Sur les catégories préadditives topologiques

C AHIERS DE
TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
CATÉGORIQUES
K AZEM L ELLAHI
Sur les catégories préadditives topologiques
Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome
19, no 1 (1978), p. 79-85
<http://www.numdam.org/item?id=CTGDC_1978__19_1_79_0>
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CAHIERS DE TOPOLOGIE
Vol. XIX -1 (1978)
ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
SUR LES CATEGORIES PREADDITIVES TOPOLOGIQUES
par Kazem LELLAHI
( A , A’, T) est une
catégorie préadditive double topologique et (B, T’) une catégorie préadditive topologique, l’ensemble des foncteurs préadditifs continus de (B, T’)
vers ( A’, T) est canoniquement >> muni d’une structure de catégorie préadditive topologique. En particulier, en prenant pour A la catégorie double
préadditive topologique des quatuors associée à une catégorie préadditive
topologique, on définit un «Hom interne » sur la catégorie des foncteurs préadditifs continus. Ces résultats généralisent ceux de [2] au cas des catégories préadditives topologiques.
Le but de
cet
article
est
de
montrer
NOTAT’IONS ET CONVENTIONS. Si
les sous-ensembles de E
T
sont
E -
que, si A
(E, T)
toujours
=
espace
topologique,
topologie
induite par
est un
munis de la
les produits E n de la topologie produit T n .
et
catégorie préadditive dont l’ensemble sous-jacent est A
A - (A* , A+), A
étant la catégorie et A+ le groupoïde
Une
sera
*
notée par
jacents.
Dans
ce cas on
désignera
sous-
par:
applications source et but de A*,
-E l’application (e’, e)... Oe ,e de Ao X Ao dans A , où A0 est
semble des objets de A* et Oe le l’élément neutre du groupe abélien,
e’. A . e = Hom (e’, e) , sur l’ensemble des flèches de e vers e’ ,
- a
-
y
et
B
les
l’application
de A
dans Ao X Ao
B (i.e. y =[B,a]),
. i: A - A l’ application 1(x )
Si
on
considère
catégorie C ,
la
à l’ensemble des
une
topologie
unités)
sera
la
noté
sont a
et
= - x .
topologie T
sur
dont les composantes
l’en-
sur
l’ensemble
topologie,
79
l’ensemble
Co
notée
des
T, ,
sous-jacent à une
objets de C (identifié
induite par T .
appelle catégorie préadditive topologique ( abrégé en
CPT) un couple A = (A , T ) formé d’une catégorie préadditive A et d’une
topologie T sur A telle que les applications a , B, E ,E, la loi de A et
la loi de A+ soient continues. Dans ce cas, on dira que T est compatible
1. On
DEFINITION
la
avec
structure
de A .
EXEMPLES.
1° Tout
une
grossière)
3° Soit
sur X . On
R
topologique,
au sens
usuel,
CPT ayant
est une
seule unité.
2° Toute
prenant
en
unitaire
anneau
catégorie préadditive
est une
munie de la
topologie
discrète ( resp.
CPT.
(X, T’) un espace topologique et R une relation d’équivalence
sait que R est muni d’une structure de catégorie R* . De plus,
.
y. R. x = { (y, x) }
sur
muni d’une
la seule
structure
de groupe
possible,
préadditive R. Si T désigne la
de
tocatégorie
pologie induite par T’ X T’ sur R , alors ( R, T ) est une CPT. En particulier, pour tout espace topologique X , le groupoïde des couples de X est
est
une
structure
CPT.
4° A
manière
tout
espace fibré vectoriel1
«canonique»
des CPT
5° L’ensemble des
jets
structure
cette structure
et
de classe
de
(X, T’)
un
peut associer de
infinitésimaux d’ordre 1 de R dans
catégorie préadditive
[3b].
Soit X =
on
[3b] .
différentielle de dimension finie
d’une
E(B,Rm,G,H),
espace
et
C2
d’une
topologique
une
variété
«canoniquement»
muni
topologie compatible
avec
est
et a
un
ensemble de par-
ties compactes de X vérifiant:
(*) La réunion de
o’
est X et, pour
tout
SEd
et tout
xES,
il existe
voisinage V de x dans ( S, T’/ S ) tel que V E d.
On sait alors [1] que, pour tout espace topologique Y
( Y, T) , l’ensemble Top ( Y , X ) des applications continues de X dans Y peut être muni de
la topologie (7-ouverte. On note do (Y, X) = ( Top (Y, X), d o ( T, T’)) cet
espace topologique. On note do (-, X ) est un foncteur de Top vers Top ,
un
=
80
qui préserve les limites projectives ( loc. cit.).
