Algèbre Logique

Université Joseph Fourier Année 2016-2017
ESPE - UFR IM2AG M1 Master MEEF-2D Parcours “Mathématiques”
Algèbre
Logique - Ensembles - Applications
Logique - Raisonnements
Exercice 1. (i)Montrer que les assertions P⇒Qet P∨Qsont équivalentes.
(ii)Idem pour les assertions P⇒Qet P∧Q.
Exercice 2. Ecrire la négation des assertions suivantes :
(i)P∧Q
(ii)P∨(Q∧R)
(iii) (P∨Q)⇒R
(iv) (a≤b)⇒(a > b)
Exercice 3. Montrer que les assertions suivantes sont des tautologies :
(i)P⇒(Q⇒P)
(ii) ((P⇒Q)⇒P)⇒P
Exercice 4. Simplifier l’expression R= (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q).
Exercice 5. Soit Iun intervalle de Ret f:I→Rune application. Exprimer à l’aide de quantificateurs
les assertions suivantes :
(i)fest croissante
(ii)fn’est pas constante
(iii)fest bornée.
Exercice 6. Soit Iun intervalle de Ret f:I→Rune application. Ecrire avec des quantificateurs la
négation des assertions suivantes :
(i)fest majorée
(ii)fest continue
(ii)fest bornée
Exercice 7. Déterminer les nombres réels xpour lesquels l’assertion suivante est vraie :
(i)∀y∈R, x ≥y⇒x≥y2.
(ii)∀y∈R+, x ≥y⇒x≥y2.
Exercice 8. Soit n∈Z.
(i)Montrer que si n2est impair alors nest impair.
(ii)Montrer que si l’entier (n2−1) n’est pas divisible par 8, alors nest pair.
(iii)Démontrer que si 2n−1est premier alors nest premier.
1

2
Exercice 9. (i)Démontrer que si aet bsont des nombres premiers tels que a2−b2=pq avec pet q
nombres premiers supérieurs stricts à 2, alors b= 2.
Qu’en est-il si pou qest égal à 2 ?
(ii)Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.
(iii)Montrer que ln(2)
ln(3) est irrationnel.
(iv)Soit nun entier naturel ne s’écrivant pas sous la forme n=p2avec pentier. En raisonnant par
l’absurde et en utilisant le théorème de Bezout, montrer que √nest irrationnel.
Exercice 10. Déterminer l’ensemble des entiers naturels nvérifiant 2n> n2.
Exercice 11. Démontrer que pour tout entier naturel net pour tout réel x > 0on a : (1 + x)n≥1 + nx.
Ensembles - Applications
Dans tout ce qui suit, si Eest un ensemble on note P(E)l’ensemble des parties de E.
Exercice 12. Montrer que l’ensemble D={(x, y)∈R2|x2+y2≤1}ne peut pas s’écrire comme
produit cartésien de deux parties de R.
Exercice 13. Soit Eun ensemble et Aet Bdeux sous-ensembles de E. On rappelle que la différence
symétrique de Aet B, notée A∆Best le sous-ensemble de E:
A∆B={x∈A∪B|x̸∈ A∩B}.
(i)Démontrer que A∆B= (A∩Bc)∪(B∩Ac).
(ii)Calculer A∆A, A∆∅, A∆E, A∆Ac.
(iii)Démontrer que (A∆B)∩C= (A∩C)∆(B∩C)et (A∆B)∪C= (A∪C)∆(B∪C).
(iv)Démontrer que A∆B=Bsi et seulement si A=∅.
Exercice 14. Soit Eun ensemble et soit A, B ∈ P(E). Résoudre les équations suivantes d’inconnue
X∈ P(E):
(i)A∪X=B
(ii)A∩X=B.
Exercice 15. Soit f:R→Rdéfinie par f(x) = 2x/(1 + x2).
(i)fest-elle injective ? surjective ?
(ii)Montrer que f(R) = [−1,1].
(iii)Montrer que la restriction g: [−1,1] →[−1,1] de fest une bijection.
Exercice 16. Soit f:N2→N∗définie par f(n, p) = 2n(2p+ 1). Démontrer que fest une bijection et
en déduire une bijection de N2sur N.
Exercice 17. (i)Déterminer une bijection de {1/n, n ≥1}sur {1/n, n ≥2}.
(ii)En déduire une bijection de [0,1[ sur [0,1].
Exercice 18. Soient Eet Fdeux ensembles et f:E→F. Soient Aet Bdeux parties de E.
(i)Démontrer que A⊂B⇒f(A)⊂f(B). La réciproque est-elle vraie ?
(ii)Démontrer que f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). L’inclusion réciproque est-elle vraie ?
(iii)Démontrer que f(A∪B) = f(A)∪f(B).
(iv)Comparer f(A∆B)et f(A)∆f(B).

