Algèbre Logique

Université Joseph Fourier
ESPE - UFR IM2 AG
Année 2016-2017
M1 Master MEEF-2D Parcours “Mathématiques”
Algèbre
Logique - Ensembles - Applications
Logique - Raisonnements
Exercice 1. (i) Montrer que les assertions P ⇒ Q et P ∨ Q sont équivalentes.
(ii) Idem pour les assertions P ⇒ Q et P ∧ Q.
Exercice 2. Ecrire la négation des assertions suivantes :
(i) P ∧ Q
(ii) P ∨ (Q ∧ R)
(iii) (P ∨ Q) ⇒ R
(iv) (a ≤ b) ⇒ (a > b)
Exercice 3. Montrer que les assertions suivantes sont des tautologies :
(i) P ⇒ (Q ⇒ P )
(ii) ((P ⇒ Q) ⇒ P ) ⇒ P
Exercice 4. Simplifier l’expression R = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q).
Exercice 5. Soit I un intervalle de R et f : I → R une application. Exprimer à l’aide de quantificateurs
les assertions suivantes :
(i) f est croissante
(ii) f n’est pas constante
(iii) f est bornée.
Exercice 6. Soit I un intervalle de R et f : I → R une application. Ecrire avec des quantificateurs la
négation des assertions suivantes :
(i) f est majorée
(ii) f est continue
(ii) f est bornée
Exercice 7. Déterminer les nombres réels x pour lesquels l’assertion suivante est vraie :
(i) ∀y ∈ R, x ≥ y ⇒ x ≥ y 2 .
(ii) ∀y ∈ R+ , x ≥ y ⇒ x ≥ y 2 .
Exercice 8. Soit n ∈ Z.
(i) Montrer que si n2 est impair alors n est impair.
(ii) Montrer que si l’entier (n2 − 1) n’est pas divisible par 8, alors n est pair.
(iii) Démontrer que si 2n − 1 est premier alors n est premier.
1
2
Exercice 9. (i) Démontrer que si a et b sont des nombres premiers tels que a2 − b2 = pq avec p et q
nombres premiers supérieurs stricts à 2, alors b = 2.
Qu’en est-il si p ou q est égal à 2 ?
(ii) Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.
ln(2)
(iii) Montrer que
est irrationnel.
ln(3)
(iv) Soit n un entier naturel ne s’écrivant pas sous la forme√n = p2 avec p entier. En raisonnant par
l’absurde et en utilisant le théorème de Bezout, montrer que n est irrationnel.
Exercice 10. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n vérifiant 2n > n2 .
Exercice 11. Démontrer que pour tout entier naturel n et pour tout réel x > 0 on a : (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Ensembles - Applications
Dans tout ce qui suit, si E est un ensemble on note P(E) l’ensemble des parties de E.
Exercice 12. Montrer que l’ensemble D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} ne peut pas s’écrire comme
produit cartésien de deux parties de R.
Exercice 13. Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On rappelle que la différence
symétrique de A et B, notée A∆B est le sous-ensemble de E :
A∆B = {x ∈ A ∪ B | x ̸∈ A ∩ B}.
(i) Démontrer que A∆B = (A ∩ B c ) ∪ (B ∩ Ac ).
(ii) Calculer A∆A, A∆∅, A∆E, A∆Ac .
(iii) Démontrer que (A∆B) ∩ C = (A ∩ C)∆(B ∩ C) et (A∆B) ∪ C = (A ∪ C)∆(B ∪ C).
(iv) Démontrer que A∆B = B si et seulement si A = ∅.
Exercice 14. Soit E un ensemble et soit A, B ∈ P(E). Résoudre les équations suivantes d’inconnue
X ∈ P(E) :
(i) A ∪ X = B
(ii) A ∩ X = B.
Exercice 15. Soit f : R → R définie par f (x) = 2x/(1 + x2 ).
(i) f est-elle injective ? surjective ?
(ii) Montrer que f (R) = [−1, 1].
(iii) Montrer que la restriction g : [−1, 1] → [−1, 1] de f est une bijection.
Exercice 16. Soit f : N2 → N∗ définie par f (n, p) = 2n (2p + 1). Démontrer que f est une bijection et
en déduire une bijection de N2 sur N.
Exercice 17. (i) Déterminer une bijection de {1/n, n ≥ 1} sur {1/n, n ≥ 2}.
(ii) En déduire une bijection de [0, 1[ sur [0, 1].
Exercice 18. Soient E et F deux ensembles et f : E → F . Soient A et B deux parties de E.
(i) Démontrer que A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B). La réciproque est-elle vraie ?
(ii) Démontrer que f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). L’inclusion réciproque est-elle vraie ?
(iii) Démontrer que f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
(iv) Comparer f (A∆B) et f (A)∆f (B).
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Exercice 19. Soient E et F deux ensembles et f : E → F . Soient A et B deux parties de F .
(i) Démontrer que A ⊂ B ⇒ f −1 (A) ⊂ f −1 (B). La réciproque est-elle vraie ?
