Chapitre IV Bases et dimension d`un espace vectoriel

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Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Chapitre IV
Bases et dimension d’un espace
vectoriel
Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs
d’un espace vectoriel général.
Dans ce chapitre  désigne un -ev, avec  ou un corps commutatif quelconque.
I – Familles libres, génératrices, bases
1. Définitions
Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire
- Une famille (une collection) 
 de vecteurs d’un -ev  est dite liée s’il
existe des nombres  non tous nuls tels que
.
On dit aussi que les vecteurs  sont linéairement dépendants.
- Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.
Dire qu’une famille   est libre signifie que si  vérifient
, alors on a forcément .
Définition de famille génératrice
On dit qu’une famille  de  est génératrice de  si ), i.e. tout vecteur  de  est
combinaison linéaire d’éléments de .
Définition de base
Une famille  de  est une base de  si et seulement si  est libre et génératrice de .
2. Bases et coordonnées
Proposition : La famille 
 est une base de  si et seulement si tout vecteur
 de  s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des  . Autrement dit :
.
Les nombres  s’appellent les coordonnées de  dans la base B.
Démonstration :
() :  est génératrice par hypothèse.  est elle libre ?
Soient  tels que  .

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On a aussi  .
Par unicité de la décomposition de  , on a .
 est donc libre, et génératrice de , c’est donc une base de .
() : Par hypothèse,  est une base de  génératrice de  et libre.
Soit  quelconque.
 génératrice  . Cette combinaison est-elle unique ?
Si on a aussi  , alors par soustraction
.
Comme  est libre, on a , et ce jusqu’à .
On a donc unicité de l’écriture de  comme combinaison linéaire des vecteurs de .
En résumé :  génératrice équivaut à l’existence de la CL, et  libre équivaut à son unicité.
3. Exemples
- La base canonique de 
Soient   des vecteurs de .
 est une base de .
Démonstration : 
On a vu que   est génératrice de .
De plus, 
.
Finalement,  est génératrice de  et est libre.  est donc une base de 
Définition : La base   s’appelle la base canonique de .
Les coordonnées d’un vecteur  dans cette base sont simplement les
composantes  de . Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.
-Famille libre de 
Toute famille libre  de  est une base de .
Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de  forment une base du plan engendré par ces
deux vecteurs.

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- Base d’un plan de  défini par une équation
.
On a 
.
Les deux vecteurs 
 et   engendrent donc . Comme ces
vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de , c’est-à-dire
une base de . Les coordonnées de  dans cette base sont les réels  et .
Remarque : On voit sur cet exemple élémentaire qu’une base permet de représenter les
vecteurs de manière optimale, c’est-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le
vecteur  de  est déterminé par deux coordonnées indépendantes : et , et
non trois. De la même façon, un vecteur  d’un plan 
 est déterminé par seulement deux scalaires : ses coordonnées dans la base ,
et pas 100 !
- Base de 
Par définition, une base de  est la famille infinie
C’est la base canonique de . Cette famille est infinie mais tout polynôme  de  est
bien une combinaison linéaire finie d’éléments de .
- Base de 
Une base de  est donnée par . C’est la base canonique de .
Notez bien que cette famille possède  vecteurs. Un polynôme de degré  est
déterminé par  coefficients.
- Une famille de 3 vecteurs de  dépendant d’un paramètre (cf. cours)
4. La notion d’espace de dimension finie
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie.
Définition : On dit qu’un espace vectoriel  est de dimension finie si  admet une famille
génératrice finie.
Exemples : On a vu que  et  sont des espaces vectoriels de dimension finie.
Proposition :  n’est pas un espace vectoriel de dimension finie.
Démonstration : Soit  une famille finie de .
 peut-elle être génératrice de  ?

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Soit  : c’est un nombre fini.
Alors  est de degré inférieur ou égal à .
On remarque que  Par exemple, .
 n’est donc pas génératrice de .
 est donc un espace de dimension infinie.
5. Propriétés clés
Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.
Propriété 1 : Soit  une famille libre de . Alors la famille  est encore libre si
et seulement si .
Propriété 2 : Soit  une famille génératrice de .
Alors  est liée si et seulement si il existe un vecteur  reste
génératrice. Autrement dit, si et seulement si  tel que .
Démonstration 1 : Soit 
 une famille libre.
() : Si , 
C’est une combinaison linéaire de  qui vaut  et non triviale. 
 est liée.
() : On suppose que  est liée. On veut montrer que .
 liée  non tous nuls tels que 
Si  alors : 
car  est libre par hypothèse. Il y a donc une contradiction car  sont supposés
non tous nuls.
 Si , alors  ce est une CL d’éléments de .
.
Démonstration 2 : Soit 
 une famille génératrice de E.
Si  est liée, alors  non tous nuls tels que
,
ce qui implique qu’il existe un  tel que .

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,
ce qui est en fait un élément de  .
, on a bien sur 
 est une famille génératrice.
6. Deux méthodes de construction de bases
Théorème d’extraction de base
Soit  un -ev de différent de   et 
 une famille génératrice. ( étant un
espace vectoriel de dimension finie).
Alors on peut extraire de  une sous-famille   qui est une base de .
Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 :
  est-elle libre ?
 Si oui, c’est fini.
 Sinon, il existe   tel que   est encore génératrice. On continue avec .
 Comme  , l’algorithme s’arrête sur une famille libre et génératrice de .
Théorème de la base incomplète
Soit  un -ev de dimension finie.
 une famille génératrice de  et   une famille libre.
Alors on peut compléter la famille libre  avec certains vecteurs  de  pour
obtenir une base   .
Démonstration : Soient 
 une famille libre et   une
famille génératrice de . Il faut compléter  en une base de . L’algorithme suivant dépend
de la propriété 1 :
 A-t-on   ?
Si oui, on garde .
Sinon, on remplace  par 
 , libre par la prop. 1 et 
.
 On recommence pour tous les autres vecteurs de . À la fin, on a une nouvelle famille libre
 avec 
.
Ce qui veut dire que  est libre et génératrice de , c’est-à-dire est une base de .
Exemple : Plan vectoriel. Cf. cours.