Équations du champ, équations du mouvement et fonctions d`onde. II

´
Equations du champ, ´equations du mouvement et
fonctions d’onde. II
Antonio Gi˜ao
To cite this version:
Antonio Gi˜ao. ´ Equations du champ, ´equations du mouvement et fonctions d’onde. II. J. Phys.
Radium, 1951, 12 (2), pp.99-106. <10.1051/jphysrad:0195100120209900>.<jpa-00234363>
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99.
ÉQUATIONS
DU
CHAMP, ÉQUATIONS
DU
MOUVEMENT
ET FONCTIONS
D’ONDE. II.
(1)
Par
ANTONIO
GIÂO.
Sommaire.
-
Les
propriétés
des fluides
élémentaires
de
matière
et
d’électricité,
dont
nous
avons
écrit
les
équations
du
mouvement dans
la
première
Partie de ce
travail,
peuvent
être déduites
de deux
ensembles dénombrables
de
fonctions
d’onde
de
base,
qui
sont
les fonctions
propres
des
opérateurs
laplaciens
associés
à la
métrique
interne et externe de
l’espace-temps.
L’analyse
de
ces fonctions
montre
qu’il
existe
aussi des
rayonnements
élémentaires
caractérisés
par
des vecteurs
courants
isotropes
et
des
tenseurs
d’énergie-impulsion
à
trace
identiquement
nulle.
Finalement,
la
quantification
des
équations
du
champ
conduit
à de
nouveaux
potentiels gravifiques,
nucléaires
et
électromagnétiques
(sans
infinités),
auxquels
correspondent
des
énergies
propres
finies
pour
les
particules
et
champs
quantifiés
(potentiels
de
M. L.
de
Broglie
et
leur
généralisation
pour
les
systèmes
de
particules).
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET LE
RADIUM.
-
TOME
12,
FÉVRIER
1951,
1.
-
Fonctions d’onde dans la
théorie
unitaire.
1.
Propriétés générales.
-
En un
point quel-
conque
P(xi)
de
l’espace-temps
les
deux
formes
quadratiques
peuvent
être
réduites localement
à
en utilisant des
axes
géodésiques
locaux
et
ortho-
gonaux,
« internes »
(pi)
et «externes »
(qi).
Aux
formes
(1) correspondent
les
opérateurs laplaciens
dont
les
équations
des fonctions
et
valeurs
propres
s’écrivent
On
peut
montrer
[ I,
2] que
n == 1,
2, ...,
oo
et
m
=
1,
2,
3,
4
quand
le
domaine
d’application
de
3g
et
A,,
est
l’ensemble
de
l’espace-temps.
Les
fonctions
1J:""l1l1l
et
(D,,,
sont les
fonctions d’onde
de base
de
notre
théorie
unitaire.
Soient (i = 1,
2, 3,
4)
des
matrices
de Dirac
( 2
Ó
étant
ici
purement
imaginaire).
En
un
point
quelconque
P(xi)
et
pour
toute valeur de
n
le vec-
(1)
Suite
de
J. Physiqae
Rad.,
1951,
11,
3 1-@o.
Cette
pre-
mière
partie
du
Mémoire
sera
désignée
dans
ce
qui
suit
par
l’abréviation I.
teur
cliffordien
An
= ii
a;t E’o,
où
les
a;t
sont
des
paramètres
linéairement
indépendants,
définit une
rotation du
quadripode
des
pi
ou
des
qi.
Désignons
par
u;o
les
vecteurs
unitaires des
axes
locaux
pi
ou qi
dans
une certaine
orientation
p§
ou
q ô,
et
par
U;l
les
vecteurs unitaires
des
mêmes
axes dans
la
posi-
tion
p§_
et
q:L;
les
rotations
po
-
P;t
et
qlo -+ q:l
seront
alors
données
par
un
=
A;l
u’o
An.
Posons
main-
tenant
et
considérons
les
équations
En
supposant provisoirement
que,
les
dxj
et
d xi
En
supposant
provisoirement
que
les
7k
et
Tk
0
sont des
quantités
connues,
les
équations
(5a)
déterminent des
fonctions
a;z = ( ab ) i,t ( x )
et les
équations
(5b)
des fonctions
a’,
=
(a{J»);l (xi).