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Exercice 19. Soient Eet Fdeux ensembles et f:E→F. Soient Aet Bdeux parties de F.
(i)Démontrer que A⊂B⇒f−1(A)⊂f−1(B). La réciproque est-elle vraie ?
(ii)Démontrer que f−1(A∩B)⊂f−1(A)∩f−1(B). L’inclusion réciproque est-elle vraie ?
(iii)Démontrer que f−1(A∪B) = f−1(A)∪f−1(B).
Exercice 20. Soient Eet Fdeux ensembles et f:E→F. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. fest injective
2. Pour tous A∈ P(E), B ∈ P(E), f(A∩B) = f(A)∩f(B).
Exercice 21. Soit f:E→F. Montrer que fest bijective si et seulement si pour tout A∈ P(E)on a
f(Ac) = f(A)c.
Exercice 22. Soit Eun ensemble. Montrer qu’il n’existe pas d’application surjective de Edans P(E).
Exercice 23. Soit Eet Fdeux ensembles non vides et f:E→Fune application. Montrer que fest
injective si et seulement si il existe une application r:F→Etelle que r◦f=IdE.
Exercice 24. Soit f:E→F.
a) Soit A⊆E. Montrer que A⊆f−1(f(A)), mais que l’égalité n’est pas toujours vérifiée. Montrer que
l’on a égalité si fest injective.
b) Montrer que si pour tout A∈ P(E)on a l’égalité A=f−1(f(A)), alors fest injective.
c) Soit B⊆F. Montrer que f(f−1(B)) ⊆B, mais que l’égalité n’est pas toujours vérifiée. Montrer qu’on
a égalité si fest surjective.
d) Montrer que si pour tout B∈ P(F)on a l’égalité f(f−1(B)) = B, alors fest surjective.
e) Soit Φ : P(E)→ P(F)définie par Φ(A) = f(A)et Ψ : P(F)→ P(E)définie par Ψ(B) = f−1(B).
Montrer que :
(i)fest injective ⇔Φest injective ⇔Ψest surjective.
(ii)fest surjective ⇔Φest surjective ⇔Ψest injective.
Exercice 25. Soient A∈ P(E),B∈ P(E). On définit
f:P(E)→ P(A)× P(B)
X7→ (X∩A, X ∩B).
(i)Montrer que fest injective si et seulement si A∪B=E.
(ii)Montrer que fest surjective si et seulement si A∩B=∅.
(iii)Donner une condition nécessaire et suffisante sur Aet Bpour que fsoit bijective. Donner alors la
bijection réciproque.
Exercice 26. On définit sur Zla relation
xRysi et seulement si x+ypair.
Montrer que Rest une relation d’équivalence et déterminer les classes d’équivalence de R.
Exercice 27. Soit Eun ensemble non vide et Λ∈ P(E)vérifiant la propriété :
∀X, Y ⊂Λ,∃Z⊂Λ|Z⊂(X∩Y).
On définit sur P(E)la relation ∼par :
A∼B⇔ ∃X⊂Λ|X∩A=X∩B.

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Montrer que ∼est une relation d’équivalence sur P(E). Quelles sont les classes d’équivalence de ∅et de
E?
Exercice 28. Dans Con définit la relation Rpar : zRz′⇔ |z|=|z′|.
1. Montrer que Rest une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence de chaque z∈C.
3. Etablir une bijection de C/Rsur [0,+∞[.
Exercice 29. Soient Eun ensemble et fune bijection de Edans E.
(i)Montrer que la relation Rdéfinie par
xRy⇔ ∃n∈Z|y=fn(x)
définit une relation d’équivalence sur E.
(ii)Montrer que si Aest une classe d’équivalence pour cette relation alors f(A)⊂A.
(iii)Montrer aussi que si une partie Bde Evérifie f(B) = Balors Best réunion de classes d’équivalence.
Exercice 30. Soit Rnle nombre de relations d’équivalence définies sur un ensemble à n éléments.
Montrer que
Rn+1 =
n
∑
k=0 (n
k)Rk.
Exercice 31. Montrer que la relation Rdéfinie sur Rpar : xRy⇔xey=yexest une relation d’équi-
valence. Préciser, pour xfixé dans R, le nombre d’éléments de la classe de xmodulo R.
Exercice 32. Soit nun entier naturel et Fl’ensemble des applications de Rdans R. Si fet gsont dans
Fon note Rla relation :
fRg⇔lim
t→0
f(t)−g(t)
tn= 0.
Montrer que Rest une relation d’équivalence sur F.
Exercice 33. Montrer que la relation p≺q⇔ ∃k∈N∗|q=pkmunit N∗d’une structure partiellement
ordonnée. Déterminer les majorants de {2,4}pour cet ordre.
Exercice 34. Soit (E, ≤)un ensemble ordonné. On définit sur P(E)\{∅} la relation ≺par :
X≺Y⇔(X=You ∀x∈X, ∀y∈Y, x ≤y).
Vérifier que ≺est une relation d’ordre.
Exercice 35. On munit R2de la relation ≺définie par
(x, y)≺(x′, y′)⇔x≤x′et y≤y′.
1. Démontrer que ≺est une relation d’ordre sur R2. L’ordre est-il total ?
2. Le disque fermé de centre O et de rayon 1 a-t-il des majorants ? Un plus grand élément ? Une borne
supérieure ?