France métropolitaine 2016. Enseignement de

France métropolitaine 2016. Enseignement de spécialité
EXERCICE 3 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Pour tout couple d’entiers relatifs
non nuls
(a, b), on note pgcd(a, b) le plus grand diviseur commun de a et b.
! −
→ →
−"
Le plan est muni d’un repère O, i , j .
2
5
x− .
4
3
a) Montrer que si (x, y) est un couple d’entiers relatifs alors l’entier 15x − 12y est divisible par 3.
1) Exemple. Soit ∆1 la droite d’équation y =
b) Existe-il au moins un point de la droite ∆1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ?
Justifier.
Généralisation
On considère désormais une droite ∆ d’équation (E) : y =
m
p
x − où m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls
n
q
tels que pgcd(m, n) = pgcd(p, q) = 1.
Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que ∆ est une droite rationnelle.
Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu’une droite rationnelle
∆ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
2) On suppose ici que la droite ∆ comporte un point de coordonnées (x0 , y0 ) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.
a) En remarquant que le nombre ny0 − mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.
b) En déduire que q divise n.
3) Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x0 , y0 ) d’entiers relatifs tels que
m
p
y0 = x0 − .
n
q
a) On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs u et v
tels que qru − mv = 1.
m
p
b) En déduire qu’il existe un couple (x0 , y0 ) d’entiers relatifs tels que y0 = x0 − .
n
q
7
3
4) Soit ∆ la droite d’équation y = x − . Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers
8
4
relatifs ? Justifier.
5) On donne l’algorithme suivant :
Variables :
Entrées :
Traitement
et sorties :
M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls, tels que
pgcd(M, N ) = pgcd(P, Q) = 1
X : entier naturel
Saisir les valeurs de M , N , P , Q
Si Q divise N alors
X prend la
# valeur 0
$
M
P
Tant que
X − n’est pas entier
N
Q
#
$
M
P
et − X − n’est pas entier faire
N
Q
X prend la valeur X + 1
Fin tant que
M
P
Si
X−
est entier alors
N
Q
P
M
Afficher X, X −
N
Q
Sinon
P
M
Afficher −X, − X −
N
Q
Fin Si
Sinon
Afficher « Pas de solution »
Fin Si
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c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.
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a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M , N , P , Q, entiers relatifs non nuls tels que
pgcd(M, N ) = pgcd(P, Q) = 1.
b) Que permet-il d’obtenir ?
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EXERCICE 3 : corrigé
1) a) Soit (x, y) un couple d’entiers relatifs. 15x − 12y = 3(5x − 4y) où 5x − 4y est un entier relatif. Donc, l’entier
15x − 12y est divisible par 3.
b) Soient (x, y) un couple d’entiers relatifs puis M le point de coordonnées (x, y).
2
15x − 8
5
x− ⇔y =
⇔ 12y = 15x − 8
4
3
12
⇔ 15x − 12y = 8.
M ∈ ∆1 ⇔ y =
Maintenant, 15x − 12y est un entier divisible par 3 et 8 n’est pas un entier divisible par 3. Donc, l’entier 15x − 12y
n’est pas égal à l’entier 8.
5
2
On a montré qu’il n’existe pas de couple (x, y) d’entiers relatifs tel que y = x − ou encore, il n’existe pas de point
4
3
de ∆1 dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
Généralisation.
2) a) Soit M0 (x0 , y0 ) un point de ∆ à coordonnées entières.
m
p
mqx0 − np
x0 − ⇔ y0 =
⇔ nqy0 = mqx0 − np
n
q
nq
⇔ q (mx0 − ny0 ) = np.
M 0 ∈ ∆ ⇔ y0 =
b) Ainsi, si il existe un point de ∆ dont les coordonnées (x0 , y0 ) sont des nombres entiers relatifs, alors q (mx0 − ny0 ) =
np. On en déduit que l’entier q divise l’entier np. Puisque d’autre part, les entiers q et p sont premiers entre eux, le
théorème de Gauss permet d’affirmer que l’entier q divise l’entier n.
3) a) Les entiers n et m sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs u′ et
v ′ tels que nu′ + mv ′ = 1 ou encore tel que qru′ + mv ′ = 1. Si on pose u = u′ et v = −v ′ , u et v sont deux entiers
relatifs tels que nu − mv = 1 ou encore qru − mv = 1.
b) D’après la question 2)a), M (x0 , y0 ) est un point de ∆ à coordonnées entières si et seulement si q (mx0 − ny0 ) = np.
Puisque q n’est pas nul,
q (mx0 − ny0 ) = np ⇔ q (mx0 − ny0 ) = qrp ⇔ mx0 − ny0 = rp.
Mais si on multiplie les deux membres de l’égalité nu − mv = 1 par rp, on obtient
rp = m(−vrp) − n(−urp).
Donc, le couple (x0 , y0 ) = (−vrp, −urp) est solution du problème.
En résumé, il existe sur ∆ un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs si et seulement si q divise n.
4) Ici, les fractions sont bien sous forme irréductible puis m = 3, n = 8, p = 7 et q = 4. Puisque 4 divise 8, ∆ possède
un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
!
"
!
"
M
M
p
P
5) a) Si Q divise N , que l’algorithme affiche un couple X, N +
ou un couple −X, − X +
, il s’agit
N
q
N
Q
toujours d’un couple d’entiers relatifs qui sont les coordonnées d’un point de ∆. Dans un cas, l’abscisse du point est
positive et dans l’autre l’abscisse du point est négative.
Puisque Q divise N , il existe au moins un point à coordonnées entières sur ∆. Celui-ci sera atteint en un temps fini
(X prend la valeur X + 1) et donc l’algorithme se termine.
Si Q ne divise pas N , l’algorithme se termine immédiatement et en particulier se termine.
On a montré que, dans tous les cas, l’algorithme se termine.
b) Quand Q divise N , l’algorithme affiche le point de ∆ à coordonnées entières dont la valeur absolue de l’abscisse
est minimum et si Q ne divise pas N , l’algorithme affiche « Pas de solution ». De manière générale, l’algorithme teste
si la droite est rationnelle ou pas.
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