Géométrie dans l`Espace

Géométrie dans l’Espace
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2008/2009
Table des matières
1 Perspective cavalière 2
2 Droites et plans de l’Espace 3
2.1 Règlesd’incidence ............................................ 3
2.2 Positions relatives de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Deux résultats liés au parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Orthogonalité dans l’espace 5
Table des figures
1 Représentation d’un cube en perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Unpeudegéniecivil............................................. 3
3 Unplanenperspectivecavalière .................................... 3
4 Intersection avec deux plans parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Théorèmedutoit............................................. 5
6 Définitiondel’orthogonalité....................................... 6
7 Théorèmedelaporte .......................................... 6
Liste des tableaux
1 Positionsrelativesdedeuxplans .................................... 4
2 Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
∗Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1

1 PERSPECTIVE CAVALIÈRE
En préliminaire :
Activité : Activité page 3171[Modulo]
1 Perspective cavalière
Définition : La perspective cavalière est une technique de représentation de l’espace sur un support plat
(tableau, feuille, etc.). Elle suit les règles suivantes :
– Les plans parallèles au support choisi (appelé plans frontaux) sont représentés en vraie grandeur ;
– toute droite perpendiculaire aux plans frontaux (appelée fuyante) sont représentées par des droites
faisant avec l’horizontale un angle αdonné ;
– sur les fuyantes, les longueurs sont multipliées par un rapport de réduction kdonné ;
– les lignes cachées sont représentées en pointillés.
Exemple : Sur la figure 1, on a choisi α= 30°et k=1
2. La figure représentée est le cube ABCDEF GH .
Fig. 1 – Représentation d’un cube en perspective cavalière
– les faces ABF E et DCGH sont situés dan des plans frontaux ;
– les droites (AD),(EH),(F G)et (BC)sont des fuyantes. Elles sont perpendiculaires aux plans frontaux
mais sont représentées comme faisant un angle de 30°avec l’horizontale ;
– la figure étant un cube, on a AE =EH, mais dans la représentation, on a EH =1
2AE.
Propriété : Lors d’une représentation en perspective cavalière, l’alignement, le parallélisme, les rapports de
longueur de segments parallèles et les milieux sont conservés.
Remarque : Par contre, les mesures des angles ne sont pas conservées (sauf dans les plans frontaux).
Exemple : Sur la figure 2 (tirée de l’activité page 317[Modulo]) :
– les droites (HD)et (EF 5) ne se coupent pas ;
– le point In’est pas sur la droite (HD);
– les droites (AD)et (DC)sont perpendiculaires.
Exercices : 1, 2, 4, 5 page 334 et 8, 9, 10 page 3352[Modulo]
1Un peu de génie civil.
2Représentation en perspective cavalière.
2

2 DROITES ET PLANS DE L’ESPACE
Fig. 2 – Un peu de génie civil...
2 Droites et plans de l’Espace
2.1 Règles d’incidence
Règles d’incidences : Les règles suivantes sont valables dans l’espace :
1. Par deux points distincts Aet Bpasse une seule droite, notée (AB).
2. Par trois points non alignés A,Bet Cpasse un seul plan, noté (ABC).
3. Si un plan contient deux points Aet B, il contient toute la droite (AB).
4. Dans tout plan de l’espace, tout résultat de géométrie plane s’applique.
Remarques :
1. Un plan est une « surface » plane « illimitée ». Elle est représentée en perspective cavalière par un
parallélogramme (voir figure 3).
Fig. 3 – Un plan en perspective cavalière
2. La dernière règle indique que, dans tout plan de l’espace, tout se passe comme dans « LE » plan de
la géométrie plane. On cherchera donc très souvent à se placer dans un plan de l’espace.
2.2 Positions relatives de droites et de plans
Les résultats sont résumés dans les tableaux 1, 2 et 3.
3

2.2 Positions relatives de droites et de plans 2 DROITES ET PLANS DE L’ESPACE
Positions relatives des plans P1et P2
sécants parallèles
confondus strictement parallèles ou
disjoints
leur intersection est la droite Dleur intersection est un plan leur intersection est vide
Tab. 1 – Positions relatives de deux plans
Positions relatives de Det P
sécants parallèles
Det Pont un seul point
commun
Det Pn’ont aucun point
commun Dest incluse dans le plan P.
Tab. 2 – Positions relatives d’une droite et d’un plan
Positions relatives de D1et D2
Coplanaires Non coplanaires
sécantes strictement parallèles confondues
un point commun unique pas de point commun tous les points sont
communs
il n’existe pas de plan
contenant les deux droites
Tab. 3 – Positions relatives de deux droites
Remarques :
1. Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Il suffit donc de déterminer deux points
appartenant simultanément aux deux plans pour déterminer cette droite.
2. Attention ! Dans l’espace, il existe des droites qui ne sont ni parallèles, ni sécantes.
Exercices : 23 page 336 et 24 page 3373– 26, 27 et 30 page 3374– 33, 34 page 3385[Modulo]
3Positions relatives de droites et de plans.
4Intersections de plans.
5Intersections diverses.
4

3 ORTHOGONALITÉ DANS L’ESPACE 2.3 Deux résultats liés au parallélisme
2.3 Deux résultats liés au parallélisme
Théorème 1 : Si un plan Qcoupe deux plans parallèles Pet P0alors les droites d’intersection sont parallèles
(voir figure 4).
Fig. 4 – Intersection avec deux plans parallèles
Théorème 2 : (aussi appelée « théorème du toit »)
Soit Det D0deux droites parallèles.Pest un plan contenant Det P0un plan contenant D0(voir figure
5).
Si les plans Pet P0sont sécants, leur droite d’intersection ∆est parallèle àDet à D0.
Fig. 5 – Théorème du toit
Module : Module 3 page 3286[Modulo]
Exercices : 39, 40, 43 page 339 et 77, 78, 79 page 3467[Modulo]
3 Orthogonalité dans l’espace
Définition : Soit Ale point d’intersection d’une droite ∆et d’un plan P.
On dit que la droite ∆est perpendiculaire au plan Psi elle est perpendiculaire à toutes les droites du plan
Ppassant par A(voir figure 6).
Théorème 3 : (aussi appelé « théorème de la porte »)
Si une droite ∆est perpendiculaire en Aàdeux droites sécantes d’un plan P, alors elle est perpendiculaire
à ce plan (voir figure 7).
6Sections planes.
7Sections planes de polyèdres.
5