En
d’autres
termes,
il
existe des
valeurs
des a’,
tels
que
les
fonctions
d’onde
de
base
satisfont
aux
systèmes
suivants
du
premier
ordre
en
tout
point
de
l’espace-temps.
Définissons
alors
des matrices-vecteurs
par
Grâce
à
ces
matrices,
les
équations (6)
deviennent
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0195100120209900

100
Soit
maintenant
,r
une matrice
constante
à
quatre
lignes
et
quatre
colonnes
dont
les
éléments
sont
des
nombres
réels
quelconques.
En
posant
on déduit
de
(8)
les
équations
adjointes
générales
correspondantes
La
matrice r, j joue
un rôle
important
et
sera déter-
minée
plus
loin. On
doit
remarquer que
les
équa-
tions
adjointes
(9)
ne
peuvent
être
écrites
que
parce
que s’,
c2, s-’
sont réelles
et
sri
purement
imaginaire.
Ces
propriétés
des
El 0
sont d’ailleurs
exigées
par
le caractère
hyperbolique
normal
de
l’espace-temps
afin
de
pouvoir
écrire
les
équa-
tions
(6).
2.
Les
fonctions d’onde
et les fluides élémen-
taires.
--
Nous allons maintenant
déterminer
la
matrice n
de manière
à
assurer
l’existence
d’un
lien
fondamental
entre
les
fonctions
d’onde de base
et les
équations
du
champ.
Considérons
les tenseurs
symétriques
où
zô
1
est l’unité
naturelle
de
longueur
(rayon
de
l’hypersphère
de De
Sitter
la
plus
proche
de
l’espace-
par
suite
de
(8)
et
(9).
Pour
que
ces
traces
soient
essentiellement
négatives,
ainsi
que
l’exigent
les
relations
[1,
(16)]
et
[1,
(20)],
il faut
évidemment
que n = -
i a s,,
a
désignant
ici
un
nombre
positif.
Nous devons
d’ailleurs
poser a -
i afin
de faire
disparaître
de
(10)
tout
coefficient
arbitraire.
Intro-
duisons cette
expression
de
-n
dans
(10)
et
considé-
rons
les
vingt
équations
dont
les
premiers
membres
sont
les
tenseurs
Til,
et
Ua.
des
équations
du
champ
[1,
(5),
(6)].
Il
n’y
a
que
douze
équations
(11)
indépendantes
puisqu’elles
doivent
satisfaire
aux
huit
équations
de
conser-
vation
( r:jj)8
=
o
et
( Ui.),,
=
o.
Les
équations
(11)
sont
donc
nécessaires et
suffisantes
pour
déterminer
-i
u
paramètres
fixent
l’orientation
des
quadripodes
p’o
et
qô
par
rapport
aux
coordonnées
générales xi).
On
peut
donc
exprimer
les
tenseurs
fondamentaux
d’énergie-impulsion
T ik
et
Uin
des
équations
du
champ
[1,
(5),
(6)]
en fonction
des
fonctions
d’onde
de base
(Wmn
pour
les
Tik
et
(j)m.n
pour
les
Uik).
Ce
résultat
montre
que
les
fonctions
d’onde
de
base
sont les
contenus
fondamentaux
de
l’espace-temps
d’où
l’on
doit
pouvoir
déduire
toutes
les
propriétés
des
fluides
(et
des
rayonnements)
élémentaires.
Commençons
par
une
revue
rapide
de
quelques
propriétés
des
fluides
élémentaires en
considérant
les
vecteurs
courants
Ces
vecteurs
sont
conservatifs et
essentiellement
non
isotropes
puisqu’ils
satisfont
aux
conditions
où bg
et
ba
désignent
des coefficients
numériques
2.
On a donc les
relations
avec - =E 20132013.
