Espaces vectoriels : bases

CHAPITRE 7
Espaces vectoriels : bases
1. Famille génératrice, famille libre
Dans R muni du repère R, tous les vecteurs s'expriment de manière unique en fonction de ~ı, ~. En eet ~u =
2
x1
x2
signie ~u = x1~ı + x2~. On traduira le fait que les vecteurs s'expriment en fonction de ~ı et ~ en disant que {~ı, ~} est une
famille de vecteurs génératrice. Le fait que cette décomposition est unique se traduira en disant que la famille de vecteur
{~ı, ~} est libre.
Exercice 42
1.
2.
Montrer que {~ı, ~u = ~ı + ~} est une famille génératrice de R2 .
Donner une famille génératrice de R3 .
Définition 7.1. Une famille de vecteurs {v1 , . . . , vn } d'un espace vectoriels E est dite génératrice si pour tout
x ∈ E , il exite λ1 , . . . , λn ∈ K tels que x = λ1 x1 + · · · + λn xn .
Exemple
7.1. Dans Rn l'ensemble des vecteurs ei = (0, . . . , 0,
1
|{z}
, 0, . . . , 0), avec 1 6 i 6 n est une famille
i-ème terme
génératrice.
Définition
7.2. Une famille de vecteurs {v1 , . . . , vn } d'un espace vectoriels E est dite libre si
λ1 v1 + · · · + λn vn = 0 ⇒ λ1 = · · · = λn = 0
On dit aussi que les vecteurs v1 , . . . , vn sont linéairement indépendants.
Exercice 43
1.
2.
Montrer que {~ı, ~} est une famille libre de R2 .
Montrer que {~ı,~ı + ~} est une famille libre de R2 .
Remarque. Dans une famille de vecteurs libre, aucun vecteur n'est combinaison linéaire des autres. Ainsi une
famille est non-libre, on dit aussi liée si et seulement si un des vecteurs de la famille s'exprime en fonction des autres.
Exemple
7.2. La famille {~ı, ~,~ı + ~} est une famille liée de R2 .
Exercice 44
Montrer que les vecteurs u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 0) et w = (1, 1, 1) ne sont pas linéairement indépendants.
2. Bases et dimension
Définition
de E nie.
Exemple
7.3. Rn [X] est de dimension nie mais R[X] est de dimension innie.
Définition
Exemple
7.3. Un espace vectoriel E est dit de dimension nie si et seulement si il existe une famille génératrice
7.4. Soit E un espace vectoriel. On appelle base de E une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice.
7.4. Les vecteurs ei = (0, . . . , 0,
K = C), c'est la base
canonique de Kn .
1
|{z}
, 0, . . . , 0), 1 6 i 6 n forment une base de Kn (avec K = R ou
i-ème terme
25
26
7. ESPACES VECTORIELS : BASES
Exemple
7.5. La famille B = {1, x, x2 , . . . , xn } est une base de Rn [X].
Exercice 45
Soient u1 = i + 2j + 3k, u2 = i + k et u3 = i + 2k. Montrer que (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 .
Proposition 7.1. Soit {v1 , . . . , vn } une base de E . Alors tout vecteur de E se décompose de manière unique en
fonction des vecteurs vi , c'est à dire pour tout x ∈ E , ∃!(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn tel que x = λv1 + · · · + λn vn
Théorème 7.1. Soit E un espace vectoriel de dimension nie et soit B1 et B2 deux bases de E . Alors B1 et B2 ont
le même nombre d'éléments. On appelle alors n = Card(B1 ) = Card(B2 ) , la dimension de E que l'on note n = dim E .
Exercice 46
On considère les vecteurs u1 = (1, −1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 3) et u4 = (1, 0, 1) de R3 . Montrer que (u1 , u2 , u4 )
est une base de R3 , et déterminer les coordonnées du vecteur u3 dans cette base.
Exercice 47
Soient u1 = i + 2j + 3k, u2 = i + k et u3 = i + 2k. Calculer les coordonnées des vecteurs de la base canonique dans
la base (u, v, w).
3. Théorèmes fondamentaux
Théorème 7.2 (de la base incomplète). Soit E 6= {0} un espace vectoriel de dimension nie. Toute famille libre
peut-être complétée de manière à former une base.
Le théorème dit en particulier qu'il existe toujours une base dans un espace vectoriel de dimension
Remarque.
nie.
7.1.
1. Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille de plus de n éléments est liée.
Dans un espace vectoriel de dimension n, une famille de moins de n éléments ne peut être génératrice.
Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille génératrice de n éléments est une base.
Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille libre de n éléments est une base.
Corollaire
2.
3.
4.
Exercice 48
Montrer que les vecteurs v1 =
1
2
et v2 =
−1
1
sont libres. Est-ce une base de R2 ?
Exercice 49
Soit E un espace vectoriel de dimension n et F un sous espace vectoriel de E . Montrer :
1. F est de dimension nie.
2. dim F 6 dim E .
3.
dim F = dim E ⇔ F = E
4. Somme de sous-espaces
On a vu au précédent chapitre que l'union de deux sous-espaces vectoriels n'est en général pas un sous-espace
vectoriel. On peut dénir par contre la somme de deux sous-espaces vectoriels :
Définition
F et G par
7.5. Soit F et G deux sous-espaces vectoriel d'un espace vectoriel E . On dénit la somme des espaces
F + G := {x ∈ E, x = x1 + x2 , avec x1 ∈ F, x2 ∈ G}
Si de plus F ∩ G = {0} alors on dit que la somme est directe et on note F ⊕ G.
Proposition 7.2. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E en somme directe. Si x ∈ F ⊕ G alors il existe
un unique x1 ∈ F et un unique x2 ∈ G tels que x = x1 + x2 .