PROPOSITION 1.
rifiant (*)
et
Soit X=
soit A
. peut être muni d’une
topologie
oo
t
l’
est
une
structure
de
un
topologique
espace
Top ((A , T ), X )
catégorie préadditive compatible avec la
cette
on a
sorte
que
g(x). f (x)
application continue,
une
loi de
et
de
Dans
car
catégorie
l’addition de A
cation
est
la
défini.
De plus g à f:
multiplication
sur
entraîne que
tout
de A
est
x ->
g(x). f (x)
est une
continue. Ainsi
Top (( 4, T ), X ) . De même la continuité de
si f et g ont mêmes source et but, l’appli-
f+g: x -> f (x) + g (x) est continue. Muni de cette multiplication,
cette addition, Top ((A, T ), X) devient une catégorie préadditive.
celle-ci,
on a :
Pour prouver que
ao ( T, T ’)
gorie préadditive,
il suffit de remarquer que
où Tl,
vé-
CPT. Alors l’ensemble
pour
est
a
catégorie sont les applications continues de
( Ao , T0) et l’unité correspondant à f : X -> ( Ao , To ) est t 0 f où
insertion de Ao dans A . Si f e Top (( A , T), X ) , on pose
objets de
Donc si
de
muni d’un
( T , T’).
P R EUV E. Les
X dans
( X , T)
(A, T)
=
d et yl
tion des
est
compatible
les
homéomorphismes
limites projectives par do(-, X ) :
sont
81
avec cette
structure
de caté-
suivants déduits de la préserva-
où T * T
A.*A.
et
T* T
sont
respectivement les topologies induites
par T X T
sur
et A+*A+. Il
DEFINITION 2. Soit p :
phismes [5].
H -> Ens
On dit que
un
A=(A,s)
foncteur fidèle
est une
qui reflète les
isomor-
catégorie préadditive p-struc-
turée si :
1° A
catégorie préadditive ;
2° (A* , s ) est une catégorie Restructurée [2] ;
3° il existe un produit so X so dans p et u : so X so - s
tel que
4° il existe
s+ -> s tel
est une
produit
un
5° il existe z :
s -> s
Toute C P T
d’oubli de
Top
vers
fibré s+ de
(y ,y )
et un
k+:
que
tel que p (z ) * 1 .
est une
catégorie préadditive
structurée par le foncteur
Ens .
Supposons que pa soit le foncteur d’oubli de Fa vers Ens qui à
chaque objet, associe son ensemble sous-jacent, où Fa est la catégorie
des foncteurs préadditifs associée à un univers Il . Une catégorie préaddi-
appelée une catégorie préadditive double. Une telle
structure est la donnée d’un couple de catégories préadditives sur le même
ensemble A , disons ((A*, A +), (A0, A+)) , vérifiant:
1° Ao est une sous-catégorie préadditive de (A0, A+ ) ;
2° le domaine de la multiplication (resp. de l’addition) de (A. , A+)
est une sous-catégorie préadditive de A’ X A’ où A’= ( Ao , A+ ) ;
3 ° les applications a , B , E , E , . , + associées à A sont des foncteurs
préadditifs pour A’ et les structures induites par A’ et A’ X A’ définies
tive
pa-structurée
dans 1
et
2.
propriétés on peut vérifier facilement
catégorie préadditive double, ( A’, A ) l’est aussi.
Avec
une
est
ces
CAS P ARTICULIER:
ble ayant
une
un anneau
double ( i. e.
seule unité pour les deux
82
que, si
( A , A’) est
catégorie préadditive doulois ) n’est qu’un anneau commutaune
tif ( voir
[4], exercice) .
LEMME 1.
soit
une
B, A et A’ trois catégories préadditives telles que (A, A’)
catégorie préadditive double. Alors l’ensemble 5:.(A, B) des
Soit
foncteurs préadditifs de B dans A’ muni des lois :
(g, f) -> g f, où g f (x) g(x). f (x) ssi g(x). f (x)
=
tout x
définit
foncteur de B dans A X A
h(x)+h’(x)
a
qui prend
ses
valeurs dans la
sous-
multiplication (resp. de
composé de ce foncteur préadditif
définie par le domaine de la
l’addition) de A . On voit que g f
le foncteur
ssi
5:,,(A, B).
L’application
catégorie préadditive
h(x)+h’(x)
=
P R EUV E.
avec
pour
de B,
(h, h’) -> h + h’, où (h + h’)(x)
un sens pour tout x de B,
est une catégorie préadditive, notée
un
sens
a un
est
préadditif - ( resp.