Les
fluides
élémentaires de
matière
di2-
et
d’électricité
(dont
les tenseurs
de densité
d’éner-
gie-impulsion
sont
Tik et
Ulk)
peuvent
être
consi-
dérés,
d’après
les
résultats
précédents,
comme
un
mélange
d’un
ensemble dénombrable
de
fluides
élémentaires
partiels
de
matière
et d’électricité
caractérisés
par
les
tenseurs de
densité
d’énergie-

101
impulsion
Ti’
et
U"
pour
n =
I, 2,
...,
oc. On
sait
[ I, 3]
que
n
=
i
correspond
à
l’électron
normal,
tandis
que
n ù
2
correspond
aux
microélectrons
dont
la
charge e"
et
la
masse
propre
(mo),,
sont
données
en
fonction
de
la
charge
e
et
de
la
masse
propre
(mo)
de
l’électron
normal
par
les rela-
tions
e
(mo)
(
(mo)2p
e
Ces
tions e,,
_
2013 et
(mo)"
== 2013’
·
Ces relations
cor-
no) n,
respondent
d’ailleurs
à
la
propriété
des fonctions
-d’onde
de
base
q"mll
et
(D,,,,,
de
tendre vers zéro
comme
n-e,
tandis
que
les valeurs
propres
r:t.1l
et
p 1/
tendent vers l’infini
comme
n2. Les
fonc-
tions
0,i Tnin T,/,"
et
V/(3n
W,&#x3E;,,iW§§,
qui
sont
respecti-
vement
proportionnelles
aux
densités de masse
propre
et
de
charge,
tendent donc
vers
zéro
comme
n-11.
Considérons l’un
des fluides
élémentaires
par-
tiels
Tn
ou
Un
dont
la densité
d’énergie-impulsion
est donnée
par
En
prenant
les
traces
on
obtient,
par
suite de
(10)
Pour
déduire les
équations
d’état
(thermodyna-
mique)
des
fluides
élémentaires
partiels,
supposons
qu’ils
peuvent
être considérés
comme
dénués
de
frottement interne
(efforts
tangentiels)
dans
un
certain
domaine
de
l’espace-temps.
En
appliquant
les
équations
[1, (20)]
on
obtient alors
Ces relations montrent
que
les
fluides
élémentaires
partiels peuvent
être
considérés comme
barotropes
partout
où
ils
sont
dénués
de
frottement
interne.
Supposons
de
plus que
les
fluides
partiels
sont
des
gaz
parfaits
satisfaisant
à
des
équations
d’état
de
la forme
habituelle
pu ==
R[J-nTn,
où R
désigne
la
constante de
ces
gaz
et Tn
la
température.
Par
suite
de
(12),
(12a)
on voit
que
dans
ces conditions
les
fluides
partiels
sont
isothermes,
la
température
étant
donnée
par
Grâce
aux résultats
précédents
on
peut
écrire
comme
suit la
densité
d’énergie-impulsion
des
fluides
partiels
et
les
équations
correspondantes
du
mouvement
(équations
densitaires)
seront
Quand
les
fluides
élémentaires
sont
dénués
de
frottement
interne,
la
masse
propre
et
la
charge
électrique
d’une
particule
sont données
par
De
plus, par
suite
de
[1,
(20)]
on
aura
Ces
valeurs de
mg,lH
lit (-), n,
el,, g ,
et
(1),
introduites
dans
les
équations
[1,
(33)]
donnent les
équations
du
mouvement des
particules
finies
quand
on
peut
négliger
le
frottement
interne
dans
les fluides élé-
mentaires.
3. Les fonctions
d’onde
et
les
rayonnements
élémentaires.
- Au lieu
de
poser
la
relation -.-j = - i E,’)
caractéristique
des
fluides
élémentaires,
posons
maintenant
simplement
n
=
I4, I4
étant
la
matrice
unité
à
quatre
lignes
et
quatre
colonnes.
Les
vecteurs
courants
conservatifs
correspondants
s’écrivent
main-
tenant
Ces vecteurs
d’espace-temps
jouissent
de
l’impor-
tante
propriété
c’est-à-dire
ils
sont
isotropes.
