................................................................17
2- Structure d'espace vectoriel des matrices symétriques et antisymétriques................................18
Conclusion :........................................................................................................................................19
1/19

Cours PCSI (2013-2014) Les matrices Lycée Baimbridge
Introduction
« Les matrices : des tableaux de nombres pour représenter le monde »
Tangente hors série n°44.
Économie, électronique, astronomie, graphisme, jeux.
Chiffrement des données, l'infographie, l'imagerie médicale, la résolution d'équations linéaires
simultanées, mécanique quantique (structure de l'atome), équilibre des corps rigides en physique,
théorie des graphes, théorie des jeux, réseaux électriques.
Démographie évolution d'une population.
Les Chinois connaissaient les carrés magiques avant Jésus-Christ.
Généralité de l'algèbre : extension des lois de composition interne à d'autres objets que des
nombres.
À l'origine matrice et déterminant liés.
Gauss utilise une substitution linéaire.
Terme « déterminant » dû à Cauchy.
James Sylvester (1814-1897 ) emploie le terme matrice en 1850, dans son article
« On a New Class of Theorems ». Membre de la Royal Society, American Journal of Mathematics.
Arthur Cayley (1821-1895 1858 « A memoir on the theory of Matrices ».
Chaque année 40% quitte la capitale et 20% du reste de l'île vient dans la capitale.
U
n
=
(
x
n
y
n
)
U
n
+
1
=
A
×
U
n
Avec A=
(
0,6 0,2
0,4 0,8
)
. U
n
=A
n
×U
0
.
lim
n→∞
A
n
=
(
1
31 3
2
32 3
)
À l'équilibre.
2/19

Cours PCSI (2013-2014) Les matrices Lycée Baimbridge
I- Opérations sur les matrices
Dans tout le cours K désigne ℝou ℂ.
1- Définitions et ensembles de matrices.
Définition d'une matrice.
Soit (
n
,
p
)∈ℕ
∗
×ℕ
∗
.
Une matrice A de
n
lignes et
p
colonnes à coefficients dans
K
est une famille d'éléments
de
K
indexée par ⟦
1,
n
⟧×⟦
1,
p
⟧. A=
(
a
ij
)
1≤i≤n
1
≤
j
≤
p
.
Notation matricielle : A=
(
a
1,1
a
1,2
... a
1, p
a
2,1
a
2,2
... a
2, p
... ... ... ....
a
n,1
a
n,2
.... a
n ,p
)
Remarque :
a
i
,
j
est le terme situé à la i
ème
ligne et à la j
ième
colonne.
Notation :
M
n
,
p
(
K
)est l'ensemble des matrices à
n
lignes et
p
colonnes à coefficients dans
K
.
Cas particuliers :
p
=
==
=
1
: matrice colonne. La matrice peut être identifiée dans ce cas à un vecteur de K
n
.
C'est une
n
-liste d'éléments de K, ou un n-uplet d'éléments de K.
n
=
==
=
1
: matrice ligne.
Vecteurs colonnes , vecteurs lignes d'une matrice.
n
=
==
=
p
: matrice carrée d'ordre n.
M
n
(
K
)est l'ensemble des matrices carrées d'ordre
n
.
Parmi les matrices carrées on a :
Définition
Une matrice diagonale est une matrice carrée telle que tous ses coefficients situés hors de la
diagonale sont nuls.
i
≠
j
⇒
a
i , j
=
0
.
D
n
(
K
)
3/19

Cours PCSI (2013-2014) Les matrices Lycée Baimbridge
Définition :
Les matrices triangulaires supérieures d'ordre n sont les matrices carrées d'ordre
n
qui
vérifient :
i
>
j
⇒
a
i
,
j
=
0
.
L'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note :
T
n
(
K
)
Définition :
Les matrices triangulaires inférieures d'ordre n sont les matrices carrées d'ordre n qui vérifient :
i
<
j
⇒
a
i
,
j
=
0
Exemples :
Matrice nulle.
O
n
,
p
. ∀(
i
,
j
)
,
a
i
,
j
=
0
Matrice identité :
I
n
=δ
i
,
j
.
i
≠
j
⇒
a
i
,
j
=
0
et ∀
i
,
1
≤
i
≤
n
,
a
i
,
i
=
1
(
E
k
,
l
)
i
,
j
=δ
k
,
i
×δ
l
,
j
: un 1 à la k
ème
ligne et l
ième
colonne et des 0 partout ailleurs.
2- Structure d'espace vectoriel de M
np
(K)
a- Somme de deux matrices de même dimension.
Définition
Soient (A , B)∈(M
n, p
(K))
2
, la matrice
A
+
B
∈
M
n
,
p
(
K
)est définie par :
(
A
+
B
)
i
,
j
=
a
i
,
j
+
b
i
,
j
Remarque : on ne peut additionner que des matrices de même taille.
Exemples :
4/19

Cours PCSI (2013-2014) Les matrices Lycée Baimbridge
Propriétés (1)
L'addition est associative :
A
+(
B
+
C
)=(
A
+
B
)+
C
L'addition est commutative.
A
+
B
=
B
+
A
L'addition possède un élément neutre :
O
n
,
p
:
A
+
O
n
,
p
=
O
n
,
p
+
A
=
A
Tout élément admet un symétrique. La symétrique de
A
est la matrice
(
A
)=(
a
i
,
j
)
.
A
+(
A
)=(
A
)+
A
=
O
n
,
p
.
(
M
n
,
p
(
K
)
,
+) est un groupe commutatif.
Définition
Un groupe
G
est un ensemble muni d'une loi de composition interne : ∀(a ,b)∈G
2
:a∗b∈G
–associative. ∀(a ,b ,c)∈G
3
,a∗(b∗c)=(a∗b)∗c
–qui possède un élément neutre e.
∀
a
∈
G
,
a
∗
e
=
e
∗
a
=
a
.
–tel que tout élément admette un symétrique.
∀
a
∈
G
,
∃
a
1
∈
G
:
a
∗
a
1
=
a
1
∗
a
=
e
5/19