Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques
A. Définitions
1- Cosinus et sinus
Le plan est muni d'un repère orthonormal O , i , j direct; on a i , j= .
2
On considère le cercle trigonométrique, cercle de centre O et de rayon 1.
sin(x)
M
A tout réel x, on associe le point M du cercle trigonométrique tel que
x soit une mesure de l'angle orienté i , OM .
O x
cos(x)
On appelle alors cos(x) l'abscisse du point M et sin(x) l'ordonnée du
point M.
Quelques valeurs remarquables :
angle
0
cosinus 1
sinus
0
6
4
3 2
3
2
0 -1
2
2
1
2
1
2
2
3
2
2
1
0
2- Propriétés
a) Conséquences immédiates
Quel que soit le réel x :
•
-1 cos (x) 1 et -1 sin (x) 1
•
cos² (x) + sin² (x) = 1
•
cos (x + 2) = cos (x) et sin (x + 2) = sin (x)
b) Angles associés
La figure ci-contre permet de retrouver rapidement les formules
suivantes :
-x
+x
x
•
cos (-x) = cos (x) et sin (-x) = - sin (x)
•
cos ( - x) = - cos (x) et sin( - x) = sin (x)
•
cos ( + x) = - cos(x) et sin( + x) = - sin(x)
-x
D'autre part,
•
cos x =sin x et sin x=cos x
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•
cos x =sin x et sin x=cos x
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c) Sinus et cosinus d'une somme
Quels que soient les réels a et b :
•
cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b)
•
cos(a – b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
•
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
•
sin(a – b) = sin(a) cos(b) – sin(b) cos(a)
d) Formules de duplication
Quel que soit le réel x :
•
cos(2x) = cos²(x) – sin²(x)
•
sin(2x) = 2sin(x) cos(x)
B. Étude des fonctions sinus et cosinus
1- Dérivabilité
a) Résultats préliminaires
sin x cos x1
=1 et que lim
=0 .
x
x
x 0
x 0
On admet que lim
sin hsin0
sin h
=lim
=1 .
h
h
h 0
h 0
Le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 est lim
Le nombre dérivé de la fonction cosinus en 0 est lim
h 0
cos hcos0
cos h1
=lim
=0 .
h
h
h 0
b) Dérivées de sinus et cosinus
La dérivée de la fonction sinus est (sin(x))' = cos(x).
La dérivée de la fonction cosinus est (cos(x))' = - sin(x).
Démonstration
sin x 0hsin x 0 .
h
h 0
Cherchons le nombre dérivé de la fonction sinus en x0, c'est à dire lim
sin x 0hsin x 0 sin x 0 cos hcos x 0 sin hsin x 0 =
h
h
donc
sin x 0h sin x 0 cos h1
h .
=sin x 0 cos x 0 sin
h
h
h
cosh1
sin h tend vers 0 et
tend vers 1. On en déduit que
h
h
sin x 0hsin x 0 lim
=cos x 0 .
h
h 0
Lorsque h tend vers 0,
Cela nous montre que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.
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x , la dérivée de la fonction cosinus est donc la dérivée de la
2
fonction sin x , c'est à dire cos x ×1=cos x =sin x .
2
2
2
D'autre part, cos x =sin 2- Fonction sinus
La fonction sinus est :
•
périodique de période 2, sin(x + 2) = sin(x).
•
impaire, sin(-x) = - sin(x)
Sa dérivée est cos(x).
Construisons le tableau de variations sur [-; ]:
- -/2
cos(x)
- 0
+/2
x
sin(x)
+
0
+
-
1
0
0
-1
Sa courbe représentative est :
3- Fonction cosinus
La fonction cosinus est :
•
périodique de période 2, cos(x + 2) = cos(x).
•
paire, cos(-x) = cos(x)
Sa dérivée est -sin(x).
Construisons le tableau de variations sur [-; ]:
x
-
-sin(x) 0
+
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0
+
-
0
1
cos(x)
-1
Sa courbe représentative est :
0
-1
C. Fonction tangente
1- Définition
La fonction tangente, notée tan, est définie pour tout réel x tel que x
tan x =
k avec k , par
2
sin x
.
cos x
En effet cos(x) 0 est équivalent à x
k avec k .
2
2- Périodicité et parité
Pour tout x de l'ensemble de définition de la fonction tangente :
•
tan(x + ) = tan(x); la fonction tangente est périodique de période .
•
tan(-x) = - tan(x); la fonction tangente est impaire.
3- Dérivée
La fonction tangente est dérivable en tout réel x de son ensemble de définition et
1
tan x ' =1tan2 x = 2 .
cos x 4- Tableau de variations sur
x
]
;
2 2
+/2
-/2
1/cos²(x)
+
+
tan(x)
-
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[
Les droites d'équations x=
5- Courbe
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k avec k sont des asymptotes verticales.
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