Les tenseurs conser-

102
vatifs
de
densité
d’énergie-impulsion
qui
corres-
pondent
à ces
vecteurs
courants
sont les
suivants :
Leur trace
est
identiquement
nulle
par
suite
de
(10)
et
1j
=
I4.
Ces
deux
propriétés :
vecteurs
cou-
rants
isotropes
et
énergie-impulsion
à trace
identi-
quement
nulle
sont,
selon
nous,
caractéristiques
du
rayonnement pur.
Toutes
les
fonctions
formées,
pour Y)
=
I4,
avec
les
’Finn
sont
donc
des
propriétés
du
rayonnement
gravifique pur,
tandis
que
les
fonc-
tions
correspondantes
formées
avec
les
(D,in
sont
des
propriétés
du
rayonnement
électromagnétique
pur.
Ces
rayonnements
sont
décrits
par
les
tenseurs
antisymétriques
qui
satisfont,
comme
on
sait,
aux
systèmes
maxwel-
liens
généralisés
151 n
désignant
les
vecteurs
de
polarisation
Les
FI 9 ,"
et
F ;,"
satisfont
à des
conditions
impor-
tantes
que
nous considérons
aussi
comme
caracté-
ristiques
du
rayonnement
pur
et
qui
s’écrivent
les
indices
j,
1
prenant
les valeurs
i,
2,
3. On
peut
d’ailleurs
former
avec
les
Fn
des
tenseurs
maxwel-
liens
conservatifs
qui
sont
susceptibles
d’être
com-
parés
localement
et
intégralement
aux tenseurs
(13).
IV.
-
Quantification
des
champs
métriques.
4.
Formules
générales
pour
un
système
de
particules.
-
Le
problème
de l’interaction
par-
ticules-champs
et
l’importante
question
connexe
de
l’énergie
propre
des
particules
ont
été
renouvelés
par
les
récentes recherches
de
M. L.
de
Broglie
[1].
Nous allons
montrer
que
la
quantification
de
nos
équations
du
champ
[1,
(5),
(6)]
permet
de
déduire
les
nouveaux
potentiels
de
M.
de
Broglie
et
de
préciser
les
propriétés
des
particules
quantifiées
(ponctuelles)
et
des
forces
électromagnétiques
et
nucléaires
[5].
Soient 1; (==
1, 2, ...,
n)
l’indice
de
numérotage
des
particules
(non
nécessairement
identiques)
d’un
système
et xl
le référentiel
par
rapport auquel
le
mouvement
moyen
de la
particule v
est nul. Nous
admettrons
que
les états
quantiques
de
la
particule
peuvent
appartenir
à trois
classes différentes :
Io
celle
où
les
transitions entre
états
s’accompa-
gnent toujours
de
l’émission
ou
de
l’absorption
de
rayonnement (gravifique
et
électromagnétique) par
la
particule;
2°
celle
où
les
transitions
correspondantes
ne
s’accompagnent
pas
de
rayonnement;
30
finalement,
celle
où
les
transitions entre
états
correspondent
aux
interactions
élémentaires entre
la
particule
et
les
autres
particules
du
système.
Désignons
comme
toujours
par
Til,
et
L///,
les
tenseurs
de densité
d’énergie-impulsion
matérielle
et
électrique,
par
gik
et
Wik
les
tenseurs
métriques
interne
et externe
et
posons
11
=
g,1*
l’ik
et
lj
=
(Úik Uik
(avec
lÚi! (ú lk
=
k
Nous
associons
maintenant
la
quantification
des
champs
métriques
de
chaque
particule
du
système
à la
quantification
de
son
énergie-impulsion
par
les
relations
avec
1 ==
i
pour
la classe
des
états
quantiques
sans
transitions
de
rayonnement,
1 - -?,
pour
la
classe
avec
transitions
de
rayonnement,
et 1
=
3
pour
la
classe
des états
d’interaction de
la
particule
avec
les
autres
particules.
Le
symbole
m
désigne
ici
l’en-
semble
des
nombres
quantiques
qui
caractérisent
l’état
de
la
particule
indépendamment
de
l’apparte-
nance
de
cet
état à l’une
quelconque
des
classes