30/03/2017 DS : Suites 1S

30/03/2017 DS : Suites Calculatrice autorisée NOM : . . . . . . . . . 1S
Exercice 1 ..................................................................................................4 points
1. Soit la suite (Vn)définie par V1= 2,V2= 4 et Vn+2 =Vn+1 + 2Vn
3n. Calculer V3.
2. Soit an=3n−5
2pour tout n∈N. Démontrer que (an)est arithmétique.
3. Soit xn=72n+1
5pour tout n∈N. Démontrer que (xn)est géométrique.
Exercice 2 ................................................................................................4,5 points
Soit (Un)la suite définie par U0= 1 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1 =1
2Un+ 3
1. Calculer U1et U2, puis démontrer que la suite (Un)n’est pas arithmétique et n’est pas géométrique.
2. Soit (Vn)la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par Vn=Un−6.
Démontrer que la suite (Vn)est géométrique.
Exercice 3 ..................................................................................................6 points
Etudier les variations des suites (An),(Bn)et (Un)définies ci-dessous pour n>0:
An=1
3n
−5Bn=2n
7n+4 Un= 2n2−11n+ 24
Exercice 4 ................................................................................................3,5 points
Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la
masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour. La société met en place le dispositif industriel
suivant :
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries.
Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve.
Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus. L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un)définie de la façon suivante :
u0= 1 000 et, pour tout entier naturel n,un+1 = 1,2un−100.
1. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.
On précisera en particulier ce que représente un.
2. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de
bactéries dépassera 30 kg.
À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
3. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au pro-
blème posé dans la question précédente. Compléter cet algorithme.
uet nsont des nombres
uprend la valeur 1 000
nprend la valeur 0
Tant que ................ faire
uprend la valeur ..........
nprend la valeur ..........
Fin Tant que
Afficher ..........
Exercice 5 ..................................................................................................2 points
Soit (un)la suite définie par son premier terme u0et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 =aun+b
(aet bréels non nuls tels que a6= 1 )
On pose, pour tout entier naturel n, Vn=un−b
1−a. Démontrer que, la suite (Vn)est géométrique.