Espaces vectoriels : bases

R2R~ı~~u=x1
x2
~u=x1 ~ı+x2~~ı~{~ı, ~}
{~ı, ~}
{~ı, ~u=~ı+~}R2
R3
{v1, . . . , vn}E
x∈Eλ1, . . . , λn∈Kx=λ1x1+· · · +λnxn
Rnei=(0, . . . , 0,1
|{z} ,0, . . . , 0) 16i6n
{v1, . . . , vn}E
λ1v1+· · · +λnvn=0⇒λ1=· · · =λn=0
v1, . . . , vn
{~ı, ~}R2
{~ı,~ı+~}R2
{~ı, ~,~ı+~}R2
u=(1,0,1) v=(0,1,0) w=(1,1,1)
E
E
Rn[X]R[X]
E E
ei=(0, . . . , 0,1
|{z} ,0, . . . , 0) 16i6nKnK=R
K=CKn

B={1,x, x2, . . . , xn}Rn[X]
u1=i+2j+3ku2=i+ku3=i+2k(u1,u2,u3)R3
{v1, . . . , vn}E E
vix∈E∃!(λ1, . . . , λn)∈Knx=λv1+· · · +λnvn
EB1B2EB1B2
n=Card(B1)=Card(B2)En=dim E
u1=(1,−1,1) u2=(0,1,1) u3=(1,1,3) u4=(1,0,1) R3(u1,u2,u4)
R3u3
u1=i+2j+3ku2=i+ku3=i+2k
(u, v,w)
E6={0}
n n
n n
n n
n n
v1=1
2v2=−1
1R2
EnFE
F
dimF6dimE
dimF=dim E⇔F=E
FGE
FG
F+G:= {x∈E,x=x1+x2,x1∈F,x2∈G}
F∩G={0}F⊕G
FGEx∈F⊕G
x1∈Fx2∈Gx=x1+x2