Topologie et géométrie

Felice Ronga
Topologie et g´eom´etrie
Gen`eve, MMVI ap. J.-C.

ii

Table des mati`eres
Table des figures v
A Topologie g´en´erale 1
I Topologies 3
I.1 Espaces topologiques ......................................... 3
I.1.1 Espaces m´etriques ...................................... 4
I.1.2 Base de topologie ....................................... 5
I.1.3 Comparaison de topologies ................................. 7
I.2 Applications continues, hom´eomorphismes ............................. 7
Continuit´e ....................................... 7
Hom´eomorphismes .................................. 9
I.2.1 Ouverts, ferm´es, voisinages ................................. 10
Ferm´es ......................................... 10
Fronti`ere d’un sous-ensemble ............................ 12
Voisinages ....................................... 12
Applications ouvertes, ferm´ees ............................ 13
I.3 Topologie somme disjointe ...................................... 14
II Topologie produit et topologie quotient 17
II.1 Topologie produit ........................................... 17
II.1.1 D´efinition et propri´et´es fondamentales ........................... 17
II.1.2 Encore des propri´et´es de la topologie produit ....................... 19
Tranches ........................................ 19
M´etrisabilit´e ...................................... 21
Amplification ..................................... 22
II.1.3 L’ensemble de Cantor .................................... 23
II.2 Topologie quotient .......................................... 25
III Espaces compacts 31
III.1 Espaces topologiques s´epar´es .................................... 31
III.2 Espaces compacts ........................................... 32
III.2.1 Somme disjointe et produits d’espaces compacts ..................... 35
III.2.2 Attachement de deux espaces ................................ 36
III.3 Compacts dans les espaces m´etriques ................................ 37
III.4 Espaces localement compacts .................................... 39
III.4.1 Applications propres ..................................... 41
III.4.2 Le compactifi´e d’Alexandroff ................................ 42
III.5 Les espaces projectifs ......................................... 43
iii

iv TABLE DES MATI ` ERES
IV Espaces connexes 47
IV.1 Espaces connexes ........................................... 47
Composantes connexes ................................ 50
Produits de connexes ................................. 51
Le th´eor`eme fondamentale de l’alg`ebre. ....................... 52
IV.2 Espaces connexes par arcs ...................................... 53
IV.3 Espaces localement connexes .................................... 54
B Topologie et g´eom´etrie diff´erentielle 57
V Degr´e des applications du cercle dans lui-mˆeme 59
V.1 D´efinition et propri´et´es du degr´e .................................. 59
Le th´eor`eme du point fixe de Brower ........................ 67
Le th´eor`eme de Nash sur l’existence de points d’´equilibre ............ 68
V.2 Champs de vecteurs sur la sph`ere S2................................ 69
Champs de vecteurs dans le plan .......................... 69
Champs de vecteurs sur la sph`ere .......................... 71
VI G´eom´etrie diff´erentielle des courbes 75
Pr´eliminaires ..................................... 75
VI.1 Courbes r´eguli`eres .......................................... 75
VI.1.1 Longueur d’arc ........................................ 76
VI.2 Ordre de contact ........................................... 77
VI.3 Courbes planes : cercles osculateurs, courbure,
points d’inflexion ........................................... 80
VI.3.1 Cercles osculateurs ...................................... 80
Osculation ordinaire et hyperosculation ...................... 84
VI.3.2 Points d’inflexion ....................................... 87
VI.3.3 Le th´eor`eme des quatre sommets .............................. 87
VI.4 Courbes dans l’espace ........................................ 90
VIIG´eom´etrie diff´erentielle des surfaces de l’espace 95
VII.1D´efinitions et exemples ........................................ 95
VII.2Premi`ere et deuxi`eme formes fondamentales ............................ 97
La premi`ere forme fondamentale .......................... 97
La deuxi`eme forme fondamentale .......................... 98
VII.2.1 Les ombilics de l’ellipso¨ıde .................................. 101
Bibliographie 103
Index 104

Table des figures
I.1 Boules pour les m´etriques d1, d2, d∞................................ 7
I.2 Un voisinage de x........................................... 13
II.1 Un morceau de surface de r´evolution ................................ 20
II.2 Le tore des topologues ........................................ 20
II.3 Un tore des autres .......................................... 21
II.4 Esquisses des identifications ..................................... 29
II.5 Une repr´esentation du ruban de Moebius .............................. 30
II.6 Le quotient de l’exemple II.2.11(2) ................................. 30
III.1 Les divers ensembles qui apparaissent dans le lemme III.4.5 ................... 40
III.2 La projection st´er´eographique depuis le pˆole nord ......................... 44
IV.1 Le peigne des topologues ....................................... 49
IV.2 La spirale ρ=e−1
θ,θ > 0...................................... 50
IV.3 Demi-droites issues de l’origine de pente 1
n,n≥1......................... 51
IV.4 Le peigne des topologues n’est pas localement connexe, bien que connexe ........... 55
V.1 Image par pde l’intervalle ]a, b[ et un ouvert de la forme Ut................... 60
V.2 L’application f: [0,1] →S1se rel`eve en b f: [0,1] →R...................... 61
V.3 Extension de b f............................................ 63
V.4 L’application f:S1→S1,f(z) = z2, est de degr´e 2 ....................... 64
V.5 Construction de b h(s, t) dans la preuve de V.1.13 ......................... 66
V.6 D´efinition de l’application g:D2→S1............................... 68
V.7 Interpr´etation du lemme V.1.25 ................................... 69
V.8 Passage de σN(P) `a σS(P)..................................... 73
VI.1 Interpr´etation du signe de la courbure ............................... 83
VI.2 Cercles osculateurs `a l’ellipse .................................... 84
VI.3 Cercles tangents en un point d’osculation ordinaire ........................ 85
VI.4 Une droite coupe une courbe convexe ................................ 88
VI.5 Une courbe ferm´ee avec deux sommets ............................... 89
VI.6 Situation de la courbe dans la preuve de VI.3.16 ......................... 90
VI.7 Esquisse de la variation de k(s)................................... 90
VI.8 Deux visions de la cubique gauche ................................. 92
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