France métropolitaine 2016. Enseignement de

France métro p olitaine 2016 . Ensei gnement de sp é cial ité
EXERCICE 3 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (a, b),onnotepgcd(a, b)le plus grand diviseur commun de aet b.
Le plan est muni d’un repère !O, −→ i,
−→ j".
1) Exemple. Soit ∆1la droite d’équation y=5
4x−2 3.
a) Montrer que si (x, y)est un couple d’entiers relatifs alors l’entier 15x−12yest divisible par 3.
b) Existe-il au moins un point de la droite ∆1dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ?
Justifier.
Généralisation
On considère désormais une droite ∆d’équation (E):y=m
nx−p qoù m,n,pet qsont des entiers relatifs non nuls
tels que pgcd(m, n)=pgcd(p, q)=1.
Ainsi, les coefficients de l’équation (E)sont des fractions irréductibles et on dit que ∆est une droite rationnelle.
Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et qpour qu’une droite rationnelle
∆comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
2) On suppose ici que la droite ∆comporte un point de coordonnées (x0,y
0)où x0et y0sont des entiers relatifs.
a) En remarquant que le nombre ny0−mx0est un entier relatif, démontrer que qdivise le produit np.
b) En déduire que qdivise n.
3) Réciproquement, on suppose que qdivise n,etonsouhaitetrouveruncouple(x0,y
0)d’entiers relatifs tels que
y0=m
nx0−p q.
a) On pose n=qr,oùrest un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs uet v
tels que qru −mv =1.
b) En déduire qu’il existe un couple (x0,y
0)d’entiers relatifs tels que y0=m
nx0−p q.
4) Soit ∆la droite d’équation y=3
8x−7 4.Cettedroitepossède-t-elleunpointdontlescoordonnéessont des entiers
relatifs ? Justifier.
5) On donne l’algorithme suivant :
Variables : M, N, P, Q :entiersrelatifsnonnuls,telsque
pgcd(M, N)=pgcd(P, Q)=1
X:entiernaturel
Entrées : Saisir les valeurs de M,N,P,Q
Traitement
et sorties :
Si Qdivise Nalors
Xprend la valeur 0
Tant que #M
NX−P Qn’est pas entier$
et #−M
NX−P Qn’est pas entier$faire
Xprend la valeur X+1
Fin tant que
Si M
NX−P Qest entier alors
Afficher X, M
NX−P Q
Sinon
Afficher −X, −M
NX−P Q
Fin Si
Sinon
Afficher « Pas de solution »
Fin Si
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M,N,P,Q,entiersrelatifsnonnulstelsque
pgcd(M, N)=pgcd(P, Q)=1.
b) Que permet-il d’obtenir ?
http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

France métro p oli tai ne 20 16. Enseign eme nt de sp éci al ité
EXERCICE 3 : corrigé
1) a) Soit (x, y)un couple d’entiers relatifs. 15x−12y=3(5x−4y)où 5x−4yest un entier relatif. Donc, l’entier
15x−12yest divisible par 3.
b) Soient (x, y)un couple d’entiers relatifs puis Mle point de coordonnées (x, y).
M∈∆1⇔y=5
4x−2 3⇔y=15x−8 12 ⇔12y=15x−8
⇔15x−12y=8.
Maintenant, 15x−12yest un entier divisible par 3et 8n’est pas un entier divisible par 3.Donc,l’entier15x−12y
n’est pas égal à l’entier 8.
On a montré qu’il n’existe pas de couple (x, y)d’entiers relatifs tel que y=5
4x−2 3ou encore, il n’existe pas de point
de ∆1dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
Généralisation.
2) a) Soit M0(x0,y
0)un point de ∆àcoordonnéesentières.
M0∈∆⇔y0=m
nx0−p q⇔y0=mqx0−np nq ⇔nqy0=mqx0−np
⇔q(mx0−ny0)=np.
b) Ainsi, si il existe un point de ∆dont les coordonnées (x0,y
0)sont des nombres entiers relatifs, alors q(mx0−ny0)=
np.Onendéduitquel’entierqdivise l’entier np.Puisqued’autrepart,lesentiersqet psont premiers entre eux, le
théorème de Gauss permet d’affirmer que l’entier qdivise l’entier n.
3) a) Les entiers net msont premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout,ilexistedeuxentiersrelatifsu′et
v′tels que nu′+mv′=1ou encore tel que qru′+mv′=1.Sionposeu=u′et v=−v′,uet vsont deux entiers
relatifs tels que nu −mv =1ou encore qru −mv =1.
b) D’après la question 2)a), M(x0,y
0)est un point de ∆àcoordonnéesentièressietseulementsiq(mx0−ny0)=np.
Puisque qn’est pas nul,
q(mx0−ny0)=np ⇔q(mx0−ny0)=qrp ⇔mx0−ny0=rp.
Mais si on multiplie les deux membres de l’égalité nu −mv =1par rp,onobtient
rp =m(−vrp)−n(−urp).
Donc, le couple (x0,y
0)=(−vrp, −urp)est solution du problème.
En résumé, il existe sur ∆un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs si et seulement si qdivise n.
4) Ici, les fractions sont bien sous forme irréductible puis m=3,n=8,p=7et q=4.Puisque4divise 8,∆possède
un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
5) a) Si Qdivise N,quel’algorithmeafficheuncouple!X, M
NN+p q"ou un couple !−X, −M NX+P Q",ils’agit
toujours d’un couple d’entiers relatifs qui sont les coordonnées d’un point de ∆.Dansuncas,l’abscissedupointest
positive et dans l’autre l’abscisse du point est négative.
Puisque Qdivise N,ilexisteaumoinsunpointàcoordonnéesentièressur∆.Celui-ciseraatteintenuntempsfini
(Xprend la valeur X+1)etdoncl’algorithmesetermine.
Si Qne divise pas N,l’algorithmesetermineimmédiatementetenparticuliersetermine.
On a montré que, dans tous les cas, l’algorithme se termine.
b) Quand Qdivise N,l’algorithmeaffichelepointde∆àcoordonnéesentièresdontlavaleurabsoluedel’abscisse
est minimum et si Qne divise pas N,l’algorithmeaffiche«Pasdesolution».Demanièregénérale,l’algorithmeteste
si la droite est rationnelle ou pas.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.