+
le
). L’associativité des deux lois
est
évidente. En posant
préadditifs de B dans Ao (muni
des lois de A ’ ). On a donc une structure de catégorie sur Fa (A’, B). On
vérifie de même que l’addition donnée en fait une catégorie préadditive. //
on
voit que
a
f et B f
sont
des foncteurs
C AS P A RTICUL IER. EX EMP L E. Soit
A
catégorie préadditive. Sur l’ensemble des carrés commutatifs de A’ , on a deux lois, la multiplication latérale et la multiplication longitudinale, qui en font une catégorie double.
On
a
lois,
une
aussi deux lois additives déduites de celles de A . Muni de
cet
ensemble devient
Si B
que la
est une
catégorie
ditifs de B dans
Dans le
conque,
AB
est
une
catégorie
catégorie
double
préadditive, Fa
préadditive,
(A2 , B ) n’est
des transformations naturelles
A,
cas
notée
AB.
où A
est un anneau
l’anneau des
83
notée
entre
quatre
A2.
rien d’autre
les foncteurs préad-
commutatif et B
homomorphismes
ces
un anneau
de B dans A .
quel-
DEFINITION 3. On dit que
(A , A’, T )
catégorie préadditive double
A
si
en
et A’ = ( A’, T ) sont des
CPDT)
T
)
(A
,
(
abrégé
topologique
CPT et ( A, A’) une catégorie préadditive double.
est une
=
Par
taire
exemple, une CPDT
commutatif topologique.
ayant
seule unité
une
uni-
est un anneau
(A, A’, T ) est une CPDT et si B (B, T’) est une CPT,
l’ensemble des foncteurs préadditi fs continus de (B, T’) vers (A, T) est
une sous-catégoiie préadditive de
Fa(A’,B) notée 5:.,(A, B) , où
Si
L EMME 2.
semble
=
Fn
effet, de la continuité des opérations de A
est
stable pour les
Supposons
on
déduit que
cet en-
de Fa(A’, B ).
opérations
maintenant B muni d’un
Q
vérifiant
(*).
THEOREME 1. Avec les notations
précédentes le couple (Fa(A’, B), T ") ,
où T " est la topologie induite par ao ( T , T’) sur j= a.c. (A’, B ), est une
catégorie préadditive topologique.
(C, T)
PREUVE. Si
C,
ditive de
[3 a].
Ici
est une
CPT
alors C’ muni de la
Fac(A’ , B )
est une
et
si C’ est
une
sous-catégorie préad-
topologie T’ induite par T
sous-catégorie préadditive
préadditive Top((A, T), (B, T’))
do(T , T’J est une topologie compatible avec les lois de
préadditive ( Proposition 1), ce qui achève la preuve. / /
est une
de la
CPT
catégorie
définie dans le Lemme 1. D’autre part
cette
catégorie
A = (A, T ) et B = (B, T’) deux CPT et C7 un ensemble de
compacts de (B, T’) vérifiant (*). D’après ce qui précède, on peut munir
A B d’une topologie compatible avec sa structure algébrique. Notons A Ba
cette CPT. Pour B et cl fixés, la correspondance associant ABu à A déSoit
finit
un
continus
de ?
foncteur
entre
(- )Ba
CPT)
vers
associé à a , noté
Fac
( i, e. catégorie des foncteurs préadditifs
elle-même. Appelons ce foncteur le foncteur Hom
de
Homa .
PROBLEME. Comment choisir
o’
pour que le foncteur
joint ?
84
Homa
admette
un
ad-
Il
est
clair que, pour répondre à
cette
question,
il faut, ayant deux
catégories préadditives topologiques
topologie produit tensoriel » T Od T’ , de
manière que (A OB, TOd T’) soit une catégorie préadditive topologique,
où A O B désigne la catégorie préadditive produit tensoriel des catégories
pouvoir choisir
préadditives A
Q
et
et
B.
définir
une
REFERENCES
1. A.
2.
BASTIANI, Topologie, Cours polycopié ( chapitre IV), Amiens, 1973.
BASTIANI-EHRESMANN, Catégories de foncteurs structurés, Cahiers Topo.
et
Géo. Diff. XI- 3 (1969).
3. K. LELLAHI, a)
Catégories préadditives structurées, Esquisses Math.
b) Sur les catégories préadditives structurées, Cahiers Topo.
( 1971).
4. C. EHRESMANN,
Catégories topologiques,
I à
et
Géo.
7
Diff.
Département
de
Categories for
the
working mathematician, Springer,
Mathématiques
Universit é de Téhéran
P.O. Box 314- 1981
TEHERAN. IRAN
85
XII- 2
III, Indigationes Math. 28, Amster-
dam ( 1966).
5. S. MACLANE,
( 1971).
1971.