(ii) Démontrer que f −1 (A ∩ B) ⊂ f −1 (A) ∩ f −1 (B). L’inclusion réciproque est-elle vraie ?
(iii) Démontrer que f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B).
Exercice 20. Soient E et F deux ensembles et f : E → F . Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. f est injective
2. Pour tous A ∈ P(E), B ∈ P(E), f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
Exercice 21. Soit f : E → F . Montrer que f est bijective si et seulement si pour tout A ∈ P(E) on a
f (Ac ) = f (A)c .
Exercice 22. Soit E un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas d’application surjective de E dans P(E).
Exercice 23. Soit E et F deux ensembles non vides et f : E → F une application. Montrer que f est
injective si et seulement si il existe une application r : F → E telle que r ◦ f = IdE .
Exercice 24. Soit f : E → F .
a) Soit A ⊆ E. Montrer que A ⊆ f −1 (f (A)), mais que l’égalité n’est pas toujours vérifiée. Montrer que
l’on a égalité si f est injective.
b) Montrer que si pour tout A ∈ P(E) on a l’égalité A = f −1 (f (A)), alors f est injective.
c) Soit B ⊆ F . Montrer que f (f −1 (B)) ⊆ B, mais que l’égalité n’est pas toujours vérifiée. Montrer qu’on
a égalité si f est surjective.
d) Montrer que si pour tout B ∈ P(F ) on a l’égalité f (f −1 (B)) = B, alors f est surjective.
e) Soit Φ : P(E) → P(F ) définie par Φ(A) = f (A) et Ψ : P(F ) → P(E) définie par Ψ(B) = f −1 (B).
Montrer que :
(i) f est injective ⇔ Φ est injective ⇔ Ψ est surjective.
(ii) f est surjective ⇔ Φ est surjective ⇔ Ψ est injective.
Exercice 25. Soient A ∈ P(E), B ∈ P(E). On définit
f
: P(E) →
P(A) × P(B)
X
7→ (X ∩ A, X ∩ B).
(i) Montrer que f est injective si et seulement si A ∪ B = E.
(ii) Montrer que f est surjective si et seulement si A ∩ B = ∅.
(iii) Donner une condition nécessaire et suffisante sur A et B pour que f soit bijective. Donner alors la
bijection réciproque.
Exercice 26. On définit sur Z la relation
xRy si et seulement si x + y pair.
Montrer que R est une relation d’équivalence et déterminer les classes d’équivalence de R.
Exercice 27. Soit E un ensemble non vide et Λ ∈ P(E) vérifiant la propriété :
∀X, Y ⊂ Λ, ∃Z ⊂ Λ | Z ⊂ (X ∩ Y ).
On définit sur P(E) la relation ∼ par :
A ∼ B ⇔ ∃X ⊂ Λ | X ∩ A = X ∩ B.
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Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur P(E). Quelles sont les classes d’équivalence de ∅ et de
E?
Exercice 28. Dans C on définit la relation R par : zRz ′ ⇔ |z| = |z ′ |.
1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence de chaque z ∈ C.
3. Etablir une bijection de C/R sur [0, +∞[.
Exercice 29. Soient E un ensemble et f une bijection de E dans E.
(i) Montrer que la relation R définie par
xRy ⇔ ∃n ∈ Z | y = f n (x)
définit une relation d’équivalence sur E.
(ii) Montrer que si A est une classe d’équivalence pour cette relation alors f (A) ⊂ A.
(iii) Montrer aussi que si une partie B de E vérifie f (B) = B alors B est réunion de classes d’équivalence.
Exercice 30. Soit Rn le nombre de relations d’équivalence définies sur un ensemble à n éléments.
Montrer que
)
n (
∑
n
Rk .
Rn+1 =
k
k=0
Exercice 31. Montrer que la relation R définie sur R par : xRy ⇔ xey = yex est une relation d’équivalence. Préciser, pour x fixé dans R, le nombre d’éléments de la classe de x modulo R.
Exercice 32. Soit n un entier naturel et F l’ensemble des applications de R dans R. Si f et g sont dans
F on note R la relation :
f (t) − g(t)
f Rg ⇔ lim
= 0.
t→0
tn
Montrer que R est une relation d’équivalence sur F.
Exercice 33. Montrer que la relation p ≺ q ⇔ ∃k ∈ N∗ | q = pk munit N∗ d’une structure partiellement
ordonnée. Déterminer les majorants de {2, 4} pour cet ordre.
Exercice 34. Soit (E, ≤) un ensemble ordonné. On définit sur P(E)\{∅} la relation ≺ par :
X ≺ Y ⇔ (X = Y ou ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, x ≤ y).
Vérifier que ≺ est une relation d’ordre.
Exercice 35. On munit R2 de la relation ≺ définie par
(x, y) ≺ (x′ , y ′ ) ⇔ x ≤ x′ et y ≤ y ′ .
1. Démontrer que ≺ est une relation d’ordre sur R2 . L’ordre est-il total ?
2. Le disque fermé de centre O et de rayon 1 a-t-il des majorants ? Un plus grand élément ? Une borne
supérieure ?